И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 13

В частности, если Г=О, то р=сопз(. Заметим, что в неинерциаль~ой системе отсчета сила Г в (3.!) включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы с другими телами, но и силы инерции. * Другое название этой величины — количество дан же н и и. 2. Тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать пх даже тогда, когда силы вообще неизвестны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц. 3. Даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач о движении частиц.

Хотя все зти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения (в этом отношении из законов сохранения мы не получим никакой дополнительной информации), привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изягцным путем, избавляя нас от громоздких и утомительных расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято придерживаться следующего порядка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения и, только убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к решению с помощью уравнения движения. Изучение законов сохранения начнем с закона сохранения импульса.

Уравнение (3.1) позволяет найти приращение импульса частицы за любой промежуток времени, если известна зависимость силы Г от времени. Действительно, пз (3.1) следует, что элементарное приращение импульса частицы за промежуток времени с(( есть с)р= Гй. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток времени й ра рт 1ГФ' (3. 2) Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом сии~~',Я л ы. Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени Р зависит не только от значения силы, но и от продолжительности ее действия, или, Ф другими словами, равно импульсу силы за это время. Рис.

3.1 В частности, если Г= =сонэ(, то вектор Г можно вынести из-под интеграла и тогда рт — р,= Гй Рассмотрим пример на использование уравнения (3.2). Пример. На частицу, которая в момент т=о имела импульс рм действует в течение промежутка времени т сила, эависяшая от времени ! как р=аГ(1 — г/т), где а — постоянный вектор. Найдем импульс р частицы после окончания действия этой силы. 66 Согласно (3.2) р = рс + 3) Г г)! == рв+ а ст/6 (рис. 3.!).

Импульс системы. Рассмотрим произвольную систему частиц. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с этим силы взаимодействия между частицами системы называют и н у т р е н н и м и, а силы, обусловленные действием других тел, не входящих в данную систему,— в и е ш н им и. Ясно, что такое разделение снл иа внутренние и внешние условно в оно целиком зависит от выбора интересующей нас системы частиц.

Заметим также, что в неинерциальных системах отсчета к внешним силам относятся и силы инерции. Теперь введем понятие и м п у л ь с а с и с т е м ы как векторную сумму импульсов ее отдельных частиц: (3.3) Р= )' Ро где р,— импульс ий частицы. Заметим, что импульс системы — величина аддитивная, т. е. импульс системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Найдем физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого продифференциру. ем (3.3) по времени: бругУ =~ бр,~гУ. Согласно (3.1), прМ ~~ Г +Г где Гм — силы, действующие на рю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы); Г; — сила действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). Подставив последнее выражение в предыдущее, получим брУбУ='~' '~))„'Г,, + '~ Г,. х Двойная сумма справа — это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению.

Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате последнее уравнение принимает следующий вид: (3.4) где Гвнеш результирующая Всех внежних сил, Ганеш= = '~з ~Г;. Уравнение (3.4) означает: производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех в н е ги н и х сил, действующих на частицы системы. Как и в случае одной частицы, из уравнения (3.4) следует, что приращение импульса системы за конечный промежуток времени г есть бУ (3.5) т. е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, Г„„, — результирующая всех внешних сил Уравнения (3.4) и (3.5) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета.

Следует только иметь в виду, что в нсинерциальной системе отсчета необходимо учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под Г„„„ в этих уравнениях надо понимать сумму Г,,+Г„„, где Г„,— результирующая всех внешних сил взаимодействия, а Ä— результирующая всех снл инерции. й З.З. Закон сохранения импульса Прежде всего введем понятие з а м к н у т о й (или изолированной) с и с т е м ы. Так называют систему частиц, на которую не действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пренебрежимо мало).

Другими словами, система замкнута, если внешние силы отсутствуют. Очевидно, что понятие замкнутой системы имеет смысл только по отношению к пиерциальным системам отсчета, поскольку в иеинерциальных системах отсчета всегда действуют силы инерции, играющие роль внешних сил. Понятие замкнутой системы является естественным обобщением понятия изолированной материальной точки и играет весьма важную роль в физике. Согласно уравнению (3.4), импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы ие могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает з а к о н с о х р а н е н и я и мпульса: импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т.

е. не меняется со временем: ~ р=~)~рф)=сова(.! (3.6) При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут меняться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убылв импульса оставшейся части снс- чй темы. Другими словами, отдечьные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами. Обнаружив в некоторой системе приращение импульса, мы можем утверждать, что это приращение произошло за счет убыли импульса в окружающих телах.

В этом смысле уравнения (3.4) и 13.5) следует рассматривать как более общую формулировку закона сохранения импульса, формулировку, в которой указана причина изменения импульса у незамкнутой системы— действие других тел (внешних сил). Сказанное справедливо, разумеется, только по отношению к инерциальным системам отсчета. д Импульс может сохраняться и у незамкнутой сис- Р, темы при условии, что ре. зультирующая всех внешних сил равна нулю.

Это непосредственно вытекает из уравнений Г3.4) и (3.5). В практическом отношении со- Рис. 3.2 хранение импульса в этих случаях представляет особый интерес, ибо даст возможность получать достаточно простым путем ряд сведений о поведении системы, не вникая в детальное рассмотрение процесса. И еше.

У незамкнутой системы может сохраняться не сам импчльс р, а его проекция р„на некоторое направление х. Это бывает тогда, когда проекция результипчюшей внешней силы Г„всш на направление х равна нчлю, т. е. вектор Р,в,я, пеппендикчлярен ему. Действительно, спроецировав уравнение (3.4), получим бр.)бУ=й„„„„„ (3.7) откуда следует, что если й„„„,к=О, то р =сопят.

Например, при движении системы в однородном поле снл тяжести сохраняется проекция ее импульса на люоое горизонтальное направление, что бы в системе ии пронсхо. дило, Рассмотрим примеры на закон сохранения импульса. Пример 1. Движущаяся частила распалась на дне частипы с импульсами р~ и р., чгол между которыми равен я. Найдем модуль им* пуль~а в паспавшеася частипы. Подобного рода вопросы проще всего решать с помощью тре. угольника импульсов (ряс. З.й), который выражает закон сохранения 69 импульса: р=р<-ура.

Остается воспользоватьсн теоремой косинусов, н мы сразу мозкем записать, что Р = у Рг+ Рз+ 2Р1 рз сов 9. 1 3 2 В этих рассуждениях предполагалось, что система замкнута. Если же она находится под действием какнх-то внешних сил, то под импульсами р, р, и р, надо понимать те значения этих величин, которые они имели непосредственно до и после распада, а сам процесс распада считать протекающим за очень малое время. Последнее необходимо для того, чтобы импульс внешних сил за время распада был пренебрежимо мал. Пример 2 Человек массы яп находится на узком плоту массы тз, который покоится на поверхности озера. Человек совершил перемептеиие Лг' относительно плота и остзновнлся.