И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука эта сила определяется как Р=кЖ, где Ы вЂ” величина упругой деформации. Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела, гт= Иг„, (2.12) где А — коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от нх шероховатости); Р„ — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила г направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого. Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости.
Эта сила зависит от скорости т тела относительно среды, причем направлена противоположно вектору т: Р= — йч, (2.13) где й — положительный коэффициент, характерный для данного тела н данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще говоря, от скорости и, однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным. $ 2.4. Основное уравнение динамики Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона: (2.14) Уравнение (2.14) есть, по существу, дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде.
Его решение — основная задача динамики материальной точки. При этом возможны две противоположные постановки задачи. 1. Найти действующую на точку силу Г, если известны масса т точки и зависимость от времени ее радиуса- вектора г(1). 2. Найти закон движения точки, т. е. зависимость от времени ее радиуса-вектора /г у~ г(1), если известны масса т / точки, действующая на нее //.„ / сила Г (или силы Г;) и начальные условия — скорость чс и положение гс точки в начальный момент времени.
/ / т В первом случае задача / сводится к дифференцирова- сс нию г(1) по времени, во ато/лл' ром — к интегрированию уравнения (2.14). МатематиРис. 2.2 ческая сторона этого вопроса достаточно подробно была рассмотрена в кинематике точки. В зависимости от характера и постановки конкретной задачи решение уравнения (2.14) проводят или в векторной форме, или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Выясним, как записывают уравнение (2.14) в последних двух случаях. В проекциях на оси декартовых координат.
Записывая обе части уравнения (2.14) в проекциях на оси х, у, з, получнм три дифференциалы<ых уравнения вида где Г, Гз, Г, — проекции вектора Г на оси х, у, г. Необходимо помнить, что эти проекции — величины алгебраические: в зависимости от ориентации вектора Г они могут быть как положительными, так и отрицательными. Знак проекции результирующей силы Г определяет и знак проекции вектора ускорения. Проследим на конкретном примере, в чем заключается стандартный подход к решению задач с помошью уравнений (2.15).
пример. Небольшой брусок массы т скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент трения равен й. Найдем ускорение бруска относительно плоскости (эта сис. тема отсчета предполагается инерциальной). Прежде всего следует изобразить силы, действующие на брусок. Это сила тяжести ей, нормальная сила реакции И со стороны плоскости и сила трения Гтр (рис.
2.2), направленная в сторону, противо. положную движению бруска. После этого свяжем с системой отсчета «наклонная плоскостьэ систему координат х, р, х. Вообще говоря, систему координат можно ориентировать как угодно, однако во многих случаях выбор направления осей диктуется характером движения.
В нашем случае, например, заранее известно направление движения бруска, поэтому наиболее целесообразно оси координат расположить так, чтобы одна из них совпадала с направлением движения. Тогда задача сведется к решению только одного уравнения (2.1б). Итак, выберем ось т, кан показано на рис. 2.2, обязательно указав при этом ее положительное направление (стрелкой).
И только теперь приступим к составлению уравнений (2.15): слева — произведение массы гл бруска на проекцию его ускорения а„ и справа — проекции всех сил на ось х. Тогда еа„=игл +)т + Р,р . В данном случае д,=аз)п и, л„о и Р,р,— — — Р,р, поэтому еах = ел в! п а — Р,р. Так как брусон движется только вдоль оси х, то это значит, согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех сил на любое перпендикулярное оси х направление равна нулю.
Взяв в качестве такого направления ось у (рис. 2.2), получим Я = ел соз н, Ртр = й)т = Фел соз а. В результате еа„= ел з1п а — йел соз и. Если правая часть этого уравнения окажется положительной, то а )О, з это значит, что вектор а направлен вниз по наклонной плоскости, и наоборот. В проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Запнсывая обе части (2.14) в проекциях на подвижные орты т и п (рис. 2.3) и используя полученные ранее выражения (1.10) для тангенциального н нормального ускорений, получим где Гт и Ä— проекции вектора Г на орты т и п.
На рис. 2.3 обе проекции положительные. Векторы Г, н Г„называют тангенциальной и нормальной составляю!ними силы Г. Напомним, что направление орта т выбирают в сторону возрастания дуговой координаты (, а направление орта и — к центру кривизны траектории в данной точке. Уравнениями (2.16) удобно пользоваться, если заранее известна траектория материальной точки.
г Рис, 2.3 Рнс. 2.4 Пример. Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса г. Найдем скорость тела в момент отрыва от поверх. ности сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала. Изобразим силы, действующие на тело А (это сила тяжести ти и нормальная сила реакции Ц), и запишем уравнения (2.!6) в про екцнях на орты т и и (рис.
2.4): ,)о з„г ач — = же з)па, ом †.= шл соз' — )В. бг Вг Здесь индекс т несуществен, поэтому мы его опустили. Преобразуем первое уравнение к виду, удобному для ннтсгриро. валия. Воспользовавшись тем, что акт=в((о=гбо(о, где 4( — элементарный путь тела А за промежуток времени Ж, перепишем первое уравнение в виде о бо = лг з(п В ОВ.
Проинтегрировав левую часть этого выражения от О до о, правую от О до О, найдем ог = 2ог (! — соз В) . В момент отрыва (с=о, поэтому второе исходное уравнение прини. мает вид ог = нг соз В, где и и 6 соответствуют точке отрыва. Исключив соя д из последних двух равенств, получим "= ~ууг/зуг, й 2.5. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции Основное уравнение динамики в неинерциальной системе. Ранее было отмечено, что основное уравнение динамики справедливо только в инерцнальных системах отсчета. Между тем имеется много случаев, когда решение интересующей нас задачи необходимо получить в неинерциальных системах (например, движение математического маятника в ускореяно движущемся вагоне, движение спутника относительно поверхности Земли и др.).
Поэтому возникает вопрос: как следует изменить основное уравнение динамики, чтобы оно оказалось справедливым и для неннерцнальных систем отсчета? С этой целью возьмем две системы отсчета; и н е р ц нал ьную К систему и пеннер ци ал ьную К'-систему. Пусть известны масса гп частицы, сила Г, действующая на нее со стороны окружающих тел, и характер движения К'-системы относительно К-системы. Рассмотрим достаточно общий случай, когда К'-система вращается с постоянной угловой скоростью г» вокруг оси, перемещающейся поступательно с ускорением а0 относительно К-системы. Воспользуемся формулой преобразования ускорений (1.31).
Из нее следует, что ускорение частицы в К -системе а' = а — а„+ врр+ 2 (к'м), (2.17) где ч' — скорость частицы относительно К'-системы, р— радиус-вектор, перпендикулярный осн вращения и характеризующий положение частицы относительно этой оси. Умножив обе части (2.17) на массу гп частицы и учтя, что в ииерциальной системе отсчета та= Г, получим та'=à — та„+татр+2т(к'ы). ~ (2.18) ! Это и есть основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью г» вокруг оси, перемещающейся поступательно с ускорением аь Из него видно, что даже при Г=О частица будет двигаться в этой системе с ускорением, в общем случае отличным от нуля, причем так, как если бы на нее действовали некоторые силы, соответствующие последним трем членам уравнения (2.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
