И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 6
Текст из файла (страница 6)
! Это уравнение эллипса„А и  — его полуоси (рнс 1.15, где стрелкой показано направление движения частицы М) утч ~лх У„., Рис. !.!5 Рис. 1Лб ° 1.2. Перемещение и путь. Частице в момент 1=0 сообщили скорость чм после чего ее скорость стала меняться со временем 1 по закону ч=тз(1 †/т), где т — положительная постоянная. Найти за первые 1 секунд движения: 1) вектор перемещения Ьг частицы; 2) пройденный ею путь з. Решение. 1.
Согласно (1.1), бг=тМ=ч, (1 — 1/т)й. Проинтегрировав это уравнение по времени от 0 до В получим Ь г — — то ! (1 '— 1/2т) . 2. Путь з, пройденный частицей за время й определяется как где о — модуль вектора т. В данном случае ое(1 — Ф/т), еслв Ю < ч, " = "о! ! — 1/ч ! =- ое(1/а — 1), если М >ч. Отсюда следует, что при 1)т интеграл для вычисления пути необходимо разбить на две части; от О до т и от т до Д Проведя интегрирование для обоих случаев, получим по 1(1 — 1/2т), если 1 < х, г/аозт[! +(! — 1/т)т), если 1 > с.
На рис. 1.16 показаны графики зависимостей о(1) и з(!). Здесь же штриховыми лнниями показаны графики зависимостей от 1 проекций о„и Лх векторов т и Лг на ось х, направленную вдоль вектора та ф1,3. Трамвай движется прямолинейно от остановки А до следующей остановки В с ускорением, меняющимся по закону а=пав — Ьз, где а, н Ь вЂ” положительные постоянные, з — расстояние от остановки А до трамвая Найти расстояние между этими остановками и максимальную скорость трамвая. Р е ш е н н е. Сначала найдем зависимость скорости от расстояния з. За промежуток времени 41 приращение скорости бо=аЖ Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования, воспользовавшись тем, что б!=ба/о; тогда обо =(ао — Ьз) г)з.
Проинтегрировав это уравнение (левую часть — от О до о, правую— от нуля до з), получим оз/2 =- аз з — Ьзз/2, нли о .= Ьг(2аз — Ьз) з. Отсюда видно, что расстояние между осзановками, т е, значение зм при котором о=б, есть зэ=2аэ/Ь. Максимальную же скорость найдем из условия бо/ба=О или, проще, из условия максимума подкоренного выражения Отсюда значение з „соответствующее очаач, определяется как з, = аз/Ь, и эч„„=а,/)Ь. ° 1А Частица движется в плоскостях х, у из точки с координатами х=у=б со скоростью т=з1+Ьх), где а и Ь вЂ” некоторые постоянные, ! и ! — орты осей х и у.
Найти уравнение ее траектории у(х). Решение. Запишем приращения у- и х-координат частицы за промежуток времени б!: бу =т'дб/ бх =ох бз где нт — — Ьх, о„=а. Взяв нх отношение, получим ду = (Ь/а) х дх. Интегрируем это уравнение: у = ) (Ь/а) хбх =(Ь/2а)хз, о т. е. траекторией точки является парабола. ° 1.б. Закон движения точки А обода колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (ось х), имеет вид ,' х = Ь (н) — а(п н1)1 у = Ь (1 — гоз ых), ЗО где Ь и ю — положительные постоянные. Найти скорость о точки А, путь з, пройденный ею между двумя последовательными касаниями полотна дороги, а также модуль и направление вектора ускорения а точки Л.
Решение. Скорость о точки Л и пройденный ею путь з определяются формулами о = — ~/ оз ! о~~ = Ьы Гг2(! — соя м1) = 2Ьь! з!п (мсу2) ); з = ~ о бс = 4Ь [ ! — соз (му з~2)), где 1~ — промежуток времени между двумя последовательными каса. пнями. Из уравнения й=у(1) находим, что р(зз)=0 прн ю(г=2м. Поэтому з=ЗЬ. Ускорение точки А а = Ьг аз + аз = Ьмз Покажем, что вектор а, постоянный по модулю, все время направлен к центру колеса — точке С.
Действительно в К'-системе отсчета, связанной с точкой С н перемещающейся поступательно и равномерно относительно полотна доро~ и, точка А движется равномерно по окружности с центром в точке С. Поэтому ускорение точки А в К'. системе направлено к центру колеса. А так как К'.система движется равномерно, то вектор а будет таким же н относительно полотна дороги. ®1.6.
Тангеициальное н нормальное ускорения. Точка движется замедленно по окружности радиуса г так, что ее тангенцианьное и нормальное ускорения в каждый момент равны друг другу по модулю. В начальный момент гочке была сообщена скорость оь Найти скорость о и модуль полного ускорения а точки в зависимости от пройденного пути з. Р е ш е и н е. По условию, богбт= — оз(г. Представив бс как бз/о, преобразуем исходное уравнение к виду доГо =- — дзгг.
Ингегрирование этого уравнения с учетом начальной скорости при. водит к следующему результату: — з/г о =- оо е В данном случае !ат ) м=-а, поэтому полное ускорение а=У2 а„= =У2 от/г, или и=) 2 (о~/г)е ° !.7. Точка движется по плоской траектории так, что ее таигенцичльное УскоРеиие и, =ам а иоРмальиое УскоРение а„ вЂ” — ЬГ', где аз и Ь вЂ” положительные постоянные, à — время. В момент 1=0 точка начала двигаться с нулевой начальной скоростью. Найти радиус кривизны р траектории точки н ее полное ускорение а в зависимости от пройденного пути з. 31 Р е ш е н в е. Элементарное приращение скорости точки 6о = иоб!. Проинтегрировав это уравнение, получим и=по!.
Пройденный путь з = иоР/2, Радиус кривизны траектории, согласно (!.1О), можно представить как р=их/и„=иоо/ЬР, или р =- ас/2Ьз. Полное ускорение а = )г а, +а„—.. ао Ьг 1+ (4узз/аз)з. ° !.В. Частица движется равномерно со скоростью о по параболической траектории у=лхо, где Ь вЂ” положительная постоянная.
Найти ускорение и частицы в точке х=О. Р е ш е н и е. Продифференцируем дважды уравнение траектории по времени: у = 2дх х, у =- 2й (хз + х х). Так как частица движется равномерно, то это значит, что ее ускорение во всех точках траектории чисто нормальное и в точке х=О совпадает с производной у в этой точке.
Ймея в виду, что в точке х=О величина (х( = о, получим а .= (у)„ , = 2йоэ. Заметим, что в приведенном способе решения мы обошли вычисление радиуса кривизны траектории в точке х=О, который обмчно бывает необходимо знать для определения нормального ускорения (и„= ио/р) ° 1.9. Вращение твердого тела. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ()=9з созор, где()о — постоянный вектор, ф — угол поворота тела иэ начального положения. Найти угловую скорость оэ.
тела в зависимости от угла ор, если при ор=-0 она была равна нулю. Решение Выберем положительное направление осн а вдоль вектора ()о Согласно (!.16), бм,=р,6!. Представив 6! по формуле (!.15) как 6гр/ыь преобразуем предыдущее уравнение к виду мз 6ах = 1о сову)бу. Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (ы,= =0 при ф=О) дает ы,о/2=(хо слп йх Отсюда мз — — и= гг2ззз!и р. График зависимости ыо(ор) показан на рис. 1.17. Из него видно, что с ростом угла гр вектор ы сначала увеличивается, совпадая по направлению с вектором ()з(ю.)0), достигает максимума при ф=п/2 и затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при ор=а. После этого тело подобным я<е образом начинает вращаться в противоцо.
ложном направлении (ы,<0). В результате тело будет совершать колебания около положения ор=я/2 с амплитудой, равной и/2. ф!.10. Круглый конус с радиусом основания г н высотой й катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рис. 32 1.18. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке 0 на уровне точки С вЂ” центра основания конуса.
Точка С движется с постоянной скоростью о. Найти относительно стола: 1) угловую скорость ы конуса; 2) его угловое ускорение]). Решение. 1. Согласно (120),м=мэ+м', где мо н м'— угловые скорости вращения вокруг осей 00' и ОС соответственно. Модули векторов юэ и м' легко найти с помощью рис. 1.18: мэ = о/й, и' = о/г. Их отношение ю,/ю'=-г/й. Отсюда следует, что вектор ю совпадает в каждый момент с образующей конуса, которая проходит через точку касания А. а п~ Рис. ! Лу Рис.
1.18 Модуль вектораю = у~ '+ "= ( / ) у'1+ ( /й)э. 2. Угловое ускореиве ]) конуса, согласно (1.14), есть производная вектора ю по времени. Так как юэ =сопэ1, то () = бм/б/ =- дм'/д1. Вектор ю', оставаясь постоянным по модулю, поворачивается вокруг оси 00' с угловой скоростью юэ . Его приращение за промежуток времени бг равно по модулю ]бы' ] =ы'.ыебг, нли в векторном виде бм' = [етою']бй Таким образом, () =-(гэз и ].
Модуль этого вектора ])=эз/гй. ° 1.11. Преобразования скорости н ускорения. Горизонтально расположенный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей через один иэ концов стержня. По стержню движется небольшая муфта. Ее скорость относительно стержня меняется по закону т'=Ьг, где Ь вЂ” постоянная, г — радиус-вектор, характеризующий расстояние муфты от оси вращения, Найти: 1) скорость т н ускорение а муфты относительно стола в зависимости от г; 2) угол между векторами т и а в процессе движения.
33 Решение. 1. Согласно (1.24), ч = Ьг+ (мг). Модуль этого вектора о = г ЬгЬ2+ ыз. Ускорение а находим но формуле (1.29), где в нашем случае а' = бч'141= Ьзг. Тогда а = (Ьз — ед) г + 2Ь [юг]. Модуль зтого вектора а= (Ьз+ыт)г. 2. Для определения угла а между векторами т и а воспользуемся их скалярным произведением, из которого следует, что соз а= =ча1оа. После соответствующих преобразований получим соз а=!Д/1+ (ы/Ь)з.
Отсюда видно, что в данном случае угол а остается постоянным при движении, Глава 2 ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ $2.1. Инерциальные системы отсчета Закон инерции. В кинематике, где речь идет лишь об описании движений и не затрагивается вопрос о причинах, вызывающих эти движения, никакой принципиальной разницы между различными системами отсчета нет, и все они в этом отношении равноправны. Совершенно иначе обстоит дело в динамике — при изучении законов движения. Здесь обнаруживается существенное различие между разными системами отсчета и преимушества одного класса систем отсчета по сравнению с другими.
В принципе можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета. Однако законы механики в разных системах отсчета имеют, вообще говоря, различный внд и может оказаться, что в произвольной системе отсчета законы даже совсем простых явлений будут весьма сложными. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
