И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 17

42 Рис. 4.1 Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем р а б о т у с ил ы Г на данном пути: (4.2) А = ) Г бг = ) Р, дг. 1 1 Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.2) справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под с(г (или дз) следует понимать перемещение точки лрилозеенил силы Г. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам. Выражению (4.2) можно придать наглядный геометрический смысл.

Изобразим график Г, как функцию положения частицы на траектории. Пусть, например, этот график имеет вид, показанный на рис. 4.2. Из рисунка видно, что элементарная работа 6А численно равна площади заштрихованной полоски, а работа А на пути от точки 1 до точки 2 — площади фигуры, ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью з. При этом площадь фигуры над осью з берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе), а площадь фигуры под осью з— 85 со знаком минус (она соответствует отрицательной работе). Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы.

Работа упругой силы Г= — хг, где г — радиус-вектор частицы М относительно точки О (рис. 4.3, а). Г1ереместим частицу М, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала Рис. 4.3 элементарную работу силы Г на элементарном перемещении с1г: 3А =Г бг= — хг с1г.

Скалярное произведение гс)г=г(с(г),, где (с)г)„ — проекция с(г на вектор г. Эта проекция равна бг †приращен модуля вектора г. Поэтому гс)г=гс(г и ВА= — хг бг= — с)(хгх12). Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точг: Работа гравитационной (или кулоновской) силы.

Пусть в точке О (рис, 4.3, б) находится неподвижный силовой центр — материальная точка, действующая на частицу М с силой Г, которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействий может быть представлена в виде Г=(а/гх) е„ где а — соответствующая постоянная ( — ут,тз или йд,д,), г — расстояние от точки О до частицы М, е„— орт радиуса-вектора г. Элементарная работа этой силы на перемещении бг 8А=Г бг=(а1г') е,бг. Скалярное произведение е бг= дг, т.

е. равно приращению модуля вектора г, поэтому. 8 А = а б г/гз = — б (а1г) . Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2 А= — ~д ( — )=— 1 (4.4) и Работа однородной силы тяжести Г=тй. Запишем эту силу в виде Г= — гпдй, где Рис. 4.4 к — орт вертикальной оси в, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4). Элементарная работа силы тяжести на перемещении бг 8А=Гдг= — тдй бг.

Скалярное произведение йбг= (бг)ю где (дг)ь — проекция дг на орт к, равная бг — приращению координаты г. Поэтому кот= бг и 8А= — тй да= — д(тйа). Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точ- ки 2 А= — ~ б (тра)=тй' (а,— в,). ! (4Л) Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из формул (4.3) — (4.5), не зависит зт формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от толожения этих точек.

Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, ила трения этим свойством не обладает: работа этой :илы зависит не только от положения начальной и котечной точек, но и от формы пути между ними, 87 До спх пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых Г=Г,+Г,+..., то нетрудно показать, что работа результирующей силы Г на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности ва том же перемещении. Действительно, А=~(Г,+Ге+...) Йг=~Г,дг+ + ~Гзбг+...=А,+А +.... (4.6) Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).

Джоуль — это работа силы в 1 Н на пути в 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж=! Н м. Мощность. Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощ ность ю. Мощность, по определению,— это работа, совершаемая силой за единицу времени.

Если за промежуток времени о/ сила Г совершает работу Гдг, то мощность, развиваемая втой силой в данный момент времени, есть Ж=Гс1г/й. Учитывая, что бг/с1/=ч, получим (4.7) Таким образом, мощность, развиваемая силой Г, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Как и работа, мощность — величина алгебраическая. Зная мощность силы Г, можно найти н работу, которую совершает эта сила за промежуток времени /.

В самом деле, представив подынтегральное выражение в (4.2) в виде Гс1г=Гчб/=Л'ш, получим с А= ~ /ч б/. о Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), рав. ный джоулю в секунду (Дж/с). В заключение обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (илн мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой 88 именно силы (или сил) имеется в виду.

В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения. й 4.2. Консервативные силы. Потенциальная энергия Консервативные силы. Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу действует сила, то говорят, что частица находится в п о л е с и л. Так, например, частица может находиться в поле сил тяжести, в поле упругих сил, в поле снл сопротивления (в потоке жидкости, газа) и т. д. Рнс. 4.6 Рис. 4.о Поле, остающееся постоянным во времени, называют с т а ц и о н а р н ы м. Стационарное поле в одной системе отсчета может оказаться нестационарным ч другой системе отсчета.

В стационарном силовом поле сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения. Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути между этими точками. Вместе с тем имеются стационарные силовые поля, в которых работа, совершаемая над частицей силами поля, не зависит от пути между точками 1 и 2. Силы, обладающие таким свойством, называют к он сер в а т и в ными. Это свойство консервативных снл можно сформулировать и ина че: силы поля являются консервативными, если в стационарном слу чае их работа на любом замкнутом пути равна нулю Чтобы убе. диться а этом, разобьем произвольный замкнутый контур на двв части: та2 н 2И (рис.

4.5Е Тогда работа А на замкнутом пути А = Атак + "зи Нетрудно сообразить, что Ать~= — А~ми поэтому А =.- Атак — Атак. А твн нвн в нашем случае работа не зависит от пути, т. е, Амз =.-Лс,м то в результате и оназывзетсн, что работа на произвольном замкнутом пути действительно равна нулю: А=о. Все силы, не являющиеся консервативными, называют н е к о н с с р в а т и в н ы м и.

К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит, вообще говоря, от пути между начальным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на любом замкнутом пути). Поле центральных сил. Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу М в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называют це н т р а л ь н ы м и. Примером последних являются силы гравитационные, кулоновские и упругие. Центральную силу, действующую на частицу М со стороны частицы О, можно представить в таком виде: Г = 7 (и) е„ (4.8) где )(и) — функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от г — расстояния между частицами; е,— единичный вектор, задающий направление радиуса-вектора частицы М относительно частицы О (рис.

4.6) . Оказывается, центральные силы являются консервативными. Для доказательства этого утверждения найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы О. Элементарная работа силы (4.8) на перемещении дг есть 6А=Гбг=)(г)е„дг.

Так как е,с(г=с)г — проекция вектора бг на вектор е„или на соответствующий радиус- вектор г (см. рис, 4.4), то 6А=)(г)бг. Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 г Атг = ~ У (и) бг. 1 Полученное выражение зависит только от вида функции )(г), т. е. от характера взаимодействия, и от значений г1 и и,— начального и конечного расстояний между частицами М и О. От пути оно никак не зависит. Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвиж- 90 о А~о = ) г бг = сУ (г), > (4.9) Функцию У(г) называют потенциальной э пер г не й частицы в данном поле.

Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 4.7). Так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку О. Тогда работа на пути 102 может быть представлена в виде Аи= А1о+ Асо = А1о — Аэо, нли с учетом (4.9) (4,10) иых частиц, действующих на частицу М с силами Гь Гь ..., каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы М из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных снл.

А так как работа каждой из этих сил не зависит от пути, то и работа результирующей силы также не зависит от пути. Вывод: поскольку центральные силы обладают таким свойством, они являются консервативными. Потенциальная энергия частицы в поле. То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае стационарного , 1 поля зависит только от начально- 2 го и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе стационарное О поле консервативных сил, в котором мы перемещаем частицу из Рис. 4.7 разных точек Рс в некоторую фиксированную точку О. Так как работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость ее только от положения точки Р (при фиксированной точке О). Л это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора г точки Р. Обозначив эту функцию У(г), за- пишем Выражение, стоящее справа, есть у б ы л ь а потенциальной энергии, т, е.

разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути. Таким образом, работа сил полл на пути 1 — 2 равна убегли потенциальной энергии частицы в данном поле. Очевидно, частице, находящейся в точке О поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что работа сил поля определяет лишь разность потенциальных энергий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (4.10) . Формула (4.10) дает возможность найти выражение (((г) для любого стационарного поля консервативных сил.

Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия О(г). Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой н гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле сил тяжести (см.