И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 14

Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдем соотнетствуюгцее перемещение Лга плота относительно берега. В данном случае результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек — плот, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться не буде~, остзваясь равным нулю в процессе движения: тз чг + теча = О, где ч~ и чг — скорости человека н плота относительно берега. Но скорость человека относительно берега можно представить в виде ч~ —— =чз Ьч, где ч' — скорость человека относительно плота. Исключив ч~ нз этих двух уравнений, получим тз чз=— ч'.

т1+ тз Умножив обе части на й, найдем связь между элементарными перемещениями плота бгз н человека бг' относительно плота. Такая же связь будет, очевидно, и для конечных перемещений: гл1 Лгэ =— Лг'. тт+ тз Отсюда видно, что перемещение плота бгз не зависит от характера двнжевия человека, т. е. не зависит от закона ч'И). Подчеркнем еше раз; закон сохранения импульса выполняется только в инерциальных системах. Это, однако, не исключает случаев, когда импульс системы сохранялся бы и в неинерциальных системах отсчета. Для итого достаточно, чтобы в уравнении (3.4), справедливом и в неинерциальных системах отсчета, внешняя сила Г„„, (она включает в себя и силы инерции) была равна нулю.

Ясно, что такое положение может осушествляться лишь при специальных условиях. Соответствуюшие случаи довольно редки и имеют частный характер, 70 Теперь покажем, что если импульс системы сохраняется в одной инерцизльной К-системе отсчета, то он сохраняетси н в любой другой инерциальной Кпсистеме. Пусть а К-системе ж ~ лп ч~ = сопзц Если Кссистема движется относительно К системы со скоростью э', то скорость а.и частицы в К-системе момсно представить как ч~ = =чг' ь'э', где чг — скорость этой частицы в кпснстемс. тогда выражение для импульса системы можно преобразовать к следуюпгему виду: ~ пн тт + ч~х т; 'тг = сонэк Вторая сумма а этом равенстве не зависит от времени. А это значит, что н первая сумма — импульс системы в К'-системе отсчета — тоже не зависит от времени, т.

е. ~э ~ пн ъ; = гопак. Полученный результат полностью соответствует принципу относительности Галилея, согласно которому законы механики одинаковы во всех инерииальпых системах отсчета. Рассуждения, которые привели нас к закону сохранения импульса, целиком опирались на справедливость законов Ньютона. В частности, предполагалось, что материальные точки замкнутой системы взаимодействуют между собой попарно и это взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона, Л как обстоит дело в случае систем, не подчиняющихся законам Ньютона, например в системах с электромагнитным излучением? Ответ на этот вопрос дает опыт, который со всей убедительностью показывает, что закон сохранения импульса оказывается справедливым и для таких систем. Однако в этих случаях в общем балансе импульса необходимо учитывать не только импульсы частиц, по и импульс, которым обладает, как выясняется в электродинампке, само электромагнитное поле.

Таким образом, опыт показывает, что закон сохранения импульса, надлежащим образом обобщенный, представляет собой фундаментальный закон природы, не знающий никаких исключений Но в таком широком понимании он уже не является следствием законов Ньютона, а должен рассматриваться как самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных фактов. 5 3.4. Центр масс. Ц-система Центр масс.

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С, называемая це н т р о м м а с с, ко- торая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала О данной системы от- счета характеризуется радиусом-вектором гс, определяе- мым как ~гс= — ~ т,гг, ~ (3.8) где иг и г; — масса и радиус-вектор 1-й частицы, и— масса всей системы (рис. З.З). ° ь г я! - I Рис.

3.4 Рнс. 3.3 Пример, Покажем, что нентр масс системы из двух частиц с массами шг и ша находится на прямой, их соединяющей, в точке С, ко. торая делит расстояние между частицами в отношении й. и= =Ш21юь Пусть гь гг, гс — радиусы-векторы частиц 1, 2 и точки С (рис. 3,4).

Тогда положения этих частиц относительно точки С характеризуются радиусами-векторами Г1 — Г1 ГС Г2 = Г2 ГС ° После подстановки в эти равенства согласно (3.8) выражения гс= (т,г1+гпзгг))(т,+гяг) получим Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Впрочем, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным. Теперь найдем скорость Ус центра масс системы. Продифференцировав (3.8) по времени, получим 1 %( Ус= — р~ тгиг. (3.9) 21 — — ша (г1 — г2), г2 = гл1(г2 — г1). Отсюда следует, что векторы гб и га' коллинеарны (причем г,')(гг'), знэчит точна С лежит на прямой, проходящей через частицы (рис. 34).

Кроме того, модули этих векторов, т. е. расстояния и и (м обратно пропорциональны массам частиц. Если скорость центра масс равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной материальной точки. Скорость же Чс приобретает смысл скорости движения всей системы как целого. Из последней формулы с учетом (З.З) следует, что ('3. 10) р=гп Чс, т. е, импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Уравнение движения центра масс.

Понятие центра масс позволяет придать уравнению (3.4) ину!о форму, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно (3.10) подставить в (3.4) и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим (3.1 1) рвнеш> где Г,иея — результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть у р а в н е н и е д в и ж е н и я центра масс системы — одно из важнейших уравнений механики. Согласно этому уравнению, центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бьс приложены все внешние силы.

При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил. Далее, из уравнения (3.11) следует, что если Гвнеш= — О, то оЧс/й=— О, а значит, Чс=-сопз1. Таков, в частности, случай замкнутой системы (в инерцяальной системе отсчета). Кроме того, если Чс=сопз(, то, согласно (3.11), и импульс системы р= сопя(. Таким образом, если центр масс системсч движется равномерно и прямолинейно, то зто означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение. Уравнение (3.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних спл и обратно пропорционально суммарной массе системы.

Напомним, что в неинерциальиых системах отсчета результирующая всех внешних сил 73 включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции. Рассмотрим три примера на движение центра масс системы. Пример 1. Покажем, как можно иначе решить задачу с человеком на плоту (см. пример 2 на с. 70), если воспользоваться понятнем центра масс. Так как сопротнвлепне воды прснсбрежнмо мало, то результкру. ющая всех ннешннх снл, действующпх на систему человек — плот, равна нулю.

А это значит, что положенне центра масс данной сне. темы в процессе двяження человека (н плота) меняться не будет, т. е, ш, г, + шт гз == сопз1, где г, н гз — радиусы-векторы, характеризующие положения центров масс человека н плота отпоснтельпо некоторой точки берега. Из этого равенства найдем связь между прнращсннямн векторов г~ н га. тг Лгт + шт Лгз = О. Имея в внду, что прнращення Лг~ н Лг, прсдставляют собой перемещения человека н плота отпоснтельно берега, причем Лг~ =-Лгг+Лг', найдем перемептенне плота: Ш1 Лгз = Лг'. ш~+жз Пример 2.

Человек прыгает с вышки в воду. Двнженне прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер, Однако если сопротнвленне воздуха пренебрежнмо мало, то можно сразу утверждать, что центр масс прыгуна движется по параболе, как материальная точна, на которую действует постоянная сила тй, где т — масса человека. Пример 3. Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом осн центробежной машнны, равномерно вращается вокруг вертикальной осн с угловой скоростью ю (ркс. 3.5). Прн этом нить образует угол 0 с вертнкалью.

Как ведет себя цевтр масс цепочки? Прежде всего ясно, что прн равномерном вращении центр масс цепочки не движется в вертикальном направлении. Это значит, что вертикальная составляющая силы Т натяжения нити компенсирует силу тяжести тй (рнс. 3.5, справа). Горизонтальная же составляющая силы натяакення постоянна по модулю н все время направлена к осн вращения, Отсюда следует, что центр масс цепочки (точка С) движется по горизонтальной окружности, радиус которой р легко найти с помощью уравненнн (3.11), запнсав его в виде т мз р = шя 13 $, где т — масса цепочки.

Прн этом точка С все время находятся меж- ду осью вращения н нитью, как показано на рисунке. д('-система. В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не ее движение как цело~о, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой 74 центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления, и соответствующие расчеты. Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерцнальным системам, называют с и с т е м о й ц е н т р а м а с с или, кратко, Ц-с н стем ой. Отличительной особенностью Ц-системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю — это непосредственно следует из Формулы (3.10), ибо в Ц-системе Чс=О.

Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей Ц-системе. Для замкнутой системы частиц ее Ц-система являет- с / РОКАР ся инерциальной, для незамкнутой — в общем случае неинерциальной. Необходимо отметить, что Ц-система играет существен- . с. ную роль в физике. Это обусловлено рядом несомненных преимуществ, которые дает Рис. 3.5 ее применение во многих ситуациях. В дальнейшем мы будем обращаться к этой системе отсчета неоднократно (в теории столкновений частиц, в динамике твердого тела и др.).