И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 10

Эти силы назвали силами инерции, Уравнение (2.18) показывает, что введение сил инерции позволяет сохранить по форме основное уравнение динамики и для нениерциальных систем; слева — произведение массы частицы на ее ускорение (но уже по отношению к неинерциальной системе отсчета), справа— силы. Однако кроме силы Г, обусловленной действием окружающих тел (силы взаимодействия), необходимо учесть и силы инерции — остальные слагаемые в правой части уравнения (2.18). Силы инерции. Перепишем уравнение (2.18) в таком виде: (2.19) лга'=Г+Гиз+Гяб+ Гк.р, где ~ Г..= — таз ~ (2.20) — поступательная сила инерции, обусловленная поступательным движением неннерциальной системы отсчета; (2. 2! ) †центробежн сила инерции ~ Г„;р — — Зи(ч' о] ~ (2.22) — сила Кориолиса, или корнолисова сила инерции. Последние две силы обусловлены вращательным движением системы отсчета.

Мы видим, таким образом, что силы инерции зависят от свойств неинерцнальной системы отсчета (ам ьм), а также от расстояния р и скорости ч' частицы в этой системе отсчета. Если, например, нениерциальная система отсчета движется поступательно (по отношению к инерциальной системе отсчета), то в этой системе на свободную частицу действует только сила (2.20), направление которой противоположно ускорению а, данной системы отсчета. Вспомним, как при резком торможении вагона сила инерции бросает нас вперед, т. е. в сторону, противоположную вектору ао.

Другой случай: система отсчета вращается с угловой скоростью м вокруг неподвижной оси, и тело А покоится в этой системе (например, вы сидите на горизонтальном вращающемся круге аттракциона «колесо смеха»). На 50 тело А кроме силы взаимодействия с окружающими телами действует центробежная сила инерции (2.21), направленная от осн вращения вдоль радиуса-вектора Р.

Пока тело А покоится относительно круга (ч'=О), эта сила компенсирует силу взаимодействия. Но как только тело придет в движение, т. е. появится скорость и', начнет действовать и сила Кориолиса (2.22), напранление которой определяет векторное произведение [и'е). Заметим, что сила Ко- и1 рнолнса появляется в гз дополнение к центробежной силе инерции, действующей независимо от того, покоится те- 4 и ! 1 6 г„„ Рис.

2.5 Рис. 2.6 ло илн движется во вращающесйя системе отсчета. Ранее было отмечено, что система отсчета, связанная с земной поверхностью, во многих случаях может считаться практически инерциальной. Однако существует ряд явлений, истолкование которых в этой системе отсчета невозможно без учета ее неинерциальности. Известно, например, что ускорение свободного падения тел относительно поверхности Земли имеет наибольшее значение у полюсов.

Уменьшение этого ускорения по мере приближения к экватору объясняется не только несферичностью Земли, но н возрастающим действием центробежной силы инерции. Илн такие явления, как отклонение свобо1рю падающих тел к востоку, размыв правых берегов рек в северном полушарии и левых берегов — в южном, вращение плоскости качания маятника Фуко н др.

Подобные явления связаны с движением тел относительно поверхности Земли и могут быть объяснены действием сил Корнолиса. 51 Пример. Поезд массы гл движется по меридиану на широте р со скоростью т'. Найдем силу Н' бокового давления, с которой поезд действует нз рельсы. В системс отсчета, связанной с Землей (она вращается с угловой скоростью ю ), составляющая ускорения поезда, перпендикулярная плоскости меридиана, равна нулю.

Поэтому и сумма проекций сил, действующих на поезд в этом направлении, также равна нулю. А это значит, что сила Кориолиса Р ьр (рис. 2.5) должна уравновешиваться силой Н бокового давления, действующей на поезд со стороны ПраВОГО ПО ХОду дВИжЕНИя рСЛЬСа, т. Е. Ркьр= — Н.

ПО трЕтЬЕМу За. кану 11ьютона, поезд будет действовать на этот рельс в горизонталь. ном направлении с силой Н'= — Н. Следовательно, Н'=Гк»р=* =2гл [к' ю [. Модуль вектора Н' равен )т'=2шп'м з1п ~р. Следуюшнй простой пример показывает, как «возннкают» силы инерции прн переходе от ннерцнальной снстемы отсчета к неннерцнальной. Пример. На поверхности стола находится горизонтальный диск »1, свободно вращающийся вокруг вертикальной осн с постоянной угловой скоростью м Над диском висит шарик массы т, как пока. вано на рис.

2.6, и. Рассмотрим поведение этого шарика в К-системе отсчета, связанной со столом (она предполагается инерциальной), и в Кссистеме, связанной с вращающимся диском. В иаерциальной К-системе аа шарик действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения со стороны нити. Эти силы компенсируют друг друга, и шарик покоится. В неинерциальной К'-снстеме шарик движется равномерно по окружности с нормальным ускорением ы'р, где р — расстояние от шарика до оси вращения. Легко убедиться, что это ускорение обусловлено дейстннем сил инерции.

В самом деле, в К'-системе помимо указанных выше двух сил, компенсирующих друг друга, действуют еще центробежная сила инерции и сила Корнолнса (рнс. 2.6, б). Взяв проекции этих снл на нормаль и к траектории в точке нахож. денна шарика, запишем та'„= Ркор — Раа .= 2то' м — тмт Р =- тмт Р, где учтено, что в данном слу ~ае ое=юр. Отсюда видно, что а'„= — м~зр Особенности снл инерции. Подводя итог, перечислим важнейшие особенности снл инерции, отличающие нх от снл взаимодействия: 1. Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неннерцнальных систем отсчета.

Поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется. 2. Этн силы существуют только в неннерцнальных снстемах отсчета — это пеобходнмо твердо помнить во избежание недоразумений. В ннерцнальных системах отсчета снл ннерцнн вообще нет, н понятие сила в этих системах отсчета применяется только в ньютоновском смысле, как мера взаимодействия тел. 52 3. Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как н в поле снл тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от нх масс. Это весьма существенный факт с далеко идущими последствиями. Принцип аквнвалеитности.

Тот факт, что силы инерции, как н силы тяготения, пропорциональны массам тел, приводит к следущему важному заключению, Г1редставям себе, что мы находимся в некоторой закрытой лаборатории н не имеем возл1ожностн наблюдать внешний мнр. Допустим, кроме того, что мы не знаем, где находится лаборатория: в космическом пространстве или, скажем, на Земле. За- м мечая, что все тела независимо от лгг ггр нх массы падают в лаборатории с одинаковым ускорением, мы не можем на основании только этого р гп тр л факта установить, чем вызвано это ускорение — полем тяготения, ускоренным поступательным движс- Рис. 2.7 пнем самой лаборатории илн, наконец, обеими этими причинами вместе.

Никакие опыты по свободному падению тел в такой лаборатории пе могут отличить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции. Эйнштейн высказал предположение, что вообще ннкакимн физическими опытами невозможно отличить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции. Это предположение, возведенное в постулат, н составляет содержание так называемого п р н н ц н п а экв н в а лен т н о стн сил тяготения н сил инерции: все физические явления в однородном лоле тяготения происходят совершенно гак же, нак и в соответствующем однородном поле гих инерции.

Глубокая аналогия между силами инерции и снламн тяготения послужила отправным пунктом при построении Эйнштейном о б щ е й теории относительности, нли релятивистской теории гравитации. В заключение необходимо отметить, что любую механическую задачу можно решить в ннерцнальной н неннерцнальной системах отсчета. Выбор той нлн иной системы отсчета обычно диктуется нлн постановкой вопроса, нлн стремлением получить решение возможно более простым путем. Прн этом часто наиболее удобно пользоваться именно неинерцнальнымн системами отсчета (см. задачи 2.9 — 2.11). Задачи ф 2Л. Основное уравнение динамики. Брусок массы гн, находится на доске массы ть которая лежит на гладкой горизонтальной плоское~и 1рис.

2.7). Коэффициент трения между бруском и доской раасн й. К доске приложили горизонтальную силу Р, зависящую от времени / по закону Р=ай где а — постоянная. Найти: 1) момент времени /и когда досна начнет выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения бруска аг и доски аз в процессе движения. Р е ш е н и е. 1. Запишем основное уравнение динамики для бруска и доски, взяв положительное направление оси х, как поназано на рисунке: т, а~ = Ртю тз аз = Š— Рта (1) По мере возрастания силы г будет расти и сила трения гтр (вначале она является силой трения покоя). Но г"тр имеет предел г" э.ча а =/глмйс Пока этот предел не достигнут, оба тела будут двигаться как единое целое с одинаковыми ускорениями, Когда же сила Г~ Шр ! 1х( Рис. 2.9 Рис. 2.8 Етр достигнет предела, доска начнет выскальзывать из.под бруска, т.

е. лг ллы Подставив сюда выражения для аг и аз из (1) с учетом того, что г", =Ьл,п, получим (а/ — й ттрн)/тз > йл, где знак равенства соответствует моменту /=/в Отсюда /о = (тт + тт) йд/а. 2. Если /м/а, то аг =аз =-аг/(тт+ тз); если же /Ыч, то аз=йи=соиз1, аз=(а/ — йтгк)/тз. Графики зависимостей о1 и аз от / показаны на рнс. 2,8.