Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов, страница 9

При построении формальной матрицы Я удобно нормировать собственные векторы, чтобы они имели единичные амплитуды. Только чго показано, что собственные векторы для различных собственных значений ортогональны. Для кратных собственных значений выберем такие соответствующие собственные векторы, чтобы все они также были ортогональны. Тогда все Е+1 собственных вектора, представляющие собой столбцы матрицы (й, являются взаимно ортогональными и нормированными, и говорят, что матрица 6) — ортонормированная.

С этого момента будем считать формальную матрицу Ц ортонормнрованной. Тогда можно записать рот (3. 12) И ц-1 ()т (3. 13) Следовательно, обратная матрица Я ' всегда существует. Наконец, можно показать, что собственные значения корреляционной матрицы входного сигнала всегда неотрицательны Как отмечалось в гл 2 при обсуждении соотношения (2.33), матрппа Й в общем случае является положительно полуопределенной и, таким образом, 21'тйУ) О. (3.14) зз ' Это равепства выполняется прп играл. — Прим.

перев. (3,21) (3.32) (3. 17) (3,18) С'+С2 — С +С 2 2 (3.23) Таким образом, с, = ~ со = 1!)с 2 (3.24) (3.25) Следовательно [0,5 0,25~ (3.19) Следовательно, (3,20) )Со = 0 25' Х, = 0,75. 40 Кроме того, подставляя (3.13) в (3.15), имеем о саЛсо-1 соЛ~ )т (3.! 5) Вектор У представляет собой отклонение вектора весовых коэффициентов от оптимального, и его можно выбрать таким, чтобы он был любым вектором в (3.!4). Пусть вектор аг равен последовательно каждому из столбцов матрицы Е), т.

е. равен по порядку 1)а, Ф, ..., а)ь. Тогда (3.14) выполняется для каждого из этих случаев, а все Е+1 случаи можно описать соотношением 1?~ 1Щ ~ О. (3. 16) Подставляя (3.15) вместо Р в (3,16), имеем (12 ОЛ41'41 ~ 0. Если теперь подставить сюда формулу (3.13), то Л)0. Основными выводами данного раздела являются следующие: 1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям матрицы и, взаимно ортогональны. 2. Все собственные значения матрицы й — действительные неотрицательные числа. 3.

Матрицу собственных векторов ь) можно нормировать (привести к ортонормированной) так, чтобы а1 а)т=1. Пример системы е двумя весовыми коэффициентами В общем случае для решения характеристического уравнения (3.2) необходимо найти корни полинома степени Е+1. Обычно для решения такой задачи требуется ЭВМ, и для нахождения собственных значений матриц пригодны различные известные алгоритмы 13, 61. Для действительных симметрических матриц, аналогичных )с, есть специальные алгоритмы 14!. В этом разделе анализируется случай с Е+1=2 весовыми коэффициентами, когда характеристическое уравнение является квадратным, и поэтому решать его легко.

Рассмотрим корреляционную матрицу входного сигнала, используемую в качестве примера в гл. 2, и вариант, для которого !а'=6 в (2.22). В этом случае Используя (3.2), получаем для собственных значений с(е1Я вЂ” Х!) =с)е1[ ' ' ~= Л' — с.+0,1875=0. 0,25 0,5 — Х Собственные значения также легко найти при использовании (3.3) или (3.1): [0,25 0 25) [Чаа1 0. [Чаа~ [ С21. [ — 0,25 0,251 [Чаа ~ 0. [Чоа] [с21 Отметим, что поскольку, как и в (3,1), с(е1[й — Х1) =-О, матрицы коэффициентов в (3.21) и (322) являются особенными, т.

е. значения коэффициентов Ч можно найти только в виде произвольных констант с, и с . Эти константы выбираем так, чтобы матрица Я в (3.12) и (3.13) была нормированной; Зная собственные значения и собственные векторы, можно теперь записать 11 в нормальной форме, т. е. в виде (3.5): Р=Е)Л41 '=Е)Ла)т. ГОЛЬ 0,5 1 2 [ — ! Л [0 0,751 [! .$ (3'26) Заметим, что все элементы матрицы Л н Я имеют свойства, рассмотренные в предыдущем разделе. Собственные векторы ортогональны, т. е. их скалярное произведение равно нулю: ЧССЧоа+ ЧаоЧп = ! — 1= 0. (3. 27) Ооа собственных значения являются действительными неотрицательными числами, а Я вЂ” ортонормированная, как и в (3.23), матрица, и цот=1, Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных значений Собственные векторы и собственные значения непосредственно связаны с некоторыми свойствами поверхности, образованной графиком функции ошибки $.

Напомним, что $, определяемая соотношением (2,31), описывает гиперпараболическую поверхность в о! (Е+2)-мерном пространстве с координатными осями, соответстюшими 5, и>о, сво ..., и>я, РассмотРим тепеРь системы только с двУ- мя весовыми коэффициентами, т. е. некоторое трехмерное пространство. Затем можно сделать обобщение для пространств большей размерности или для двухмерного пространства в системе с одним весовым коэффициентом. Для случая с двумя весовыми коэффициентами функция 5, аналогично примеру на рис.

2.5, описывает параболоид. Как показано на рис, 3.1, при сечении параболоида плоскостями, параллельными плоскости п>о2вь образуются концентрические эллипсы, соответствующие некоторому постоянному значению СКО. Из (2.13) следует, что в общем виде зависимость, описывающая любую из проекций этих кривых на плоскости шсшь определяется выражением %7)с% — 2РтЪЧ = константа. (3.28) Как показано на рис. 3.1, можно перейти от вектора % к новым координатам — компонентам вектора Ч, начало которых находится в центре концентрических эллипсов, Это начало координат соответствует координатам точки с минимальным значением СКО и в соответствии с (2.17) Ч= % — Р-' Р =% — %'". (3.29) 2,5 Тогда (3.28) принимает вид ЧтРЧ=другая константа. (3.

ЗО) Выражение (3.30) описывает эллипс (или в общем случае гипер- эллипс) с центром в начале координат иоиь В этой новой систе- ме координат существуют две (или в общем случае Е+1) пер- пендикулярные прямые, называемые главными осями' эллипса, которые на рис. 3.1 обозначены о', и и'ь Можно получить выражение для любой нормали эллипса, если полагать, что эллипс описывается функцией Р(Ч) =ЧтосЧ, и найти выражение для градиента Р, который является также градиен- том $, поскольку $ и Р отличаются лишь константой.

Градиент дР дР дР 1 2мЧ (3 доо (К этому результату можно прийти, если записать ЧтмЧ в виде двойной суммы и найти поочередно каждую производную.) Кроме того, любой вектор, проходящий через начало коорди- нат при Ч=-О, должен иметь вид рЪ'. Но через начало координат проходит и является нормалью к кривой Р(Ч) главная ось, Та- ким образом, 2РЧ'= рЧ' или (3.32) о.о — 5,5 . 7.5 -2,5 о,о 2,5 5.0 о Рвс. 3.1. Эллипсы на плоскости моюь соответствуюгдве некоторым постоянным значениям ОКО с приведенной системой координат оо я о, в главными осями о'о я о'ь Этя эллипсы являются контурами проекций ссчеввй повсрхяоств, изоб- раженной на ряс. 2.3. 42 где Ъ" представляет собой главную ось.

Этот результат имеет такой же вид, как соотношение (3.!), поэтому Ч' должен быть собственным вектором матрицы к. Итак, собственные векторы корреляционной матрицы входного сигнала определяют главные оси сечений поверхности, образованной графиком функции ошибки (рабочей функции). Завершая геометрические преобразования, рассмотрим выражения для функции ошибки во всех трех системах координат Из (2.28), (2.23) и (3.5) +(ЪЧ ЪЧо)тР(% %о). (3.33) 3„=3 ы+ЧтРЧ; (3.34) ;=~,„+Ч'(б)Лб)т) Ч = =$,оЦ- (Я'Ч)тЛ((1'Ч) ='...ы+Ч"АЧ'. (3.35) Уравнения (З.ЗЗ), (3.34) и (3.35) представляют собой функцию, выраженную соответственно в обычной и смещенной систе- ' Главные ося являются осями симметрия эллипса — фокальиой о'„, яа котоРой Расположены фокусы эллипса, в перпендикулярной сй осью о', (ом, рвс.

3.1). — Прим. Перев. 43 другой пример вращение: У'=СГУ=О 'У. (3.38) или а также — =2Л„; а=О, 1, ..., Е, ~ьо (3.40) Следовательно оз=оьоип+1оо(ге — ге ) следовательно (3.48) (3.49) мах координат и в системе координат, образованной главными осями. Снова, как и в (3.31), вычислив градиент, можно видоиз- менить (3.35): ~7=2ЛУ'=2[Лов'оЛ|п', ... Льи с)т (3.36) В отличие от (3.31) очевидно, что если только один компонент и'„ яв,ляется ненулевым, то вектор градиента лежит на этой оси.

Следовательно, Ъ" в (3.35) представляет собой систему координат, образованную главными осями, Следующие преобразования соответствуют выражениям (3.34) и (3.35): смешение: У=ЪУ вЂ” %", (3.37) Эти преобразования можно представить в примере на рис. 3.!. Важна также геометрическая интерпретация собственных значений матрицы м. Как видно из (3.36), градиент я относительно любой главной оси и'„можно записать в виде — = 2Л„п,',, (3.39) до Таким образом, вторая производная функпия о относительно любой главной оси равна удвоенному собственному значению, т. е. собственные значения корреляционной матрицы к входного сигнала соответствуют вторым производньсм функции огиибки $ относительно главных осей.

В качсстве простого примера, иллюстрирующего этот результат, рассмотрим систему с одним весовым коэффициентом, в которой функция становится параболой. Пусть г — (т, и)-й элемент матрицы К. Тогда из (2.33 )для этого случая (3.41) Здесь сушествует только одно измерение для вектора %, поэтому ось ое, кроме того, является главной осью, а собственное значение Л=го,. Дважды дифференцируя эту функцию по шь так же, как и в (2.34), получаем — — -- 2г, = 2Л. (3,42) дго Таким образом, для одного весового коэффициента вторая производная параболы в любой точке равна 2гоо. Численный пример для системы с двумя весовыми коэффициентами рассматривается в следую"цем разделе.

44 Рассмотрим еще один пример системы с двумя весовыми коэффициентами, аналогичный первому, но более сложный. Пусть имеются следующие характеристики сигнала, необходимые для определения функции ошибки: й —.— [ 1; Р =- [ 1; Е! с(оо) = 42. (3,43) 1 г З Подставляя эти соотношения в (2.13), имеем Ц.=42+(ш,ш ) [ ~ [ "1 — 217 8) [""~ =- = 2оео -+ 2ш', + 2шо юо — 14оео — 16ш + 42 (3,44) о Эта функция ошибки также описывает параболоид в трехмерном пространстве с осями о, гво и шь Из (2.17) найдем оптимальный вектор весовых коэффициентов %"', соответствующий минимальному значению СКО о шо~1=12 31.