Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов, страница 8

Если отсчет попадает на точку разрыва сигнала, ему присваивается значение сигнала правее атой точки. Найдите: а) Е[иьиа- ]; б) Е[рара-л]; в) Е [паха-н]; г) Е[иара д) Е[хара-п]. 12. Используя пример ив упражнения 11, покажите, что в общем случае ввтокорреляционная функция является четной функцией сдвига и, а взавмокорреляционнап функция не является. 34 13.

Рассмотрим адаптивный линейный сумматор, схема которого приведена ниже. Предположим, что требуется минимизировать Е[ь'а], а не Е[еаа], а также, что сигналы х,а, х,а и г(а являются стационарными. Получите выражение для Е[еаь]. Определите, является ли Е[еаа] квадратичной функцией ша н юг и является ли Е[е'а] унимодальиой функцией гво и ьур Ответы к некоторым упражнениям 3. з) ма=[2.758 3,403]т; б) па=2,753з!п(йл)5) — 3,403з!п[(я — 1)я/5].

4. а) юао йа,тоб!8гсаич —,'- 1,902!ш~ — 4=0. б) ьуаа +ига, -1- 1,6!8шою, +1,1756ю~ — 4=0. 5. а) ту=[0 1,4142]т б) т?=[2 28284]т [ — 2 0]т 6. 8=ма,— 2гп,-(-4, агв, !. 7. $ ша,— 2ш, ! Т,вв, 05 8. ш*~=1, 5мгв 3. 13. а) Е[еаа] =юа~Е[хааа]+юагЕ[ха,а] — 4шааЕ[г)ааааа]+ ... +12юаюаЕ[с(аХ Хаааа~а] — 4шаЕ[г)аахаа] — 4ю,Е[гуаьхга]+Е[г!аа]; б) нет; в) в общем случае иет. Часть П.

ТЕОРИЯ АДАПТАЦИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ Тепе ь читатель имеет общее представлеиие о рабочей фупкции, илп функции ошибки, и о том, как эта функция отражает адаптивные параметры. Г1ри адаптввиой обработке сигиалов поверхность, образованная рабочей фуякцией.

обладает следующим важным свойством: если сигпалы являготся стационарными и имеют пивариаитиые в статистическом смысле свой "ствз, то эта позерхпость фиксирована п остается неподвижной в своей систе. с рд м коо ашт, В этом слу. чае процесс адаптации заключается в движении, ч иии, пачипая с иекоторой пачаль. яой точки, вппз по этой поверхпости до окрестпо т с и точки мипимума, и в удер- жапии средиеквадратического значения сигнала ошибки около этой точки.

Кроме того, если сигизлы иестациопариы и пх статисти ческие свойства мештеиио мепяются, то можио считать, что эта поверхаость является «рззмы- тойз цли взмеияет свою фо м и. форму или местоположеиие отпосятельпо свстемы ко- с пилат. В этом случае процесс адаптации состоит пе только з движеяпи к точке минимума, по и в слежеиии за точкой минимум, ордипат.

этом едуча а, поскольк она меняет ' у свое положение, Наиболее простому для акализа случаю стациоиар ых иых сигпалов, когда по- верхиость, образоваииая графиком рабочей фуякц ии, иеподвижпа отпосительио системы координат, посвящены гл. 3 — б. В гл. 3 приводятся некоторые мате. магические свойства рабочей фуякции, которые уду р б т полезны прв сравксшш в пос. ледующих главах фупкциаипровзния разлачиых адаптивных систем. чгк~ яп - — метод В гл. 4 излагаются два осповиых метода поиска рабочей фупкцяп -- .

* Ньютаиа и метод иаяскорейшего спуска — и д аи их с азиптельиый анализ. Р В гл. б изучается влияние иа эффективность методов шума оцепки гпадиеитз. которой необходимо пользоваться в практических условиях. Все эти главы являются теоретической основой для ч, Ш. в которой иачи- пается обсуждение практическвх адаптивных алгор . у итмов. Поэтом прв чтении можно опустить некоторые разделы ч. П пли сразу р " пе ейтп к ч. Н!, а затем вернуться к ч. Н. Глава 3 СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ РАБОЧЕЙ ФУНКЦИИ После определения рабочей функции для класса адаптивных систем м м можно перейти к обсуждению алгоритмов для коррекции весовых коэффициентов и спуска по поверхности, обр об азованной ф к м абочей функции, к минимальному значению среднеква атической ошибки.

Этому посвящены следу щ р .ю ие т и главы. Прежде всего необходимо описать некоторые ге важные свойства квадратичной рабочей функции. Читатели, которых интересует только описание алгоритмов поиска рабочей функции, могут пе- зб Рейти к гл. 6, однако для понимания существа процесса поиска материал предшествующих глав необходим, Свойства рабочей функции, рассматриваемые в этой главе, определяются в свою очередь свойствами корреляционной ~матрицы входного сигнала Й. В предыдущей главе показано, что если входные сигналы адаптивного линейного сумматора являются стационарными, то СКО можно выразить через корреляционную матрицу входного сигнала Й соотношением (2.33) й — — $т и р (% — %")'Й(% — %') =-$гпш+У'ЙУ.

Отметим, что поскольку здесь Е+1 весовых коэффициентов (компонентов вектора %), матрица Й имеет й+! столбцов и Г + 1 строк. Из (2.33) следует, что рабочая функция СКО является функцией Й. Представляя Й в нормальной форме через собственные значения и собственные векторы, можно исследовать многие свойства рабочей функции. Такое представление матриц можно найти в любой книге по линейной алгебре, в частности полезной является книга 151, Краткий обзор основных положений такого представления содержится в последующих двух разделах. Нормальная форма иорреляционной матрицы входного сигнала Характеристические (собственные) значения матрицы Й находятся из однородного уравнения (Й вЂ” Л1) О„=О, (3.1) где Л вЂ” скалярная переменная; ь), — вектор-столбец; 1 — единичная матрица; Π— вектор, все элементы которого равны нулю.

Это одноРодное увеличение имеет нетривиальное решение для Л и 0„ тогда и только тогда, когда с1е1 1Й вЂ” Л1) =О. (3.2) Уравнение (3.2), называемое характеристическим уравнением матРицы Й, является алгебраическим уравнением степени ь'+1 относительно переменной Л. Его Г +1 решений, обозначаемых Л„ЛГ, ... ..., Ль, являются собственно!жи значениями матрицы Й, не все из которых могут быть различными. Для каждого собственного значения Лп существует, по крайней мере, одно векторное решение 0 уравнения (3.1), которое определяется следующим образом: Йгпсэп = Лпе уп (3.3) Вектор С)п является и-и собстнениым вектором матрицы й и свя- зан сЛ . Раскрывая (3.3), получаем Й(4), О, - 0 ) = (й, ь), ... (1,) (3.4) ВУ которое можно переписать в виде Й(1=ЯЛ или Й=б)Л(4-1.

(3. 5) Равенство (3.5) представляет собой нормальную форму матрицы Й, где собственные значения входят только в матрицу Л. Как следует из (3.4), матрица собственных значений Л является диагональной. Все ее элементы равны нулю, за исключением элементов на главной диагонали, которые составляют множество собственных значений матрицы Й. Формальная матрица 1.) называется матрицей собственных векторов матрицы Й, поскольку ее столбцы являются собственными векторами матрицы Й. Аналогично матрице Й как Л, так и Я вЂ” квадратные матрицы размера (Е+1) Х Х (Е+1). Собственные значения и собственные векторы корреляционной матрицы входного сигнала В соответствии с (2.11) Й вЂ” симметрическая матрица, и Й=Йт.

Следовательно, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, должны быть ортогональны, т. е. 122 Я,=- =0 для любой пары векторов.' Это легко показать. Пусть 31 и 12— два различных собственных значения. Тогда Й211 =),Я1 (3.6) (3.7) равенсгва на ь) Й(222 =) 22)2 ° Транспонируем (3.6) и умножим обе 1яг ' справа: (3.8) О '1 ." 1СВЭ: , 1 (3.8) и 1',. и, плл г)т,Йтг) )ло,ч, Далее умножим обе части равепс1ас 13 1) на () 1Ййг =) 2(2 1~:22. Теперь, имея в виду, что Й=Йт, и сравнивая чаем гл ггт, г), ) ()т, гг 13, '01 Поскольку по предположению 31Ф)2, 02102-0, (331) и поэтому собственные векторы, соответствующие 31 и аг, ортогональны.

Так как Й вЂ” не только симметрическая, но и действительная матрица (все ее элементы — действительные числа), все собственные значения матрицы должны быть действительными. Это можно показать методом от противного. Предположим, что ).1 — комплексное собственное значение матрицы Й. Характеристическое уравнение матрицы Й (32) представляет собой полипом переменной Х степени 1'+1, который приравнивается нулю. Если комплексное число, то комплексно-сопряженное с ним значение ).1 также должно быть собственным, поскольку комплексные корни такого полинома являются парой комплексно-сопряженных чисел. Более того, если ),1 — комплексное число, то соответствующий ему собственный вектор Я1 также должен быть комплексным, поскольку Й вЂ” матрица действительных чисел, что следует из равенства (3.6). Кроме того, связанный с 131 собственный вектор (?, должен быть комп.1сксно-сопряженным с вектором Ь21.

Поскольку л1 предполагалось комплексным числом, оно не может быть равно числу, комплексно-сопряженному с ним, т. е. а1=.1е21. Так как ).1 и 31 не равны, соответствующие собственные векторы должны быть ортогональны, т. е. Ят (3=0. Но это невозможно, так как скалярное произведение комплексного н комплексно-сопряженного с ним векторов, равное сумме квадратов пх компонентов, должно быть положительным числом. Следовательно, предположение, что 31 является комплексным, приводит к противоречию, и все собственные значения корреляционной матрицы входного сигнала должны быть действительными. Еще олин важный результат теории матриц состоит в том, что если собственное значение 81, имеет кратность пг, то существует гп соответствующих линейно независимых собственных векторов, При необходимости нх всегда можно построить так, чтобы они были взаимно ортогональны и ортогональны всем другим собственным векторам.