Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов, страница 7

~ в ( .1 ), мо вычислить математическое ожидание произведений сигналов н (2.11) и (2.12). Отметим, что для системы с одним входом необходимо изменить индексы при х в соответствии с ( . ). Д .ц = 5 и (2ЫМ ! «л у — ачхе « ь'~ гь е рнс... ример адаптии Р, 2.6. П о дииейвого сумматора с лауми весовыми коэффициентами 29 Э равенство является уравнением Винера — Хо фа г8,, 1, то записанным в матричной форме. Подставляя теп рь ( . ) (2.13), получаем минимальное значение СКО: $ и Е[г(еа] ! %«тм%« 2Рт%« Е[бз,]+ [ — 'Р]таей-~Р 2Рт — 1Р (2 18) У им полученный результат, используя следующие три свой- прост п .. ства, которые полезны при рассмотрении рабочей функции К 1. Для любой квадратной матрицы существует единичная матрица: любого произведения синусоидальных функций математическое ожидание произведения можно найти усреднением этого произведения за один или более периодов.

Таким образом, Е(хьхе „)= — ~51п 51п 1 ~ . 2лл . 2л(ь — л] 2лл =0,5соз —, в=О, 1; (2.20) л'„, Ф ЛГ Ж Е (ГГ, хь — и) = — ~„'соз — ' 51п 2 2ль . 2л(ь — л) . 2лл = — 51п —, Л= О, 1. (2.21) ЛГ, ГУ Ф Л' Отметим, что Е[хеь] =Е[х55-11, поскольку усреднение осуществляется по й. На основании этих результатов можно получить выражении для корреляционных матриц входного сигнала 11 (2.11) и вектора Р (2.12) в рассматриваемом примере системы с одним входом и двумя весовыми коэффициентами: 2л хьхе 1 05 0,5 сое — ' ЛГ (2.22) 2л х х !ха х 0,5 005 0,5 ЛГ Р=Е[с(ьхь Г(5 хе 1) =[Π— 51п — 1 . т Г .

201т (2.23) л 1' Так же, как и в (2.20) и (2.21), получаем, что Е[5(551=2. Подставляя полученные результаты в (2.13), находим функцию СКО ошибки для нашего примера: с = Е [ с(5) -1- %т В% — 2Р % = 2л 1 СО5 — 50 Л' а =- 2 + 0,5 (шо 101) 2л 005 У ! 501 — 2 [Π— 51п — "11 51= 0,5 [501-1-505) Г-цГ Гв,соз — 21015!и — + 2. 2л (2.24) График этой функции для АГ=5 приведен на рис. 2.5. Отметим, что зависимость является квадратичной по 500 и 501 и имеет единственный глобальный минимум. Подставив (2.22) и (2.23) в (2.15), найдем вектор градиента для любой точки Гво, ю1: 17 =211% — 2Р= 505 0 — 2 2л 50 1 — ио— М 2л 005 Л' 30 2л 50 + И1 005 (2.25) 2л — 2 соеес— М ь1010 Е [ с(5) — Р %*= 2 — [ О: 5Гп — "~ С первого взгляда полученный результат может показаться удивительным, поскольку для любого значения ЛГ весовые коэффициенты в схеме на рис. 2.6 можно скорректировать так, чтобы свести зе к нулю.

Сам по себе элемент задержки может изменить хь с синусоидальной на косинусоидальную функцию только при ЛГ=4, т. е только при задержке, равной четверти периода. В этом случае из (2.26) следует, что ю"0=0 и 50*1= — 2. Однако в адаптивном линейном сумматоре с задержкой и двумя весовы- МИ КОЭффИЦИЕНтаМИ ВСЕГДа ВОЗМОЖЕН таКОй СДВИГ Хео ПРИ КОТО- ром для любого АГ)2 можно получить соответствующую косинусоидальную функцию (см, упражнение 3). Другое представление градиента Поскольку СКО является квадратичной функцией %, достигающей своего минимального значения при %=%*, можно записать + (% %5)т41(% %5) (2.28) Покажем, что это выражение справедливо. Отметим, что в общем случае (А — В) т=Ат — Вт, раскроем скобки в (2.28) и найдем 1 %*1)5%5 1 %1)1% %1)1%* %5т)ЦЧ (2 29) Каждый член в (2.29) является скалярной величиной в поэтому равен своему транспонированному значению.

Следовательно, последние два члена равны друг другу. В результате подставив вместо $,05 выражение (2.19), запишем ~=Е[,(5,) Рт%*+%5т)1%* 1%тР% 2%тК%* (230) 31 2л 2л 50 005 + 151+ 2 5!и Ф В этом примере винеровский вектор весовых коэффициентов можно найти формально из (2.17), вычислив обратную матрицу Гч нли приравнивая ~ нулю в (2.25). Конечно, обе операции эквивалентны, и в обоих случаях в результате имеем %*= [ 2 01н —" — 2созес — 1 .

(2.26) М ЛГ Напомним, что ранее принято Ж)2, поэтому здесь ю*о и ш*1 всегда конечны. Наконец, подставляя (2.23) и (2.26) в (2.19), находим для данного примера минимальное значение СКО 2л 2 015 = О. (2.27) Подставляя вместо %* выражение (2.17) и имея в виду, что К вЂ” симметрическая матрица, получаем $=Е[с(гд1 — РТР-гР+Ртй-гж-1Р+%тр% 2%таей-гР= — Е[с[гд) 1%т)4% 2%тр В[с[ад) ) %тй% 2рт% (231) Этот результат соответствует (2.13) и тем самым доказывает справедливость выражения (2.28). Квадратичную форму в (2,28) можно привести к более удобному виду, если ввести вектор отклонения весовых коэффициен- тов ч=% — %" = [о, о, ... о,) т.

Соответственно выражение (2.28) принимает вид $ = В,г„+ ЧтРУ. (2. 32) (2.33) Выражение (2.35) будет использовано при синтезе и анализе различных адаптивных алгоритмов. Декорреляния сигнала ошибки и элементов входного сигнала При %=%* имеет место полезное и важное статистическое соотношение между сигналом ошибки и компонентами вектора входного сигнала В соответствии с (2.8) = г( — Хтд%. (2.35) 32 Вектор Ч вЂ” отклонение вектора весовых коэффициентов от винеровского оптимального вектора весовых коэффициентов. Любое отклонение % от %* вызывает в соответствии с квадратичной формой ЧтРЧ увеличение СКО. Чтобы при всех возможных Ч5 было неотрицательным, необходимо выполнение для всех Ч условия УтРУ)О. Если ЧтКЧ >О для всех УтьО, то говорят, что матрица  — положительно определенная [71.

Если Чт[(У=О цля всех или некоторого конечного множества векторов Ч, то говорят, что матрица й — положительно полуопределенная. В практических случаях Гс почти всегда является положительно определенной, но иногда может быть и положительно полуопределенной, Условия положительной определенности и положительной полуопределенности обычно рассматриваются в теории матриц. Градиент СКО относительно Ч получаем дифференцированием функции (2.33): (2.34) дЧ г- дод до, "' д"г. Этот градиент такой же, как и в формуле (2.!5), так как % и Ч отличаются только на константу.

Таким образом, ~7 = — = — = 2[4Ч =. 2 (К% — Р). д$ д5 (2.35) д)Ч дЧ Умножим на Хг, обе части этого равенства. Поскольку каждый член является скалярной величиной, его можно умножать на Х, как слева так и справа. Тогда адХд = 4[а Хд — Х" Хтд%. (2,37) Далее находим математическое ожидание функции (2.37): Е[едХдзт = Р— Й%. (2.38) Наконец, пусть % равен оптимальному значению (2.17), при этом Е [е„Хд[нг —.. дч. = Р— Р = О (2,39) Этот результат совпадает с хорошо известным результатом винеровской теории фильтрации: когда импульсный отклик фильтра оптимизирован, сигнал ошибки не коррелирован (ортогонален) с входными сигналами, взятыми с весовыми коэффициентами.

Упражнения 1. Во многих рассу.кдепияд этой и последукпщх глав испогщэустся алгдо- ра матриц. Докажите, что для любых матриц Л. В и С справеллнвы следу,о щне простыс соотношения; а) в общем случае АВИВА, б) А(В+С) =АВ+АС; в) (лв) =в лт, (лв)-::в- л-; г) если А — симметрическая матрица, то А-' эакжс симметрическая мзгр~ща. 2.

Начиная с равенства (2,13), приведитс подробяьп~ вывод равенства (2.15) . 3. Пусть в примере адаптивного линейного сумматора, приведенном рнс. 2.6, АГ=10. Тогда: а) найдите оптнмалып и вектор весовых коэффициентов, б) используя полученный в а) результат, запншите вырагьенне для рд; в) используя полученный в б) рсзущ,тат и хд для схемы иа рис. 2.6 кажите, что да=-дд. 4. Д. .

Для схемы на рпс. 2.6 определите весовыс коэффициенты. для которых среднеквадратическое значение вд=-2: а) при АГ=5, б) при Ад=10. 5. Д . Для примера на рис. 2,6 при У=Э найдите вектор градиента, ес и ю| =О, а среднеквздратическое значение ед равно; а) 2; б) 4. Почему для второго случая градиент выше? 6. Рассиотрнм приведенную ниже схему адаптивного линейного сумматора с одним весовыи коэффициентам. Предположим, что ключ Е разомкнут и Е[хгд) =1; Е[хдхд Д =0,5; Е[с(гд) =4, Е[г(дхд) = — 1; Е[г(дхд-Д =1. Найдите вы- ражение для функции среднеквадратической ошибки. Начертите график этой функции. 7.

Выполните упражнение 6 при условии, что ключ Е эаикнут. 2 — !2 33 гу л' Сигнал прлма- угальнай формы Синусо- идальный сигнал Поспедова- мль ас ь импульсов 8. Каково оптимальное значение шг для условий упражнения 6? Каково соответствующее ему минимальное значение средиеквадратической ошибки? 9, Пусть в схеме адаптивного линейного сумматора из упражнения 6 фуницви ха и г)а такие же, как в схеме на рис.

2.6, и гт=б. Полагая, что ключ Я разомкнут, найдите: а) выражение для Ц (и начертите график этой функции); б) оптимальное значение и;, в) минимальное значение $. 10. Выполггнте упражнение 9 при условии, что ключ 3 замкнут. 1!. Полезно иметь некоторый навык вычисления корреляционных функций, аналогичных выведенным равенствам (220) н (221). Рассмотрим приведенные ниже непрерывные периодические сигналы. Предположим, что для каждого из сигналов берутся отсчеты в моменты времени 1=0, Т, 2Т, ... таким образом, что для первых двух сигналов имеем точно ?ьг отсчетов за период, а для третьего — Ф/2 отсчетов за период.