Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 6
Текст из файла (страница 6)
По аналогии с (2.1) и (2 2) вектор весовых коэффициентов Юа= (ысьшы - шьа)Е (2.5) Тогда, используя векторные обозначения ', можно записать (2.3) и (2.4) одним соотношением уь = ХтаВа =утиХм (2.6) Теперь можно рассмотреть принцип работы адаптивного линейного сумматора и изучить влияние зависимости вектора %а от индекса врем ен и Й. Полезный отклик и сигнал ошибки Адаптивный линейный сумматор можно использовать в системах как с обратной, так и без обратной снязи. Как отмечалось при рассмотрении рис.
1.2, процесс коррекции вектора весовых коэффициентов в системе без обратной связи в явном виде не зависит от выходного сигнала и определяется только входным сигналом и состоянием окружающей среды. Однако в системе с обратной связью, показанной на рис. 1,3, вектор весовых коэффициентов зависит от выходного сигнала, а также от других данных. Вообще в адаптивном линейном сумматоре другими данными являются полезный отклик или обучающий сигнал. В данной книге обсуждаются прежде всего системы с функциональной обратной связью, поэтому необходимо четкое понимание существа этих сигналов.
В процессе адаптации с функциональной обратной связью вектор весовых коэффициентов линейного сумматора корректируется таким образом, чтобы выходной сигнал уа имел наилучшее приближение к полезному отклику. Для этого выходной сигнал сравнивается с полезным откликом, формируется сигнал ошибки и затем корректируется или оптимизиРуется вектор весовых коэффициентов, минимизирующий сигнал ошибки. В большинстве ~практических случаев процесс адаптации направлен на минимиза- ' Мы полагаем, что читатель знаком с векторным и матричным умножением, а если нет, то можно воспользоваться любой книгой по матричной алгебре.
Входные хп он о» 1» ед хг хо» «гд хед хгд,„, ход х ад х,»ход х~д «гдхг» . «сдлс» х „ (2. 11) 11 =Е [Х»Хтд) =Е г х „х д х»хгд хьдхгд " хгд Рабочая функция ед =А — Уд. (2.7) г(гд+%тХ»Хт»% 2с(»Хт»% йт (2.9) 26 Рис. 24. Сигналы полезного отклика и ошибки в адаптивном линейном сумма- торе с многими входами цию среднеквадратического значения, или средней мощности сигнала ошибки. Оптимизация по этому критерию как в адаптивных, так и в неадаптивных системах давно и широко применяется и имеет много достоинств [1,8 — 161.
На рис. 2.4 показан способ получения сигнала ошибки в системе с многими входами за счет введения полезного отклика. Для формирования сигнала ошибка ед выходной сигнал дд просто вычитается из полезного сигнала А,. Источник сигнала полезного отклика с(д определяется конкретным применением адаптивного сумматора.
Пока будем считать, что такой сигнал уже имеется. Более подробно вопрос его формирования рассматривается в последующих главах. Однако отметим, что зачастую для того, чтобгя найти подходящий сигнал, требуется значительная изобретательность, поскольку если бы в действительности полезный сигнал имелся, то адаптивная система была бы не нужна. Рассмотрим теперь только что введенную рабочую функцию. Из рис. 2.4 следует, что сигнал ошибки с временным индексом л Подставляя (2,6) в это выражение, получаем ед — т(д Хт»% г(д %«Х» (2.8) Здесь для удобства у вектора весовых коэффициентов опущен индекс й, поскольку в данном случае коррекция весовых коэффициентов не рассматривается. Чтобы получить мгновенное квадратичное значение сигнала ошибки, возведем в квадрат выражение (2.8): Х стационарны в статистическом смысле, ПОлОжим, что ед, ид и» ст и найдем математическое ожидание' функции,, по Е[егр] Е[г(гд'1+%«Е[ХгХтд)% 2Е[т(»Хтдх1% (2.10) Отметим, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, н ожи аний, но математическое ожидание произведений равно пи роизведению математических ожиданий только тогда, ы.
В общем когда случай ые ве чайные величины статистически независимы. случае сигналы хд и г(» не являются независимыми Удобнее функцию СКО представить следующим образом. Пусть 11 — квадратная матрица Эта матрица называется корреляционной матрицей входного сигнала, Элементы, расположенные на главной диагонали, равны среднеквадратическнм значениям входных компонентов, а остальные элементы — значениям взаимокорреляционной функции входных компонентов. Таким образом, пусть Р— вектор-столбец Р=Е[г(»Х») =Е[А«о»А«гд - Ахьд)т.
(2.12) Этот вектор представляет собой множество значений взаимокорреляционной функции отсчетов полезного Отклика и отсчетов входного сигнала. Если Хд и А — стационарны, то все элементы, как йч, так и Р, являются постоянными статистиками второго порядка. Отметим, что в (2.11) и (2.12) Хд представлено для системы с многими входами, но так же легко можно было бы воспользоваться представлением для системы с одним входом. Обозначим теперь СКО в (2.10) через й и запишем ее с помощью (2.11) и (2.'12): СКО й = Е [ "1 = Е [ с(г[+%'1(% — 2Р'%. (2,18) Из этого выражения видно, что если отсчеты входного сигнала и полезного отклика — стационарные случайные величины, то О точно совпадает с квадратичной функцией компонентов вектора весовых коэффициентов %, т.
е. если раскрыть (2.13), то элементы % входят в (2.12) только в первой и второй степенях. На рис. 2.5 показан фрагмент характерной двумерной функции СКО. По вертикальной оси откладываются значения СКО, по горизонтальным осям — значения весовых коэффициентов, Построенный таким способом график квадратичной функции ошибки (поверхность, образованная графиком рабочей функции) является параболоидом (или гиперпараболоидом, если число весовых коэффициентов больше двух). Он должен быть вогнутым и на' Определения таких статистических понятий, как стационарность, математическое ожидание и т. д, см в книгах по обработке сигналов и акализу временных рядов 15, е).
1о,о б,о бо о са 2,0 о,о и ) "ч Минимальная среднеквадратическая ошибка и градиент Во многих полезных для практики способах адаптации поиск вектора весовых коэффициентов, соответствующего минимуму рабочей функции, осуществляется градиентными методами.
Градиент функции СКО, обозначаемый Хг(й) или просто 17, можно получить дифференцированием функции (2.13), при этом вектор- столбец (2,14) чг" = 2Й% — 2Р, (2.15) 1ч и Р определяются по (2.11) и (2.12). Это выражение получено дифференцированием функции (2.13) по каждому из компонентов вектора весовых коэффициентов. Дифференцирование члена %21!% можно осуществить дифференцированием произведения (%т) (!1%) Для нахождения минимального значения СКО полагаем, что вектор весовых коэффициентов % равен оптимальному % *, градиент которого равен нулю; ~7 = 0 =2К%« — 2Р. (2.16) Полагая, что !1 является неособенной матрицей, из (2.16) находим вектор %*, иногда называемый винеровским вектором весовых коэффициентов: %*=!! 'Р.
(2.17) Рис. 2.5. Фрагмент графика диумерпой квадратичной рабочей функции. В данном примере оптимальным является вектор Гч'*-(0,65,— 2,!), а минимальное значение СКО равно нулю правленным вверх; в противном случае при некоторых значениях весовых коэффициентов значение СКО было бы отрицательным, что невозможно для реальных физических сигналов.
При $, раиной в (2.!3) константе, сечение поверхности имеет эллиптическую форму. Проекция «нижней> точки графика на плоскость векторов весовых коэффициентов представляет собой вектор оптимальных весовых коэффициентов %* и соответствует точке минимального значения СКО. Квадратическая функция ошибки имеет только один глобальный оптимум, локальных мивимумон у такой функции не существует.
АА-'= !. Т р анспониров а н не произведения матриц: [АВ] т — ВтАт 3. Симметричность корреляционной матрицы нала: входного сиг- !!т Р. [Р-1]т Я вЂ” 1 [см (2 11) ] В соответствии с этими свойстнами (2.18) принимает вид $снп=Е[бгл] — Ртр 'Р=Е[г(зл] — Рт%« (219) Т о обы пояснить введенные понятия квадратично й еперь для того что ы пояс поверхности, градиента и СКО, рассмотрим пример. Пример анализа рабочем функции На рис, 2.6 приведен простой пример адаптивного линейного сумматора с одним входом и двумя весовыми коэффициентами. Входной и полезный сигналы представляют собой отсчеты синусоиды с частотой, равной й! отсчетам за период.
Для того чтобы не все отсчеты были равны нулю, полагаем Аг)2. Здесь не обсуждается способ получения этих сигналов, а р р рассматривается только рабочая функция и ее свойства. е 5 в (2 13! необходи Для нахождения рабочей функции, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
