Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2), страница 8

с частотами от 0,25 до 0,5 гц. Поэтому средняя мощность в интервале частот от 0,25 до 0,5 гц равна 99,30(0,25 = 397,2 (единиц продукции)х/гг(. Аналогично 5„ дает полную мощность в интервале частот от 0,125 до 0,25 гг(, и, следовательно, средняя мощность н этой полосе частот равна Меэкду Межлу Межлу Между Межлу Между 99,30 15,24 1!,77 4,!О 4,16 0,71 397,20 121,92 188,32 131,20 266,24 90,88 О 25 — О зв О, 125 — 0,25 0,0625 — 0,125 0,0313 — 0,0325 О,О 056 — 0,0313 0,0078 — 0 '1156 15,24,'0,125 =!21,92 (единиц продукции)з(гг(.

Выборочная оценка нормированного спектра, полученная из пробного анализа, показана на рис, 7.!4 вместе с выборочной спектральной оценкой, полученной с помощью более точного анализа, описанного Р н с. 7,14. Пробный спектральный анализ для данных о партиях продукта. в равд. 7.1.1, причем было использовано окно Тычки с М = 12. Видно, что пробная спектральная оценка хорошо согласуется с бо- лее точной выборочной оценкой.

7.3.3. Практическая методика оценивания спектров В этом разделе описана практическая методика, которой следует придерживаться при оценивании спектров. Она состоит из следующих четырех стадий. !. Предварительная стадия. Исследуем временнбй ряд с целью обнаружить в нем явные тренды или периодичности. Это полезно для решения вопроса о том, использовать ли исходные данные или же предварительно отфильтровать их, как будет описано Прамери одномерного анализа Глава 7 43 в равд, 7.3.5. Особенно полезным и простым фильтром, который мы часто будем использовать в дальнейшем, является фильтр первых разностей уг = хг — хз-н На этой стадии можно было бы провести и пробный анализ. Решается вопрос о числе /.~аз запаздываний, для которых нужно считать ковариации и корреляции.

Первоначально следует выбрать А „ примерно равным йг/4, если только это не потребует слишком большого времени на вычисления, В тех редких случаях, когда оказывается, что й//4 значений корреляционной функции недостаточно, следует продолжить вычисление корреляций. 2 Первая стадия вычислений, Затем вычисляются выборочные корреляционные функции для исходных данных и для их первых разностей при й = О, 1,, /оаа . Строятся графики этих функций для того, чтобы решить вопрос, брать ли исходные данные или первые разности от них и какой диапазон точек отсечения использовать.

Точки отсечения можно выбрать, проверяя, с какого места выборочные корреляции становятся пренебрежимыми. Три значения точек отсечения /.ь /.и /.з, которые будут использованы в процедуре стягивания окна, нужно выбирать так, чтобы они отличались довольно сильно, например /.з/Е, = 4. 3 Вторая стадия вычислений. Вычисляются и строятся в логарифмическом масштабе на одном графике выборочные спектральные оценки, соответствующие этим трем точкам отсечения. Шаг по частоте надо брать 1/2г, где г = 2/. или 3/.. Нужно нанести на график горизонтальными отрезками значения ширины полосы частот окон (6.4.24), чтобы детали выборочных оценок спектра можно было сравнить с этими значениями.

Следует также нанести на график вертикальные отрезки, каждый из которых равен по длине доверительному интервалу (6.4.21) для соответствующей ширины полосы частот окна. 4, Интерпретация выборочных спектральных оценок. Общий график спектров, полученный на 3-й стадии, попадет, вообще говоря, в одну из трех категорий, которые можно назвать: идеальной, промежуточной и плохой. а.

Идеальный спектральный анализ. Исследуется вариация выборочных спектральных оценок при увеличении значения точки отсечения, т. е. при уменьшении ширины полосы частот окна. Если после некоторого значения /.' дальнейшее увеличение /. сопровождается лишь незначительными изменениями в выборочных оценках, то можно считать, что процедура стягивания окна уже выявила большую часть деталей спектра.

Если при этом доверительный интервал для спектра на одной частоте получается достаточно малым, то можно принять выборочную оценку, соответствующую /*. В таком случае выборочная оценка имеет малую степень искажения и высокую устойчивость, Иногда случается, что наибольшее значение точки отсечения г.м оказывается слишком мало. В этом случае выборочная спектральная оценка, возможно, буде~ сходиться к некоторому предельному виду, однако для подтверждения этого поведения может возникнуть необходимость дальнейшего вычисления выборочных оценок при л- ) 7.м.

б. Про.иежугочный случай спектрального анализа. На практике ситуации, когда одновременно момсно достичь высокой устойчиво. сти и малой степени искажения, редки. Как правило, выборочная оценка проявляет признаки сходимости при малых /., а затем начинает расходиться при дальнейшем росте /..

Обычно это означает, что выборочная оценка стала неустойчивой до того, как в спектре выявились тонкие детали. В таких ситуациях мы предлагаем строить несколько спектров, перекрывающих промежуточный случай, где сходимость выборочных спектральных оценок уступает место расходимости, так чтобы эти эффекты были видны при интерпретации спекзров.

Как показано в равд. 7.1, нетрудно получить ложные пики в спектре, сужая полосу частот окна. Поэтому в такой ситуации лучше проявить осторожность, отдавая предпочтение в использовании небольшим значениям точек отсечения. Иногда случается так, что выборочная спектральная оценка быстро сходится в одних частотных интервалах, где спектр плавный, и медленно в других, где спектр меняется быстро. Поэтому в разных частотных интервалах могут потребоваться разные зна. ченпя 1..

в. Случаи плохого спектрального анализа. Иногда выборочные спектральные оценки настолько заметно меняются при уменьшении полосы частот окна, что невозможно рекомендовать даже несколько спектров. В такой неблагоприятной ситуации, возможно, следует предпочесть выборочную спектральную оценку с малым значением точки отсечения, сознавая, что при этом широкое спектральное окно может замаскировать важные тонкие детали спектра. Однако основная неприятность в том, что гг слишком мало, поэтому нужно собрать больше данных.

Следует подчеркнуть, что приведенные выше рекомендации не являются строгими, а скорее должны рассматриваться как наводящие соображения. В конкретных задачах может потребоваться другой способ действий. Например, нас может интересовать пик с известной средней частотой, но с шириной, которая известна лишь приближенно. В этом случае полосу частот окна можно было бы стягивать к этой частоте для исследования данного пика, не слишком заботясь об устойчивости на других частотах. Изложенную выше процедуру мы сейчас проиллюстрируем на двух практических примерах. 44 Глава 1 Примеры одномерного анализа йа Р и с.

7.!б. Выборочная ав. токорреляцнонная функция для данных об отраженном радиолокационном сигнале, изображенном на рис, 5.!. га 7.3.4. Два практических примера оценивания спектра Спектральный анализ данных о партиях продукта. Е Предварцрительный анализ. Проверка данных о партиях продукта на рис.

5.2 не выявила какого-либо очевидного тренда. Поэтому была использована выборочная оценка ковариацнонной функции (7.1.2), ов о х1ггб огв сврв пв Г,га Р и с. 7.!5. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра для данных о партиях продукта. которая вычислялась до запаздывания Егаах =!8. Проверка пробного спектра на рис. 7.14 показала, что спектр весьма плавный, так как диапазон его изменений равен примерно четырем, Поэтому не стали брать первые разности от данных.

2. Первая стадия вычислений. Выборочная корреляционная функция г„„(7г) для этих данных изображена на рис. 5.6. Из этого графика видно, что она фактически равна нулю при Й > 10. Поэтому было решено взять точки отсечения Е = 4, 8 и 16. 3. Вторая стадия вычислений. С помощью окна Тычки для этих значений Е вычислялись выборочные оценки нормированного спектра, графики которых были построены все вместе на рис. 7.15. На этом рисунке нанесены также отрезки, показывающие значения ширины полосы частот окна и доверительные интервалы для каждого из выбранных значений Е. Следует отметить, что этот спектр похож на спектр искусственного процесса авторегрессни первого порядка с ссг = — 0,4 и ?т! = =. 100, показанный на рис.?.4. Очевидно, что полоса частот, соответствующая Е = 4, слишком широка для того, чтобы выявить какие-ннбудь детали в спектре, но изменения при переходе от Е = 8 к Е = !6 показывают, чго спектр очень плавный и что нет смысла стягивать окно еще больше.

Несмотря на то что М мало, можно считать, что спектральный анализ является удовлетворительным и что мы немногое потеряли бы, взяв Е = 8. Для окпа Тычки и Е = = 8 число степеней свободы равно 23, что является приемлемой величиной. Спектральный анализ радиолокационных данных. Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий метод, изложенный в равд. 7.33, На рис, 7.16 показана выборочная корреляционная функция отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис.

5.1. На рис. 7.!7 приведены выборочные оценки нормированного спектра, полученные с помощью окна Бартлетта при Е = 16, 48 и 60 для ряда, состоящего из ?ч! = 448 членов, Частотный диапазон обозначен от 0 до 0,5 гц, поскольку настоящий диапазон несуществен. Мы видим, что при Е = 16 выборочная оценка плавная н не выявляет пика, существование которого можно было бы ожидать из-за осцилляции корреляционной функции. Прн Е = 32 (этот случай не показан на рисунке) появ.чяются вполне различимые пики приблизительно на частотах !' = 0,07 гг( и 0,25 гг1.