Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2), страница 6

Видно, что прн уменьшении полосы частот в 4 раза (что соответствует изменению г'. от 4 до 16) происходят лишь незначительные изменения формы спектра. Можно считать, что удовлетворительная выборочная оценка спектра в интервале частот от 0 до 0,375 гц получается при Ь = 8, однако в окрестности пика требуется большее значение Е, скажем Е = 12. 2. В некоторых случаях выясняется, что выборочная оценка спектра не сходится нн в каком смысле к устойчивому значению, Пример такой ситуации изображен на рис. 7.8, где показаны выборочные оценки спектра процесса авторегрессин, сосчитанные по У = 50 членам. Выборочная оценка при Е = 8 сравнительно плавная, однако невозможно понять, вызваны ли существенные изменения в спектре при переходе от Е. = 8 к 7, = 24 неустойчивостью нли же выявлением новых деталей спектра. Поэтому, вероятно, следовало бы считать, что выборочная оценка при Е = 8 показывает крупные детали спектра, но для выявления более тонких деталей требуются более длинные ряды.

Заметим, впрочем, что выборочная оценка спектра при А = 8 содержит много полезной информации, и, следовательно, спектральный анализ никоим образом не является бесполезным. 3. Обычно ситуация представляет собой нечто среднее между случаями ! и 2. Рассмотрим, например, показанные на рис. 7.4 выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка с ит = — 0,4 и тз' =!00. Отметим, что при 5 = 16 появляются вполне определенные пики на частотах т* = 0,22 гц и 1 = 0,44 гц. Не зная структуры этого процесса, возможно, было бы соблазнительно принять эти пики за действительные, поскольку выборочная оценка имеет приблизительно 17 степеней свободы. Эти пики становятся еще более определенными при Е = 32, так что имеется некоторое сомнение относительно того, когда следует остановить процесс стягивания окна.

Аналогичные замечания справедливы н для выборочных оценок, показанных на рис. 7.6. Все эти ситуации характеризуются тем, что сначала выборочные оценки проявляют тенденцию к сходимости, но затем из-за неустойчивости начинают расходиться, прежде чем можно сделать определенные выводы.

Так как невозможно сказать, какая из этня. выборочных оценок спектра ближе к истине, то мы предлагаем изображать трн выборочные оценки, соответствуюшие тем точкам отсечения, где после сходимости появляется расходимость, Важно, однако, помнить, что при стягивании полосы частот выборочная спектральная оценка становится полиномом от 2пт' все более и более высокой степени, что облегчает появление ложных пиков.

В пределе, когда выборочная оценка стремится к несглаженному выборочному спектру, можно получить ложные пики всюду. Поэтому требуется некоторая осторожность при интерпретации выборочных спектральных оценок. Наконец, спектр должен иметь физический смысл, в противном случае анализ не представляет собой большой ценности. Короче говоря, основная цель стягивания окна состоит в том, чтобы использовать понимание физической сущности явления в процессе оценивания и интерпретации спектров, 7.2.5. Формирование окна В равд.

7.1 было эмпирически показано, что стягивание окпз гораздо важнее, чем формирование окна. Тем не менее известное значение имеет и конструкция окна, которое будет использовано. Как отмечалось выше, один нз возможных подходов к такому конструированию дает использование критериев оптимальности при сглаживании (равд. 7.2.1). Однако можно показать, что окна, являющиеся плохими с точки зрения критерия среднеквадратичной ошибки нли аналогичного критерия, имеют плохую форму и с других точек зрения, В этом разделе указан перечень некоторых важных свойств, которыми должны обладать спектральные окна. Аналитический подход к этой задаче применен в работе[1); здесь излагается более описательный метод, 1.

Прн заданной точке отсечения М смешение, обусловленное спектральным окном )г'(1), будет мало, если это окно сосредоточено вблизи нуля. Из рис. 6.!2 и 6.13 видно, что соответствующее пвямоугольному корреляционному окну итн(и) спектральное окно ))гг()) сконцепгрировано около центральной частоты теснее, чем любое другое. Из табл. 6.6 следует, что спектральное окно )ад(1) имеет наименьшую полосу частот. Следовательно, ширина полосы частот служит мерой сконцентрированности спгктри.гьного окна.

2. Спектральное окно )гв(1) имеет наименьшую полосу частот за счет того, что боковые лепестки этого окна самые большие, как видно из рис. 6.!3. Влияние боковых лепестков выражается в том, что из-за них значения спектра Гхх(к) па частотах йг, отстоящих довольно далеко от 1, могут давать большой вклад в смещение на частоте 1. Этот эффект называют утечкой (1са)таре). Из рис. 6.13 видно, что окна Ф'з, )е'т и )а'р имеют гораздо меньшие боковые лепестки, чем )ав, а лепестки спектрального окна Бартлетта ))тв больше, чем у окон )а'т и )5'г, что, как показывает рис.

7.5, может приводить к неприятностям в случае узкого пика в спектре. Если нужно, чтобы боковые лепестки были минимальны, то окно )гг предпочтителыгей, чем другие. 2 зак. гтгз 34 Глава 7 Лримеры одномеРного анализа 3. Спектральные окна ((7и(/), йтв(/) и (Рр(/) имеют вид )Тг(/) ~ " 1, и=1, 2, 4, (7.2,6) и, следовательно, корреляционные окна вн(и), вв(и) и вр(и) связаны между собой с помощью операции свертки. Другими словами, корреляционное окно вв(и) = (1 — [и~/М), 0( [и[ (М, можно получить, свертывая окно вп(п) = 1, 0 ( [и[ (М/2, с самим собой. Аналогично, корреляционное окно вр(и) получается с помощью свертки окна вн(и) = 1, 0 ( [и[ (М/4, с самим собой 4 раза. То же самое можно сказать несколько по-иному: окно в„пропорционально плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины; окно вв пропорционально плотности вероятности полу- суммы двух равномерно распределенных величин и окно вр про.

порционально плотности вероятности среднего арифметического из четырех равномерно распределенных величин. Ясно, что распределение среднего арифметического из п равномерно распределенных величин будет сходиться к нормальному, или гауссовскому, распределению при и — оо.

Таким образом, корреляционное окно сходится к нормальной кривой, и, следовательно, к этой же кривой сходится и спектральное окно (7.2.6), как показано в гл. 2. В действительности, Даниэльс [101 и рекомендует использовать для спектрального анализа нормальное окно. С одной стороны, увеличение и приводит к уменьшению высоты боковых лепестков, что видно из (7.2.6).

Однако, с другой стороны, спектральное окно также становится более сплющенным и широким, поскольку оно в первый раз обращается в нуль на частоте / = 2 -'/2М. Следовательно, для получения заданной ширины полосы при этом потребуется большое М. Например, для получения заданной ширины полосы частот с помощью окна Парзена вр требуется значение М, примерно на 40% большее, чем для окна Тьюки вт 4. Влияние изменения формы окна при фиксированной точке отсечения можно проиллюстрировать, построив график коэффициента корреляции между сглаженными спектральными оценками на частотах /!, /я. Из (6.4.11) этот коэффициент корреляции ранен На рис.

7,13 корреляционная функция (7.2.7) изображена в зависимости от Разности [! — [з длЯ окон и7в, 'тут и !У/р нз табл, 6.5. Видно, что для широкого окна, такого, как Ю'р, корреляция оценок для малых значений 1! — /я относительно велика, в то время как для больших [~ — /г эта корреляция мала. Наоборот, для узкого окна, подобного !Р'в, корреляция при малых /! — /я относительно мала, а при больших [! — /з относительно велика, Влэкман и Тычки [2) предложили из-за корреляции оценок на близких частотах наносить на график лишь некоррелированные выборочные оценки.

Однако эта рекомендация опасна для применений, так как прн этом можно, например, пропустить пик, вершина которого попала как раз мемсду нанесенны- рм(я-тг) ми на график некорре- гв лированными выбороч- Багэвммт ными оценками. Наш — - — — — — тьюви опыт говорит, что же- — ларга лательно строить график выборочной оценки с шагом по частоте, по крайней мере вдвое ав меньшим, чем расстояние между некоррелированными оценками, т. е. с шагом не больше 1/2Е. Из сказанного выше можно заключить, аг что окна йрв, йтт и !ер имеют приемлемую форму, но, о м, но, видимо, сле- а )Уг ггггм Км э7гм г/м /", -ге) дует отбросить Жв Р ис. 7.!З.

Корреляция по частоте спектральных кОВых лепесткОВ Вы оценок для различных окон с одинаковой точкой борочные оценки спек- отсечения. тра, получаемые с помощью окон %'в и Ж'р, всегда неотрицательны, в то время как с помощью окна Ррт можно получить иногда отрицательные выборочные оценки, что нежелательно.

Хотя у окна йрр боковые лепестки меньше, чем У (Рв и з/(гт, оно более шиРокое, и, следовательно, пРи использовании этого окна требуется вычислять больше коварнаций, чтобы получить заданную ширину полосы частот. Это означает, что если в процессе стягивания окна используется 1(7р, то для того, чтобы выборочная оценка перестала колебаться, потребуется больше времени, чем при использовании окна йтт. 7.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ СПЕКТРОВ В этом разделе обсуждаются некоторые более практические аспекты оценивания спектров, первый из которых (равд, 7.3.1) относится к планированию спектрального анализа. В следующеч Глава 7 З? Примеры одномерного анализа разделе описывается пробное оценивание спектра, которое иллюн стрируется на примере с партиями продукта, изображенными на рис.