Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2)

ВЫПУСК 2 БРЕСТКАЕ АИАЕУЯ!Б АХ0 1ТН АРРЬ1САТ10гГЯ 0%1ЬУМ М. 1ЕХК1г1» 13пгчегзну о1 Ьапсазсег, 13. К апг1 00ХАЬ0 6. ИгАТТБ Нпгеегзгну о1 %1зсопз|п, Н. о, А НОЬРЕЫ-0АТ Багг Ргапсьсо, Сап1Ьг1оие, Ьоппоп, Агп»1егпагп Г. ДЖЕНКИНС, Д. ВАТГС СПЕКТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Перевод с английского В. Ф. ПИСАРЕНКО С предисловием Л. М. ЯГЛОМА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1972 УДК 61:62+63 А. М. Яглом 2-6-2; 2-3-2; 2-9-2 Спектральный анализ — новая и весьма важвая отрасль прикладной математики, посвященная выделеншо из ваблю. даемых явлений нли процессов периодических компонент, т, е, правильно меняющихся со временем составляющих.

Подобные задачи очень часто встречаются в инженерном деле, различных разделах физики, механики, геофизики, электротехники и радиотехники, а также в экономике и статнстике. 1!ель книги — дать читателю руководство, позволяющее овладеть приемами и методами спектрального анализа для применения их в практической работе. Большая ценность книги — наличие в ней вычислительных схем для обработки спектров на ЭВМ, запрограммированных на фОРТРАН'е. Вып.

! издан в !97! г. Вып. 2 включает спектральную теорию стационарных процессов, спектральные оценки, полученные с помощью сглаживания периодограмм, спектральный анализ двух временных рядов, методы статистической оценки характеристик линейного фильтра, обобщение изложенных методов на случай многомерных случайных процессов. Книга будет с большим интересом встречена инженернотехническими работникамн, физиками, геофизиками, математиками. прикладниками, экономистами, статистиками — как специалистами, так и студентами старших курсов, для которых она послужит ценным учебным пособием. Редакяия космических исследований, астрономии и геогризихи ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ВЪ|ПУСКУ Во второй выпуск вошли гл.

7 — 11. В гл. 7 разбираются примеры оценивания спектров искусственных н пРактических временных рядов, В гл. 8 методы и понятия, введенные при анализе одномерных рядов, обобщаются на случай пары временных рядов. Гл. 9 — 10 посвящены задачам оцениваиия взаимного спектра двух рядов и частотной характеристики линейной системы. Наконец, в гл. 11 излагается спектральный анализ многомерных временных рядов и методика оценнвания матрицы частотных характеристик многомерной линейной системы, Глава 7 ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА В этой главе теория, изложенная в гл.

6, применяется для получения практических способов оценивавня спектров по наблюдаемым временным рядам. Для того чтобы читатель приобрел опыт в вычислениях, которые нужно при этом проводить, в равд. 7.1 проиллюстрировано влияние изменения полосы частот окна и его формы на спекзральные оценки искусственных временных рядов. В равд.

7.2 вводится один практический метод оценивания спектров, названный стягиванием окна. Для этого метода нужно сначала использовать окно с широкой полосой частот, а затем постепенно уменьшать полосу до тех пор, пока не выявятся все важные детали спектра. Однако такая процедура бывает иногда очень неустойчивой из-за сильной изменчивости выборочных оценок спектра, обусловленных малой длиной временнбго ряда. В равд. 7.3 обсуждаются практические вопросы, возникающие при оценивании спектров, а также приводится стандартный метод оценивания, который можно применять на практике. Подчеркивается важность предварительной фильтрации данных для устранения низкочастотных трендов.

В равд. 7.4 даются примеры спектрального анализа в трех прикладных областях: построении моделей, планировании экспериментов и изучении частотных характеристик. 7.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСКУССТВЕННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных оценок. В равд. 7.1,1 даются формулы, непосредственно пригодные для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений выборочных характеристик.

Затем в равд. 7.!.2 проиллюстрировано влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на спектр. Для этого функция Гхх(~) сравнивается с Гхх!)) н С„Ц) с Гхх !!) е случае, когда процесс является авторегрессией первого или второго порядка.

Чтобы подготовить приведенное в равд. 7.2 Глава 7 стра,))ерэ! аднамернаго аналиэа (7.1.3) елл 1>г) слл (О) (7.1.5) э -)е- и обсуждение практических способов сглаживания, проводится исследование влияния точки отсечения (разд. 7.1.2) и формы спектрального окна (разд.

7.!.3) на спектральные оценки. 7.1.1. Формулы для дискретного оценивания В предыдущих главах сгатистическая теория спектралыюго оценивания была развита в предположении, что данные х(!) непрерывны. Однако во многих случаях данные явля)отея дискретными по существу, как, например, данные о партиях продукта на рис. 5.2, и, следовательно, необходимы дискретные формулы.

Кроме того, все более широкое распространение в настоящее время получают цифровые вычислительные машины благодаря своей точности, универсальности и относительной доступности. Поэтому можно предположить, что в большинстве случаев спектральный анализ будет теперь проводиться с помощью цифровых вычислительных машин. Следовательно, непрерывный, илн аналоговый, сигнал нужно отсчитывать в дискретные моменты времени, как это описывалось в гл. 2, н отсчитанные значения переводить в числа, содержащие конечное число цифр. Процесс перевода из аналоговой в цифровую форму называется квантованием. Детальный разбор влияния этого процесса на корреляционный анализ можно найти в [1). Мы будем предполагать, что квантование производится с достаточно малым шагом, так что при переводе из аналоговой в цифровую форму не вносится никаких ошибок.

Практически это означает, что данные нужно отсчитывать с точностью, равной одной десятой (или одной сотой) от полного диапазона изменения сигнала. Предположим, что цифровые данные хь ! =!... Л', соответствуют значенчям сигнала х(/), отсчитанного через интервалы Л. В таком случае сглаженная выборочная оценка спектра С„,(/) получается с помощью замены интеграла (6.3.28) соответствующей суммой Слл (/) = Л,~~ ш (й) сл. (й) в->э"'"', — —...

~/ < —,, (7.1.1) В (7.1.1) выборочная оценка сгл(й) ковариационной функции равна с,„ (й) = †„ ~ (х, — х)(х)+ь — х), — (Л/ — 1) ~ ~/з ~ Л/ — 1, (7.!.2) 1 -з и 7. = М/Л. Как и раньше, п)(й) обозначает корреляционное окно с точкой отсечения М, но теперь оно определено лишь в дискретные моменты времени и =- /ЕЛ.

Отметим, что до оцснивания коварна. ционной функции можст возникнуть необходимость фильтрации данных по формулам (53.27) илп (5.3.31). Так как С,(/) — четная функция ')астоты, ее нужно вычислять лишь для интервала частот О ~/ (!/2Л. Но для сохранения соотношения преобразований Фурье между выборочным спектром и выборочной ковариационной функцией нужно удвоить мощность в интервале частот О (/ (1/2Л. Таким образом, обычно используемая формула имеет впд Š— ) а„ й - 2 2 ~ „ )0) 0 2 з,' „ )2) )2) ... 2,)20 ~, 0=! и функцию (7.1.2) требуется вычислять лишь при А)~О. Для удобства вычислений предположим, что Л = 1.

Прп этом все группы данных можно будет обрабатывать одинаково. Таким образом, вычислительная формула принимает вид Š— ! Е„)!)=2~, )0)0 2З „,)2) )2) 2 )2~. О()( —. )! ) 2) л-! При Л Ф 1 выборочную оценку (7.!.1) можно восстановить по (7.1.4), умножив (7.1А) иа Л и построив ее в зависимости от Л/, а не от/. Наконец, если вместо ковариаций использовать корреляции, то можно получить сглаженную выборочную оценку нормированнои спектральной плотности по формуле Š— ! Е„й-2()22м' „,)2) )2) .2.)2~, 0<)а л-! В работе (2) было предложено вычислять /!лл(/) лишь в точках / = О, 1//., 2)/...

'/э, Такой шаг по частоте слишком велик, и мы считаем, что для получения более детального графика 74л„(/) ее нужно вычислять с шагом, составляющим лишь некоторую долю от !//.. В действительности нет никакой необходимости связывать шаг ПО ЧаСтОтЕ дпя Йгг(/) С тОЧКОй ОтСЕЧЕНИя /. ТаКИМ ОбраЗОМ, ШаГ по частоте для >07„л(/) можно взять равным 1/2Р, где г' в 2 — 3 раза больше, чем /.. Следовательно, окончательная формула для Гтример»! одномерного анализа 1О Глава 7 2л! 2 1 — )(9,(95) со»вЂ” / ! ') 2л! со» вЂ” 1 3) р (21 ! л! 2 1 — ) (9,545) со»вЂ” /2' л! 1 — со» вЂ” 1,3) р 2Р Р () йхх(Л 2П+ШЧ(211 та огл О Ллн алз С ги цифровых вычислений сглаженной выборочной оценки нормированного спектра принимает вид ь-! л„()) 2 () -';»г „(») (Й) — ~, )-», ),..., г.