Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2), страница 12

5.5). Выход состоят нз печагн новарнацнй (повторная проперка), значений сглаженных спектров для каждой точки отсечения М н графика, на котором одновременно показаны в логарнфмнческом масштабе сглаженные спектры для всех использованных точек отсечения М. Подпрограмма АРТОВРЕС 1. Ввести параметры )Х), МЛХМ, РЕЕТЛ, )У(Р. 2. Произвести считывание массива 1РЕ14(Т, СОН(К); К = О, МАХМ. 3. Произвести считывание числа М, вычислить веса ТН (К) = 0,5 * (1. + СО 8 (иК/М) ), К = 1, М вЂ” 1. 4. Вычислить сглаженную выборочную спектральную оценку 8РЕС (1) = м-) =2 озстл*(сои(2)( 2 Х соч(к) 2((к),соз о ) к-( Эти вычисления можно очень быстро провести, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (сокращенно БПФ, см [1[) нли же указанный ниже алгоригм, в котором преббразование Фурье получается как решение рззностиого уравнения.

5. Вычислить логарифм спектра ЕО68РЕС (1) = ЕОО! 0 (8РЕС(1)); 1 = О, )У)Р. В этом месте следует позаботиться о том, ") См. примечание переводчика на стр. 253, вып. 1. — Прим. перев. При.черы одно,черного спектрального анализе чтобы логарифм всегда брался от положительного числа. Если 8РЕС(1) окажется о(рпцзгслы(ым илп нулем, то для графика нужно принять 1ОС(8РЕС(!) = — —.100. 6 Напе2(отать сглаженные выборочные спектральные оценки 8РЕС(1); 1 = О, К(г, ширину полосы частот В = 4/(ЗМ»РЕ1ТА) и число степенен своооды Р = (8»И)'(3»М) для окна Тыоки и соответствующих значений 5(, М и РЕЕТА. 7. Построить на одном и том же графике логарифмы сглаженных спектров в зависимости от частоты для всех использованных значений М.

Для построения графика последовательности чисел 1ООЗРЕС(!) нужно найти максимальное из этих чисел, которое мы обозначим М)ОО. Далее мы пользовались следующей методикой построения графика. Находим ближайшую к М( ОО степень десяти Р тзк, чтобы Р > М) ОО, и строим логарифм спектра в диапазоне от Р— 4 до Р. Если, например, максимальное значение спектра было 2, так что (М1ОО = 0,303 н, следовательно, Р =- 1, то логарифм спектра строился в диапазоне от — 3 до 1, что соответствовало значениям спектра от 0,001 до 10. Диапазон значений 104 можно считать подходящим для большинства целей, так как если требуется еще оольший диапазон, то, вероятно, целесообразней расфилыровать данные, чтобы получить лучшие выборочные спектральные оценки на тех частотах, где мощность мала.

Значение !ООЗРЕС(1) = — 100 автоматически строится на графике ннжс самой нижней линии, ограничивающем выбранный диапазон. Ро1, К=М вЂ” 1, 1 Н2 = 2. » С е Н1 — НО + % (К) е СОН (К) НО=Н! 1 Н1 =Н2. 8 РЕС (1) = 2. ': Р Е(.ТА ) (СОН (0) + 2. 4 (Н! * С вЂ” НО)). Прил(ер. Рассмотрим приведенный в равд. 7.1.1 пример, для которого М = 3, РЕ1.ТА = 1.0, ИГ = 8 и СОН(0) = 1,, %(1)»СОН(1) = О 430, 2(Н (2)»СОН (2) = О 065. Глава 7 Г>6 имеет вид Оу = 21 пууууу* (П7,2.2) (П7.2.5) где Л ИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ П72 (П7.2,1) Тогда для 1=-0, С =СОЯ вЂ” (0) = !., ЧО = О., Ч! = О., и, проходя через цикл „бо", получаем К = 2, Ч2 = 2 (1) (0) — 0 + 0.065 = 0.065 ЧО= О Ч! = 0.065 К = 1, Ч2 = 2(1) (0.065) — 0+ 0.430 = 0.560 ЧО = 0.065 Ч! = 0.560 И затем БРЕС(0) = 2.

1 [1+ 2 (0.560 1 — 0.065)[ = 3.980, что совпадает с величиной, приведенной в табл. 7.!. Для 1=1 С = СОВ (и/8) = 0.924, ЧО = О, Ч1 = О. Проходя через цикл „с[о", получаем К = 2, Ч2 = 2 (0.924) (0) — О+ 0.065 = 0.065 ЧО=О Ч! = 0.065; К = 1, Ч2 = 2 (0.924) (0.065) — 0 + О. 430 = О.

550 ЧО = 0.65 Ч! = 0.550. Тогда 5РЕС(1) = 2(1) (1 +2(0 550) (О 924) — 0 065)) = 3 772. Этот алгоритм, хотя работает н не так быстро, как БПФ, тем не менее имеет относительно высокую скорость, высокую точность и требует вычисления косинуса только один раз на казкдую точку по частоте. 1. С о о1е у Л цу., Т и 1с е у Л %., Ап а1яонппп 1ог Ше юасшпе са!си!аппп о1 соупруех Роиг!ес аепеа, Ма!(п о1 Сопурыапоп, 19, 90, 297 (1966). ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНОК НАКЛОНА Дискретное время. Выборочная оценка наклона О! в рассмотренной выше (разд. 7.4.2) модели У, = О,х, + Еу Принеры одномерного спсхгрального анализа где шу =(2/Ча)соз(п(/Ь).

Действуя так же, как и при выводе формулы (5.2.9), получим дисперсию соответствующей оценки н и Чаг [6![= ~~ ~ пуув,уг, (У вЂ” 7). (П7.2.3) Если теперь предположим, что наблюдения производятся через единичные интервалы времени, то ухг(/е) = ~ Ггг(/) е("'УьсЧ -и Подставляя '(П7.2.4) в (П7.2.3), получаем и Чаг [Оу[ = ~ [ [[7 (/) [а Ггг (/) с(/, [р (/) = ч,„"грув!хну!.

(П7.2.6) у 1 Теперь предположим, что ге!=(2/уЧа)соз(п(/Ь), как в (7.4.1). Тогда ! 1 — ехр [У (А'+ 1) 2п Н вЂ” !/2Ь)1 1 — ехр [У (АУ+ 1) 2п(/+ 1/2Ь)1 Ауа ! ! — ехр [/2п (/ — 1/2ЬН 1 — ехр [12п Н+ 1/2Ь)1 Подставляя квадрат модуля этого выражения в (П7.2.5), получаем — 'ГЗ + 'уп'(А'+ 1) и Н+ 1/2Ь)1Г (/),(/ Ау Мпа и (/+ 1/2Ь) плюс члены с перекрестными произведениями. Используя тот факт, что выражение в квадратных скобках стремится к при АУ- оо. а члены с перекрестными произведениями имеют порядок 1/АУа, мы получаем !нп АУЧаг [В~[=АГг [/2ь) (П7.2.7) ееэ 69 Примеры одномерного спектрального анализа Глава 7 Для конечных значений У отсюда следует 4 1 Лг,[е,[=, Г„[2Ь) Поскольку для модели (П7.2.1) имеет место равенство Гт г(!/2Ь) = Гзл(!/2Ь), то формула (П7.2.8) эквивалентна (7.4.2).

Таким образом, дисперсия минимальна тогда, когда частота возмущения 1/2Ь равна частоте, на которой спектр шума достигает минимума. Непрерывное время. В случае дискретного времени изменения характеристик процесса между регулировками были пренебрежимо малы. Если на входе имеется непрерывное синусоидальное возмущение х(/) = а соз 2п/о/, то модель (П7.2.1) нужно видоизменить следующим образом: У (/) = О,а 6 (/о) соз 2п/о! + Х (/), где 6(/о) — значение функции усиления на частоте /е.

Дальнейший вывод вполне аналогичен случаю дискретно~о времени. Окончательный результат имеет вид 4 Г 0) Лгаг[В,) = —.-гг Таг Пг!/) Следовательно, дисперсия минимальна тогда, когда частота возмущения /е соответствует максимальному отношению сигнал/шум бз(/з)/!"гг (/о). ПРИЛОЖЕНИЕ П73 АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Недавним новшеством в спектральном анализе является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). С помощью этого алгоритма дискретное преобразование Фурье вычисляется гораздо быстрее, чем с помощью прямого метода, приведенного в равд. 2.1.2, и с той же самой точностью.

Так, используя прямой метод для вычисления дискретного преобразования Фурье ряда из У членов, потребовалось бы приблизительно Уз операций, в то время как БПФ требует лишь 2У1одз Л' операций. Экономия времени вычислений может быть очень велика, если нужно проводить анализ Фурье дли~шых рядов. Например, для вычисления с помощью БПФ коэффициентов Фурье ряда из Л' = 8192 членов [![ требовалось около 5 сек на вычислительной машине !ВМ 8094, в то время как для прямого метода нужно было около 30 мин. Важность БПФ для спектрального анализа заключается в том, что теперь оказалось быстрее вычислять выборочный спектр прямо с помощью БПФ и затем сглаживать его, чем вычислять корреляционную функцию, сглаживать ее корреляционным окном и затем, наконец, брать ее преобразование Фурье.

Несмотря на зти вычислительные преимущества, мы не считаем, что доводы за использование БПФ в спектральном анализе столь же сильны, как в анализе Фурье, по следующим причинам. 1. По опыту авторов быстродействующие вычислительные машины, имеющиеся в настоящее время, вполне удовлетворяют требованиям спектрального анализа и даже перекрывают их.

Сейчас наши вычислительные возможности намного превосходят нашу способность правильно истолковать практические данные. 2. Мы рассматриваем корреляционную функцию как очень ценную промежуточную ступень спектрального анализа "). Графики корреляционных функций исходного ряда и ряда из его первых разностей нужны для того, чтобы решить: а) необходимо ли брать разности или нет, б) где выбрать подходящие точки отсечения, в) какая требуется величина выравнивания при анализе взаимной корреляции двух радов. Описание алгоритма быстрого преобразования Фурье.

Полное описание БПФ приведено в [2) **), а астория его открытия и повторного открытия изложена в [3). Эти стазьи входят в специальный выпуск журнала [4[, где помещены также статьи об использовании БПФ прн вычислении некоторых других преобразований [б, 6). Мы будем следовать изложению [2). Предположим, что требуется найти преобразование Фурье Хии т = О, 1, ..., У вЂ” 1, ряда хг, 1 = 1, 2, ..., У, где У вЂ” четное, Один из способов [6) заключается в расщеплении ряда х, на два вспомогательных ряда у, и ль где уг = хзг-г У е, = хзь / = 1, 2, ..., — ' 2 ' (П7.3Н) ') Следует отметить, что корреляционную функцию также можно вычислять с помощью БПФ гораздо быстрее, чем прямым методом.

Длп этого нужно 1) еьннслить с помощью БПФ коэффпццепты Фурье походного ряда, 2) снова с помощью БПФ зьнпслпть преобразование Фурье от квадратов модулей этих коэффзцпептоз и 3) пронормировать результат нужным образом.— Прим. перев. "') См, тзкже Б. М. Н з й м з р к, Г. А. П о т р е б н и с к и й, Е. Л. Р е за и коз, Практические методы преобразования Фурье.