Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 21

проверка утзеридевие ставозвтсл про-. стой. 9.9. Лввейвым везырождеввым преобразозавпем, лкобиав которого постолввый и веразвый вулээ, произвольный прлмоугольппп перезодвтсл з квадрат, симметричвый отвосвтельво пуле. 3 1 1 2 9.10. 1)А(х)=х — Зх +-х- —, хэ=1, хэ,э=1й —, с= —; 2 2' ' ' ~Г2' 3' Зэ 5 -1." 1 1 1 1 2)Рэ(х) =х — -* + -х — —., хэ = —, хэд = — й —, с= —; 2 8 16' 2' ' 2 2Я' 3' 1 1 1 1 3)хэ = —.-,,хэ,элх --,й —, сзь —; 2$ ''"" 2' 2Л! ' ''Зэ 1 2 4)хэ = -1, хэ,элл -1й —, с= —. ;, э/2 3. 9.11. 1)Яэ(У) ='-У(О)+-У~ — ~~; 1 '5 l 81 6 2 ~ 81' ) (~) ~( ) ( 1 З)зэ(7) = , 8 У(О) +ЮГ-8 Г ~~~ 2) ) ~ .

4)оэ(У) = 2 У(0) + 21 э (,3) 26 100 Т" !!)Я 3 101 фе=1, фэ:х, Фэ=в —.—, Фэ =в — — х, .... 3' 10.2. Если 9„(х) имеет ва'$а, Ь) 'тпльпо г < и пулей иечетвой кратвости, то мвогочлев а с(х) = Ф»(х) П(х - х!) ьы пе мевлет знака ва этом отрезЫ', что противоречит свойству ортоговальиости всем мвогочэепам впзоый степеви. 10.3. Пусть Р„(х) — пропззолэЗЭый мвогочлев степеви п со старшим козффвцвеитом 1.

Тогда Р„(х) =: ф (х) + г„э(х), и вз ортоговальпости эЗ„(х) любому мпычнлепу ппзпмй о4чпепи следует !!»(*)!!'.-ЬмМ!*+ !!"- (.)!!' 10.4. Предстаиям мвогуюлев щф„-1 з виде ~~,аэ4», где козффвциевты ээЭ опредеипотсл-пз усаавй ортогоэвльвости , (хф мфД,ы,сц(бл,бэ). При э' < и — 2 змеем со. лэ." ' (Щь.ээээ) '(те"ээхиэ)л~ (9» э~Яяеэ(х)) = 0~ Ответы, анке, вшеввл т.е.

все ау = 0 при у < и-2 (здесь О)+!(х) обозначает некоторый мкого. член степени у + 1 ). Таю!и образом, хФв-! = аятрп + атт-(Фтт-! + ав-вФа-в р при етом а„= 1 в силу равенства коэффициентов при старшей степеви х. Отсюда следует, что тЬ„(х) м (х — а„!)т)„-! — а,~-з(Ь~-з, Ь„= -а„! . Пос о у ( ~,(Ь„~) =(тЬ т,тЬ ), (тЬ -! тЬ -!) с =а„т =,, >О. (т(ттт-в1ф -а) 10 б тре(х) = 1, тЬт(х) = х.

Продолиить решение по индукции с вс. пользованием рекурревтвого соотнопивнл. 10.6. Все корни хв ююгочлева тЬ„(х) полоиительвы, а его коэффициенты вьтражаютсл через величины В, = ~„" ! хь( (см. задачу 9.4). 10.Т. Подставам х = х(") в рекуррентвое соотношение (см. задачу 10,4) ф,+! = (х — ап)тртт — а„!тЬ„! . Напомнилт, что здесь а ! > О.

Тогда будем иметь трь+! (*,'"') + а -ттЬ -! (х,'."') = О. Пусть утаеридевие задачи верно длв кекоторого в. Отсюда и вз втбвтЬ„-т(Ь) = 1, в(баттт т(о) = (-1)" ' следует, что трт-т(х! ) =(-1)" ', а знаки абпф„+! (х! ) = -втбптЬ„! (х! ) протнзополоивы. Поскольку У (ь)1 . / (л)1 вщп т)ь,+т(Ь) = 1 и ибв тЬ„+т(о) = (-1) "+', имеем перемены знака тЬ„+т(х) з последовательно расположенных точках о, х,,..., х„, Ь, что и завершмт доказательство. (и) (е) 10.8.

1) 2 У (~) ( 2) (е — 1)1 (е 1) ' 10.9. 1) — У вЂ” +У 2) У вЂ” — 2 +т — — -2 144 Ответы, азаккх, епмнкл 1010. -У вЂ” - +-У(0)+-У 10.11. рассмотрен мвогочлен степени й = 2п — 2 вида Рь(х) / и ~ 3 = ~ П (х — х;)) . Длл ннтегрэла от этого многочлена формула Гаусса 4 1 дает точнык результат: / ь ЭВ в р(х)Рь(х) йх = Я С Рь(х ) = ~ с~Р (х ) + с~Р„((~), 1=1 за й~ь Поскольку справедливо в , ~~~~с~Рь(х~) = О, / 1 Мой имеет место равекство ] р(х)Рь(х) йх се=' Р )О. 10.12.

Снмметркл узлов квадратуры следует нз задачи 10.3, а снмметркл козффкцнентов есть следствие снмметркк узлов. (см. задачу 8.3). 10 13 Фз(х) =х — -х. 3 2 10.14. Фз(х) = х — -х. 3 4 10.18. Фз(х) = х — -х. з 2 10.16. Ф~(х):= х-1, Фз(х) = хз-4х+2, Фз(х) = хз-Эхз+18х-б. 1о..Я(1)=1 +~ +У 10 18 Яз(1) = — 1(2 — Л)+ 1(2+ сГ2). 2+ У2 2 — Я з(1) 24 1 2 20 1 2 20 П13 11.1. Пусть [х;,х~+~] — одна нз подотрезков длины Ь, на которые реэйет отрезок [а,б], н пусть й = (х; + х;+ь)/2., Используя теклоровское разложение подынтегразьной функции в точке й, получить следующие 145 Ответы, аз авве, епмвпл представлешш:,, и+1 l у(х) 4* = ЬДх)+ — ~" (х)+ —." 1<'~(х) + ..., 24 1820 ~1+1 / 11 1а -Йд~~1 — 1 1"1п1- 1 1(')~с — ....

2 Г2 480 й1 Я»уз Я1 11 б Ял,луз = Я»~э + 11.7. Порлдоп главвого члепа погрешвости увазичвтсл ва 2. 11.8. Действительно, есле Ялуз > Ял, то Ял,луз > Я»уз > Я» Если Я»уз < Ял, то Ял,луз < Ялуэ < Ял. 11.9. мошко предломвть сзедушщвй способ (лровесс эбшкека), лелем. щийсл обобщеваем,правила Руцгес Пусть 1 — точвое звачепве витегрма.

Выберем три раввомервые свези.с шагамп Ь Ь/2 и Ь/4. Если учитывать толъко главвый члвв погрешиости, то получаем систему трех уравпеюзй1 1 = Ял + сЬэ, 1 1 Я»уз + — сЬэ, 1 1 = Я»1» + — сЬэ -1 в которой звачевил 1, с и р ие извествы. Из параш о и второго уреввевай имеем. 11 . сЬэ (1 — у~ = Я»уз- .Ял. Из второго и третыз"о уревуаац~ищ чим — сЬ" ~1 — —,~, =, Ялул — Ялу Из последивх двух равевств получаем урезаете дле определевие р1 'ф1 - 1» Ялуе — Я»уз" Оцепив длл главаого члеиа пш риавоств имеет впд 6с:»1 2Я»уз — Ял — Ялул ЕН~ 18.1. Нет, посвольпу веравевстве.зреугольвиаа ве выполнено.

13.2. Да. 1З.З. Иэ вераеевств азах ~аЦ < ~ (вЦ < в пик 1в4 следует збзб» з з збзбв ЦхЦ„< ЦхЦз < и ~(хЦ„. Так как 2 азз < ~Я (а~(), то (Щз < ЦхЦд. Иэ веразавстеа Копзв— з1 з1 Буюиовсзюто вмеем Следа аательао, а ЦхЦз < ЦхЦз < ЦхЦз. Иэ вераеевств азах в~~ < 2 аз~ < в шлх х( следует 1бзбв ф ь 15!С» Цх]~вв < ЦхЦз < в /~ ЦхЦ»в. 1З.Я. Пусть еы...,ев — ортовормвроаавааа светова собстеевамк векторов матрицы С (т.е. (е;,еу) = Юп), а Лм, Л вЂ” соотэетстаузощве собствеввые эвлпеппл. Любой лектор х шлздстеавм в виде х = 2 осе~. 4 1 Поэтому / в в ~З я (Сх,х) =: ~~)чсьеоЯс~вь) = ~ М.

зво з з !»1 ш~вЛ» (х,х) < (Сх, х) < шакЛ» (х,х), (х,х) = ~~ с~~. з Поскольку все Лз(С) ) О, паювыапое вераэевсФво оэвачает экаввалевт- вость еэклвдоеой ворме ЦхЦз с постаеваымв сз м,/~Л~, .оз =./азах~. у з у ц у спер уд шв .Ц~ (( ЦАхЦ =азах~~ оввз~ <пшх(Я~оп~ ввк(аД < < шак Я ~оп( ЦхЦ Покамем, что зта оцевва доетигаетсл. Пусть максимум по з имеет место при з = з; тогда возьмем х = (абв(оп),абп(азз),...,абв(ам)) . Имеем 1)х11 = 1 и точиые равевства эо всей цепочке выше. Таким обрюом, / а ЦАЦ, =азах ~~~~ 1ам1 1 1 По овределевюо мвгричаой аормы, подчввекзий евклид~мой аекторвой аорме, имеем ЦАЦз - "эвр - зз эор — ' = эер ЦАхПз (Ах, Ах) (Аз Ах, х) х зе Ц»Цз хззе (» зс)» зе (»») Отметим, что (АААз)~ = Ат(Ат) АгА, т.и ~игрвца В = АгА— свмметрачвал, а (А Ах,х) = (Ах,Ах) > О; свед<вательво, асе Л(В) > О, Рассумдаа далее, как и в задаче 13А, певучим эвр — ' = пза»А;(В), (Вх, х) „щ (х,х) з а раэезэ!тэо доствгаетел ка соответствующем еобствеввом векторе.

По. этому 3Аь- / А7А л. Следует отметить вамвый частвый случай еимметрачвой матрвцье А=А' . Зд 11АЦз ° щах 1А(А)1. 13.3. Ах= Ах ~ ЦАЦ ЦхЦ > 1Л1ЦхЦ. 13.У. Дла доказательства перми о евйстэа спектральвой кормы кадо покюать, что существуют талас векторы х и у едвввчвой дливы, ва которых мавспмум достагаетсл. В сэму иерааевства Капп — Вуювювского а учачъюал, что спектральваа варма подчавева еэклидоэой эекторвой норме, певучим иерааеастэо 1у~А»~ = (у, Ах) < ЦуЦз ЦАхЦз < ЦуЦз ЦхЦз ЦАЦз = ЦАЦз. Пусса вектор х такой, что ЦАхЦз = ЦАЦз, т.е. ва вем доетвгаетел максимум в опредеэеииа водчвиееюй вормы, и эозывы у = А»ДА»Цз. Тогда ЦуЦз =1 ЦА Цз ЦА Цз Следзюатаэьво, иевомые векторы х и у построеаы и первое сэейстэо спек- траэыкй кормы докаэаао.

Из первого свойства спектраэыюй нормы и вз равенства ЦАтЦз пьзх (утАтх~ = шах (у Атх) = Ихбе з Ихбе 1 Иубь 1 ИУИе=з шах (Ау,х) = шзх !х Ау~ =ЦАЦз Инбер ИУ!Ь з ИУИзье Ихбе ь следует ее второе свойство. Заметим, что поскольку здесь мы примеплюс первое свойство к матрице Ат, з обозвачениех, прикатых в этом раэеистзе, вектор у имеет размерность ш, а вектор х — размерность и. Покаиюе теперь справедливость третьего сзовства спектральной пармы. Из второго свойства следует неравенство ЦА~АЦз < ЦА~ЦзЦАЦз = ЦАЦз.

Возьмем ганой эыстор х, что ЦхЦз = 1 и ЦА хЦз ы ЦАЦз, и првмевим первое смйство к матраце АтА, полонна у = х. Тогда получвм веразекстзо (!АтА!)з > !хтАгАх = (Ах,Ах) = ЦАхЦ~ = ЦАЦз. Кз этик двух неравенств следует ЦА АЦз = ЦА!Н. Аналогично показызаетсл, что ЦААтЦз = ЦАЦзз. Такам образом, третье саожтзо сжктралыюй нормы доказано. 13.8. Из третьего свойства спектралыюй нормы следует ЯАЦз зЦ(ЯА) ()АЦе ЦАгЯт(3А))з ЦАтАЦз ЦАЦзз Из второго сеойстэа спектральшш нормы и полученного разежтза следует ЦЩЦз = Ц(~Щ) Цз = ЦЯтАтЦз = ЦАтЦз = ЦАЦз В частности, из Ц1?хЦе=(Ф,Фс) =(Ф)~Ф =хю1~~Фсых х=(х,х) =ЦхЦз следует, что умвоиеиае вектора х ва ортогональную матрицу сокравает его дышу.