Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 24

Следовательно, вблизи корне метод Ньютона имеет квадратичную скорость скодимости. 19.3. Наступал так же, как и в случае простого корил, получим х„т~ — л = (х„— л) у (л) + - (х„— л) у (с), где с Е [х„, л]. Однако в случае р > 1 з выраженви у (х) = — -ту(х) у '(х) (у'(х)) содериитсл неопределенность "ноль на ноль", так как л лвллетсл тзесие корнем у евин у'(х) = О. Оценим у'(х). ДГ у(х) в окрестности корил л кратности р ведет себл приблизительно как о(х — «)", где а — константа.

Тогда з малой окрестности корил у (х)— 1(х) ~е(х) о (х - л)е ор(р - 1) (х — з)е р - 1 (1 Р [г(*))' азрз(х-л) ~ Отсюда видно~ что чем выше кратность корил, тем медленнее сходимость. 19.4. Требуемую модификацию будем искать в виде 1(х.4 х„+1 ы х„— а —, 7 (хв) у'(х) =1 — а+а и1 — а+а — = —. у(х)у"(х) р — 1 р — а [~'(х)) р р Дле обеспечевил квадратичной скодимости параметр а надо подобрать таким, чтобы у'(з) = О, что и вьшолнлетсл при а = р. 19.б. Искомое число лвллетсл корнем уравнение 1 — — 1 =О.

ох 1бб в подберем параметр а так, чтобы имела место кзадратичнал скодимость. Рассмотрим данную модификацию как специальный случай метода про. стой итерации х т1 = у(х), длл которого выполнено х = у(л), причем вблизи корав Отлеты, указание, Длл етого уравнение метод Ньютона имеет зид: хз+з = 2х„-ох„. з 2 Если хо — 0 нли хе — —, то сзодиыасзи к корню не будет, так как зсе х разны О.

Если хе < О, то сзодимости также ве будет, поскольку все х„ 2 оставутсл отрицательными. Если лезть хе > —, то зсе х„< О. о Таким образом, сзодвмость имеет место, если начальное приближение берегов нз интервала (О, 2/о) . 19.6. Длл уравнение р(х) а — =О У(х) У'( ) корень л будет простым. Тогда длл уреввеиил р(х) ы 0 метод Ньютона принимает зид и будет иметь квадратичный порлдок скодвмости. В окрестности л фувкцил у(х) ю а(х — л)з. ТЪгда д(х) = — ю у(х) о(х — л)" 1 = -(х-л). У'(х) ор(х- )' ' р Длл двух последоаатазьвык приближений хз и хз змеем систему приблнженнык уразиипзй 1 р(хз) ж — (хз — л), р 1 р(хз) ю — (хз — л). р Отсюда получим оценку длл кратности р корне л: хз -хз 1з И р(хз) — р(хз) Такой способ оцевваавил р можно првмевлть на каждой итерации.

19.У. Обозначим области сзодимости метода Ньютона 2хз х„+з=х(х )ив Зхз -1 к корнем г = — 1,0,+1 через Х,Хе,Х+ соответственно. Кроме того, опредезвм последовательности точек (х~) длл н > 0 следующими услоеи- 1 Ф(хв+з) = хи э хе = и=1 ~/3 1бу Ответы, указанвн, мнения для элементов которых справедлнвы неравенства 1 + 1 — — =х <х <х «...- — <О< Гз "' Л 1 + + 1 « .

<ХЗ <Х1 <Хо Л АЗ .н существуют пределы Иш хйй аа Ию хзй, — — — —, — + й-а» й-+ ~/5' Пш хйй = Вш хйй + й-+ао й-+ао . Д Тогда Х- = (-~,хо ) Р Д Мв ихйй) 11 (хы ь, хй',й ц)) * йоа Хе= Х+ = (хе, оо) Ц Ц [(хай-ц хйй-й) 11 (хйй хзй-й)) . 3 ойаГР й Ьр — од+а=О ~ рйд: 2Ь Р = с — 4аЬ. 1) Р > О, рй уй рй — вещественныеа рй = Сйрй + Сере, й й, 2) Р < О, уц,й = ре~йо, р = )/-, йо = агсаб — — комплексно- га ~/Р$ ЧЬ' сопряженные: рй =р (Сйсоз)ар+Сйввйу). Это форма записи действвгельного решения, длл комплексного — можно использовать прсдыдуппщ вид.

3) Р аз О, а1 =рз = р — кратные: рй = Сйр + Сэйр . Н предыдущих формулах См Сй — произвольные постоянные. 1бб йая Кроме то1о, если хе = х„, и > О, то метод не определек, а при хс = ив х Я вЂ” зацикливается. Таким обрезом, области сходимости к корням л = ж1 являются объедннениями перемежыощихсе открытых интервалов, разделенных точками зацикливания метода. Щ 20.1. Найдем корпи характеристического уравнения Ответы, ешевия 20.2. У» = (Л)»(С1 з1п ЬМ+ Сз сое Ь р), у = ыссб 47. 20.3. Да, так как характериствческвй мвогочлев второго уравнения делится ва характеристический многочлен первого без остатка. О-» 20 4 1» =:1»-м 1» = бес А» ° а» 20.6. Если л — корень характеристического уравнения л~-2лх+1 = О, то 1/л — другой корень.

Ограниченность репюннй разностного уравнения равносильна следуюшему услсвюо: оба корня характеристического уравнения лежат в замкнутом единичном круге и на гравице круга нет кратных корней. 20.6. Характеристическое уравнение выест вид (,из + и+ 1) = О. Следовательно, 2(Ь вЂ” 1), 2зй у» = 83п ~Гз З ' 1 20.Т.

1» =— Л 20.8. Запюпем р азностную задачу Ь» = Ь»»»-» — ас»»»-з, Ье = 1, 11» = Ь. Тогда Ь~ /Ьз- 4ос 1»ьз = 2 Рассмотрен два случая. 1) Пусть Э = ~/Ьз — 4~ ф 0 . Тогда б,,=с, (:ь~')" +с,(ь+11)'. Из начальных условий получим линейную систему с +с =1, — (ь — и)+ — (ь+О)=ь. С» Сз 2 2 Решение лвнеююй системы дает с — — ~1+ — ), с, — (1--). Ответ для случая ненулевого днскрнмивавта: (Ь+ /Р-4 ) + — (Ь-4Р: (ос) + »1»вЂ” 2»+» ~/6» — 4ас 2) Пусть В = ~42 — 4ос = О. Тогда Ь" Ь ь„=с,~-) +сзь4) . 1б9 Ответы, указалил евевнл Из начальных условий получим лнвейнуш систему С, = 1, С, — + С. — = Ь.

ь ь 2 г Решевне ливенкой системы дает Сз = Сз = 1 ° ь ' б„=(-) р+ь). 21ьсоза=1ь 1+1в+ъ, 1е=О, 11 =1 1ь(а) = —. ив Ьа еша 20.10. Обозначим частное от деление а; на оаы через 4 и запишем систееу рз)зевота ае = а1бз + аз, а1 = азпз + аз, овв-3 = от-14а-1+ оп1, сев-1 = пюви» .

Наибольшее количество операций деленна ю будет з том случае, когда все 4з,бз,...,И равны едюпще. Поэтому введем числа ро, рз,",р, при услозиех ре = О, рз = 1, ..., Уаы = у'-1 + уп длл которых справедливы неравенства о,+1=уз,е >рм...,оз>р ме1>р Последкее из ввх помет сзузппь длл опредеюввл числа т, если известно выражение р = ~(ш). Но р — числа Фвбоваччи, поэтому Дюв = т.е. при всех ш спразедлвво неравенство р,„>— У70 От Отсюда после югарифмировавил имеем 15(1+ а») + 15»/5 и» < 2 Обозначим через р чвсю цифр в а». 'Хогда р к»»5 ((1+ а») /5) .

Поскольку 16((1+»/5)/2) < 1/5, получаем ответ: и» С 5р. 20.11. Обозвачвм через К» выражение 00 К» = х е *с»их4х, й > О. е Интегрирование по частлм дает снсты»у разкоствык уравнений Е й 1» = -(1»-»+К»-»), 2 л К» = — ( — 1»-»+ К»-») 2 с начаэьвыни усэовилми 1е = Ке = 1/2. Если положать Ы. й! 1» = —,', 1», К» = — 1», 2» ' 2» то искодвал свстема с перемен»п»ми коэффициентами перейдет в светилу с постолввыми коэффвциентами: я»=я»-»+1»-м за=.1/2в 1» =-у»-»+1»-м 1о =1/2 ° После исключевил 1» получим ревностное уравненве второго порлдка от- носительно 1»: Ь вЂ” 21»+21»- =О, 1 =1/2, Его ранение имеет вид (» = »/-1): ! у» = — [(1 + »)» ~ + (1 — ») +') ~ ,Г» = †„', [(1 + »)" ' + (1 — »)» 2 Далее заметим, что (1 + ») = -4 = (1 — »)».

Сэедователько, ( 4»» у(4н + 3) = (-4)" у(З) = — ).- [(1+ 2» +»э) + (1 — 2» +»~)] = О, 2: 171 Ответы, уквзанюг, ревгеппл уда ц4П+ 3) ге + О ° ь 1 20.12. ув = (~/20) (Сгапйр+Сзсгийгр), р=агс —. св, йт йкч ЗО 13. у = (Я) ~сг И вЂ” + С, 4 4) ь 1 20.14. уь = (~/23) (Сгвшйу+СзсовЬр), р= — агссв —. 20 16.

уь = (~/ГЗ) (Сдан йгр+ Сз совйгр), вг = — агсвв — . ь 2' зо 1в. у, = (-2)'(1 — зй) . 20.17. уь = (-1)ь(5 — 3 ° 2ь) . тй . тй ЗО 1В. у, = 2 — +И вЂ”. 2 2 20.19. уь = (-1) +2"+ +3 +'. И 21.1. Корень характеристического уравнение равен ги=2 =ь увг =Ьйз+сй+«, 2Ьйз + 2сй+ 2« — (Ь(й+ 1) + с(й+ 1) + «) = 1+ 2й — йз У й. Мнокгитырг при кипенно — независимых фупкцивх порождают уравнении 2Ь вЂ” Ь = -1 при йз, что дает Ь = -1, 2с — (2Ь+ с) = 2 при й', что дает с = О, 2« — (Ь+ с+ «) = 1 при йе = 1, что дает « = О. Следовательно, ув = -Йв. 21.2.

Имеем: р=з ~ у,'=зь(Ьйз+сй+«), 2+ (Ьй~+сй+«) — 2ь+ (Ь(й+1) +с(й+1)+«) =йз~ 'гй. Множители при линейно — незаюгскмьпг фуккцилх порождают уравнению 2Ь вЂ” 2Ь= О при 2 йз, 2с-(4Ь+2с) =1 при 2" й', что дает Ь= -1/4, 2« — (2Ь+ 2с+ 2«) = О при 2 Йо, что дает с = 1/4. Следовательно, уь = 2ь '(й — Йз). 21.3. Имеем: ги= 2 =г уьг =с аай+«соей, 2(с вшй+ «соей) — (с вш(й+ 1) +«сов(й+ 1)) = апй г Й. Поскольку вш(й+1) = вшй сов1+совй вш1 и сов(й+1) =соей сов1- -вгпй вш1, то мпои.ители при лппыгпо — независимых функцпвх дорождаго'т ураапешги: (2 — сов 1) с+ «ип 1 = 1 прп вш й, (2 — сов1)« — с вш1 = О при соей.