Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Зашппем двфферевцвальвую задачу в виде — = -Ау, р(0) =4, 48 4х где ], А [ ], 1 [ р = ехр(-Ал) Н. йцз(А) = х(1, то, обсеначвв через Х матрацу, столбцами которой лввпотсл собственные векторы матрицы А, получаем Отлеты, указание, решение Длл нахождение решевил разностиой задачи представим ее в виде ра = Аара-и И = 1, ...,н, а а а 90 где ра =, Аа =Š— ИА= а а а Уа = Аауе~ а ~ ~(1 — ПИ) О При нахождекви Аа было использовано совпадение собственных векторов матриц Аа и А и салль между вх собственными числами Л(Аа) = 1 — ИЛ(А) . Можно показать, что ехр(жа1ха) — (1 ж аТИ)а = 0(И).
Следоватеш»но, бр(ха) — 1ф~~~ = 0(И). Ввода в пространстве 1а норму Пра ига = (Пиаи ) приходим к следукпцей оценке сходимости ропшина разностной схемы к Репшншо дифференциальной задачи: Таким образом, схема имеет первый порлдок сходвмости. 24.9. где рьз — корпи уравиевик рз + 2Ир — 1 = О: и ш-И+~Д+И =1-И+ — +О(И ),, =(-1) ~~+И+ — ~+О(И ); 2 ' 1 2 ~ са=б 24.10. Эта схема неустойчнва, нет сходимостн. 24.11. 2И +а = оп(Иоа), ао =О, оа = — И. 3 Ответы, указания, репшввв а +) — и и,+) + и, вш(й(ш+ 1)) + вш(ьш) Ь 2 +б 2 ив=2. 24.13. 2Ь вЂ” и = ехр(2Ь)и), ив = 1, и) = ехр(2Ь) . 24.14.
и!в+1 — а!в ехр(й(ш + 1)) + ехр(ьш) — (и +)+а )= 2 ! ив=1. 24.16. Взять заведомо а — веустовчивую схему, например 4 + -ЗУ +1 У =су ) +()У +сУ +) и ь(входом веопредеюввых козффвпиевтсв получить заданный порядок анарова:имации. Щ 26.1. (х = ум 1/12, )8= 6/6. 26.2. Иэ формулы Тейлора имеем и(ь) = и(0) + Л й(0) + — а" (0) + О(ьв), откуда и(ь) — а(0) Ь Ь 2 Из исходного уравнения следует, что -и (0) = у(0) — р(0)ао.
Таким обрезом, (О) !! ( .! — ()(О) — р(0) (!))) +О(! ). Искомая аппроксимация имеет зид ( Ь Ъ и! — ие Ь о — -ре~ ио+6 — = с — — ув. г,) Ь 2 26.3. Собственные значения рвзвостной задача у)+1 -2у;+у*-) Ьв = -Лу;, у, ю ун ю О, Ь = 1У1У имев)т эвд (см. задачу 22.7) Л = — вш —, и=1, ...,К вЂ” 1. 4 ° в тий Ьз .2 181 Ответы, лзавюв, решеювл Легко видеть, что 4 .втЛ 4 Л м=Л1= — ап — >4 Л »*=Л»-1< — ° Р 2 Р' Отсюда следует устовчивость и порлдок обусловленности системы. Выше было использовано неравенство мпф > -Щ при ф < —. 2 вв 2 28.4.
Введем обозначение 1( ) у»+1 — 2ув+ У1-1 Л и покажем, что если 1(ув) < О при в = 1,..., Ф вЂ” 1 и уе ю у» = О, то ув > О при всех в. Пусть И = шшю < О и у — такое наименьшее цеюе, что ув = И. Тогда Ув-1 > вв» Ув+1 > вв в 1( )= ' ' >О. ув — Лв Полученное протвворечие доказывает, что ув > О при всех в. Следующий шаг — доказательство неравенства шах ~ув~ < -У» где У= шах ~1(ув)~. 1 о<1<» * — 8 о«<» Введем длл этого функцюо Ю» = вЛ(1 — вЛ) 2 У, в=О, ...,Ж, удовлетворшощуво условием и» > О и 1(мв) = -У.
Теперь дви фувкцвй ю» ш у» свцвззедлиэов 1(вцйув) =-Уш)(ув) <О, и»эйуо =и» шу» =О. Поэтому использование доказанного вылив свойства дает э»1 х ув > О, от- куда и следует ископал оценка ~ув~ < вл < шах м« -У. 1 о<в<» 8 Последний этап — определение величины У в уравнении длв погрев- ности и(вв) — ув. длл этого запишем уравнение длв погрешности, использул формулу Тейюра Лэ Лв 1(п(хв) — у») = — в~'~(6) = — — Уе(6) . 12 ' 12 Ответы, езавие, репмввл (а(+) - а)) Ьг = — ~~г (Ьг+г — Ьг) а(+г + аг(Ьп' — аоЬе.
Е г о 25.6. Использовать ввтегральвое томдество —,(Яу,)79)+(ру,у) = (У,у) 1 и сеточвый аналог веравевства длл фувкпвв в ее провзводвой у,. — ~~) ()гу) -+ у; < ~~) 1 ~~г ()гу)ь < ))((~у, (уу), ьг ь1 и-г ' (у,у) = ~~г у; < ж (1Ъ,Чу) < — ()УУ,'1УУ) . ь=1 Априорвае оцевка длл решевва вмеет ввд (у,у) < (у,у) -+ ()у)) < )Я, где Щ) ю — (у,у).
25.1Т. + -(сое(1)+1) — Заи = 1. )) 2 ог -ио Ь 25.19. ' — — + 4 Л 2 25.19. + -(Зов+акр(1)) =9. Ь 2 25.20. и Ь 2„ -(2,-Ц-,=О. 25.21. Схема устойчива, так как Л" = — е!п („) 4 . е «(а-1) йь 2(Ф вЂ” 1) +1, в=1+К вЂ” 1, Л м=1. 25.22. Схема устойчива, так как Л" = — мп, а=1+))( — 1, Л >1. („) 4, з 1г(2и-1) йв 2(2М вЂ” 1) ' 25.23.
Схема устгв1чвва, так как Л(") = — ап, ага1+Ж-1, Л;. >1. 4 . з е'(2в-1) Лз 2(2К вЂ” 1)' 25.24. Схема устойчвва, так как Л = — ап — а=1+И вЂ” 1, ()4.ата о =Аз Лгм >4 — 3=1 Ото)ода У = — шах ~ у '(в) ~, что в првводвг к искомой опеюге. 12 (од) 25.5. Воспользоватьсл формулой Абеле Отлеты, л РЕЕ)ЕЛИЛ ~~ 26) 26.1. 0 т,иэ,— 26.2. При а < О и т = — существует схема с аппроксимацией 0(и ).
Л 1 =И 26.3. Воспользоватьсл идеей построевие схемы Краика — Нвколсова с поредком ышроксимацаи 0(те, Ье) «+1 в в+1 в+1 п«л — %» 1 ~~~м ~~-~ а м — ~~-~1 О + г ~ ги + ги примевив резюиевие в рлд Тейлора в точке (х,„, 1»+ й), и ашроксвмвровать провззодвую ио переменной х с четвертым порлдком ва шабюве вз точек х, х а1, х еэ. 26.4. Схема имеет порлдок авпроксвмацви 0(т, Ь). Подставим в вес обппш вид частвого решевие ев = Л" е' т. В результате будем вметь Лв+1еллвт Лве)лвт Лвеллвт Лве1(»л — 1)т + е — е О т Ь Сокращал ва Л" е) ", получаем Л-1 1-е-" — +а лв О, т Л откуда следует ат ат Л(л)1) = 1 — — + — е(-1лр) . Ь Л ат ат ат Пусть а > О. Тогда при О « — 1 имеем ~Л(у) ~ < 1 — — + — = 1, т.е.
Л Ь Ь схема устойчива при выполвевии указаввых выше усюввй. При — = у > 1 Ь получим Л(х) = 1 — г у < -1, т.е. в этом' случае схема неустойчива. Такам образом, развоствал схема условво устойчвва. Отметим, что аиелогичвые рассуждевил справедливы при а < О длл в+1 лл в в а — а Е +1 — Влв +а т Ь 26.6. Схема вмеет порлдок аппроксвмацви 0(т, Ь1) . Как и в предь1- дущей задаче, получвм Л(е)) = 1 — — (е'т — е '") = 1 — 1 — еше), гь ь откуда следует, что /л(»1/-!л(1)/=~ф+ — ', . Ответы, указание, рапешо1 Пусть т = АЬз.
Тогда /Л(-)/4 ЛЛА А =ЛА А — АО( )1~', аА где с = — — постслвнал в правой части неравенства из спектрального 2 признака устойчивости. Обратим внимание, что исследование устойчввости с помицью спек- тралыюго признака фактвчески позволлет находить искомые заковы отраслевик т и И к пулю. 26.6. Л(лр) = — (1 — — ) е"'+ — (1+ — ) е "'. Схема устойчива (~Л(лр) ~ = 1) при выполнении усаюил — < 1.
~а~т ат ат 26.Т. Л(лр) = (1+ — — — е 1') Ь Ь Введем оба1вачеп1ш: б = зпр ~Л(1р)~ в ат(И у. Тогда: Е<т<1 при а > О или при 7 < -1 выполнено б < 1, т.е. схема устончива; 1 при -1< у(0 вьшолнено б= !27+1! > 1, т.е. схема неустойчвва. ат, 2В.6. Л(р) = (1 — — 1а лр~ Ь Посколысу ~Л(лр) ~ < 1, схема устойчива при любых т и И. ат .. 26.9. Л(лр) = сову — — 1аа лр. Схема устойчвва (~Л(у)~ < 1) при вы- Ь полнении условие — < 1. ~а~т Ь 2616.П~ О<б<-.
1 т 1 2Т.1. При — = —. Ьз б' 1 Ьз 2Т.2. При б = — — —. 2 12т 2Т2 О(.1 И4) 2Т.4. Схема имеет порлдок аппроксимацвн 0(т, И ) . Введем обозначение р = т(И1 и перепишем схему в удобном дле авалвэа виде п(12)«+(п+.в)+Ап Поскольку максимальные значении обеих частей равенства по 1и совпа- 1 дают, при р < — имеем ~~ц«+1~~ ((1 грдапУ~+грУ~ап~~+трп~~ ~~ап~~+Щп~~ ((~~ап-1~~+ +тф"!1+ЕУ" '~~) <...
< Овса+~~1 твом 8 < Оа 8+(а+1)т шлхОУ"8. 185 Ответы, укаэавил, решевил Следовательно, схема удовлетворлет условшо устойчивости с постолввой т 1 с = («+ 1)т = Ф при условии — < †. Ьз 2' 27.6. Схема имеет порлдок аппроксимации О (т, Ьз) . В даевом случае удобвак длл авалвза форма зашюи имеет вид Теперь из всех звачеввй й+', по модулю равных !!в"+ !!, выберем такое, у которого индекс «1 приввмает иавмевьшее звачевие.
В этом случае ! "-"! > ! "-'-'! ° !""-"! >!."-'+ ! Отсюда !2й+' ! > (!в«+', ! + !и«++, !), и знак выражение 2и«+ — в«+' — в«+ ~па-1 ~ив+1 совпадает со знаком в«+1, т.е. «+1!! ! «+1! < ! «+ + (2 «+1 «+1 «+1)! ! «+ 1«+ ! Таким образом, при любых шагах сетки т и Л справедливо !!в"+1!! < < !!в«!! 17 т !!у«+1 !!. Дальвевшвй вывод оценки устойчивости выполнлетсл по аваюгви с предыдущей задачей.
2Т.6. Сходвмость выест место при выполвевии условвл устойчшюсти: р < 1/2, при этом имеем порлдок сходкмоств О (т, И ) длл р Че 1/6 и О( з ЬЧ) 1»6 27.Т. При выполиевии этого условие среди частвых реоюиий вида ч ««ч айдезтл 7 та 1»е,зто ~~ ~ > у > 1 где ф — вш(зч«И6) 2Т.8. С помыкаю частных решеивй вида в,"„= д" рич показать, что схема неустойчива длв всех т и Ь. 27.9. Если 0 < д < 1/2, то схема устойчива длл всех т и Ь; если т 1 1/2 < 8 < 1, то усювие устойчивости имеет вид — <— 27.10.
Схема может быть преобразована к виду «+! и«-1 Ч.з и«+1 2«« + «-1 и~ — в~ т в,« — и~и и„", 1 — 2и,"„+и~;, 2т Из + тз Ьз Ова устойчива длл всех т в И. !)» 281 28.1. 41 и(Ао) = — вш — -и(АЧ) + — »» и(Аз) 16. зк» 1 Из «1 « 1=1 аео = 4с — 4, аы = а» 1 = а-ы = а 1 1 = с, а»о=а ю=ае» =ае-1=1 — 2с, 186 плп, что то ие самое, Ь" = Э~д~ + деда + с1~ьд~д~дедл, где с — произвольное постолппал. 28.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
