Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 25
Текст из файла (страница 25)
172 1 Ответы, указание, решение Следовательво, 2 — сов 1 вп1 с= д= 5 — 4соз 1' 5 — 4соз 1 2 — сов 1 . зш1 у» шп й+ 4 й 5-4 соз 1 5 — 4 сов 1 21.4. р = Ь и возможвы два случал: а — Ь вЂ” 1 » 1 Ьфа =» у»»» — Ь + — о, о — Ь а — Ь Ь=а =» у» =а» '(о+й). 21.5.
При й м 0 из ураввевил получим у» = 1. Замела у» = л» (й — 1)! дает задачу длл л»: л»ч.»-л» =2, л» =1 » Следовательио, у» = (й — 1)! (2» — 1). 1 1 21.6. Использовать замеву у» = — и получить у» = —. в» й+1' з» вЂ” 1 21.7. Замена у» = — дает задачу длл л»: л»е» — л» = 1. Отсюда л» уз + й(1 — уе) 1+ Й(1 — уе) 21.8. у» = — (3 — (-1) ) — —. 1 1 8 2й' л»+1 й+г 21.9. Использовать замеву у» = — и получить у» = —. в» = й+1' 21.10.
у» = 452 ". 21.11. у» — — -4 й» 7 21.12. у, = — 3- . й 19 21.13. у» = -й2 21.14, у» =С»2 +С»2 + соз Й 2 соз 1 — 5/2 /1+ А7~ ' /1 — Л7~ 3 2115. у» =С»+Сз ~ — ~ +С» ~ 2 ) 16 8 — — й — -й . 21.16. у» = С» + Сз й + Сэ (-3)" + -Й' . 8 21.17. у» = С»(-2) +С»4 »» 7соз1+ 2 .
9зш1 .0 юп Й вЂ” — сое Й, где Э = В = (2 + 7 сов 1)» + (9 яп 1)з . 173 Ответы, указании, релмвнл П22 22.1. Обозначим искомое фундаментальное ранение через С». Дл,', опредезеюш С» имеем три группы уравкенвй: а С» + Ь С»+» = 0 при Ь < — 1, оСе+ЬС~ =1 при Ь=О, о С + Ь С + = О ри Ь > 1. Дла Ь < 0 возьмем С» = О. Тогда все уравнение первой группы выполнены, из второго ураввевиа следует, что С» = 1/Ь, а общее решение третьей группы уразвенвй имеет вид С» = С р~, где 1» = -о/Ь. После определенна константы С вз С» получаем частное решение неоднородного уравиеанл 0 при Ь<0, С»= 1 а 1 --(--) при й>1. После прибааленил к нему общего решенил однородного уразневиа полу- чаем выражение длз фундаментального решение: ы А( — ) при Ь<0, (А — -) ( — -) прн Ь > 1.
ИЬ'о ограниченность выражаетсл в виде зависимости постолввой А от ве- личины ~а/Ь|: А = 0 при ~о/Ь! < 1, УА при ~а/Ь|=1, А= — нри ~а/Ь~ >1. 1 а 22.2. Рассмотрим случай )о/Ь| > 1. Из задачи 22.1 следует, что — — (--) при Й<п, 0 при й > и+ 1. Поскольку каждый член рада может быль оценен сверху членом сходлщейсе геометрической прогрессии Ин" ~ Аг' рлд сходвтсл.
Кроме того, ряд лзллетса частным решением заданного урав- нение: ор»+Ьр»+» =а ,'> С»- /ь+Ь Я С»еъ- Я = и -со ь=-юо СЮ ОО (оС»-в+ЬС»+»-и)/и = ~ 6" /~а =/» 174 ~ Ответы, лзавпя, рапенпя Для этого решевия верна оценка т.е. полученное частное решение ограниченное. Случай )о/Ь| < 1 рассматрнваетсл акэлогвчно. 22.3. Для определения С» имеем трн группы уравневнй: С С»-» — 2С»+С»»» = 0 при й < -1, 6 ~ -26о+С» =1 при й= О, С»-» — 2С»+С»е» =0 прн й>1. Общие решения первой н третьей групп имеют одинаковый внд, отлнчиощвйся только постолввымн < С, +С й рнй<-1, С»+С»ей прн й > 1. Поскольку Со входит во все три группы уравнений, нз полученных соотпошюпй имеем Со = С, = С~~ = А.
Теперь воспользуемся уравнением прн й = 0 для установления связп между С» н Сэ': (А — С» ) — 2 А + (А + Сэ+) = 1. Отсюда С, =В, С+=1+В. Следовательно, окончательное выражение для фундаментального решения имеет внд: А+Вй прн й<0, С» = А+(В+1)й прн й>0. Ограниченное решение не существует, поскольку В пе может одновременно быть равным 0 н -1. Асов — + ~В+ — (1 — 2А)~ еш — прн й > О, йа ( 2~ГЗ 1 . йт 3 ~ 3 ~ 3 22.4.
С» = Асов — + Вэш— йт . йт 3 3 при й<0. 1А2» при й>0, 2 22.3. а =~ где А= --. (А2» прн й < О, 3 22.6. Перепипиы ревностное уравнение следующим образом: р, + 2ЛЛ3» — р,, = О. Характерпстмческое уравнение имеет внд де + 2йЛд — 1 = О. 175 Ответы, указавие, репииил Его корив:,зг ы -ЬЛ+ Я+ Ь~Л~ и рз = -ЬЛ вЂ” ~/Г+ Ьзл~. 00щее рещение ревностного уравнение выест вид Уь = Сгггг + Сзггз. ь ь Константы Сг и Сз определаотсл нз системы Сг + Сз = О, Сгдг, + Ся,из~ = О, из которой получаем, что Сз = -Сг и Сг(гзг~ -рз') = О, т.е.
нетривиальное решение разиостнов задачи существует тогда и только тогда, когда рг~ = = гзз . Следовательно, — ы ехр ~г' — ), в = 1, ..., Ьà — 1. Иг /.2тв1 Фз ~ Ф!' з /.2тв1 Тзк как Йггзз = -1 то Иг = -ехр ~1 — ), откуда '1 И) П у ггг + гзз = -2ЬЛ = 1 (ехр (г' — ) + ехр ( г ~~~~) ) 2. ггв л< >=- ~ь1 1 тв Ь Ф' Нетрввиальвые решение исходной задачи имеют ввд р<"1= С, (р,'-рь) = Сг1ь ( (г-йв) -. (-г-йв)) = =Сг! 21ип — =Сг + вп —. ггйв .ь г .
тйв Ф Ьг ' 22.г. Характеристическое уравиенве разиостиой задачи имеет зид ~' — (2- Ь'Л)д+1= О. Если корин характеристического уравнения вещественны, то рззвоствае задача выест только трввиальное равенне. Действительно, пусть ог Ф ~ оз — веществеввме корни. Тогда ощцее решение имеет вид рь = Сго, + Сзо„ ь ь а длл определенна Сг и Сз вз краевых условий имеем систему ( Сг+Сз =О, С, гйв + С о, = О, Ответы, укзззвня, решения лп >э = —, и = 1, 2, ..., >>à — 1. Так как г>г +ов = 2 — Ь~Л, то сову ш 1 — ЬэЛ/2. Следовательно, <„> 2 I ~гИ 4 . э гп Л<"> = — ~1 — сов — ) = — ап — и=1 2 ... >>< — 1.
йэ (, Ф) йэ 2Ж' Отметвм, что количество различных ненулевых собственных значений равно ггà — 1. Из представленвл общего решении рвзностной задачи следует, что собственные функции имеют вид тйп уг<" > = Сэ вш —, и = 1 2, ..., >>< — 1. >>> ) э г' з Занечекис Провести аналогию с дифференциальной задачей: у<„> = С вш(ггпя), Л<„> —— (ггп), п = 1,... э у" = -Л у, у(О) = у(1) = О, 22.8.
Функция 1>зина (фундаментальное решение, удовлетворякнцее однородным краыым условиям уе = уя = О) имеет вид ~у(й — >><) пр й > у, Су где у = 1,..., >>> — 1, й = О,..., ганг. — (у — ><г) при й <,>, ри й < О, 0 при й>0. ) Сб" ),С2 ри й < О, при й >О, 22.11. 1 О прий<0, ~4(2 ~ — 4 ь) прий>0. (О прий>0, ~ С ((-3)" — 4ь) при й < О, 1 С = —.
7 177 из которой следует Сгу(г — Сгдэв = О. 'Гак как ог ~ уэ, то Сг = Сэ = О, т.е. общее решение является нулевым. Анвлюгвчно рассматривается случай разных вещественных корней. Поэтому надо рассмотреть случай Огд = соввг ш гоп лр. Тогда общее решение ревностной задачи представляется а энде уь = Сг сов Ьр+ +Сэ яшар. Из крэешвх условвй получим Сг = 0 и ип >>Ггр = О. Отсюда Ответы, указание, апенхл 22.13.
ОО т(п — 1Н2И-1) гвз 4 . з зг(п-1) уь" =Ссое 2(ьà — 1) г Л вЂ” раза 2(дг 1), гз=1+ИГ ОО . х(2п — 1)(Иà — И) 00 4 . з зг(2п — 1) уь = Сюп 2Иà — 1 ' Из 2(2Иà — 1)' , Л " = — ап —, и = 1 + Иà — 1. 22.15. („>, т(2п — 1)И ОО 4 . з т(2п — 1) 2Иà — 1 ' Из 2(2Иà — 1) ' $2з] 23.1 ь И 14 О, п(х) — 1 У» ( 1 + И-зг4 И О 23.2. Скодптсл с первым порлдком при о 6 Сог, со вторым порлдком црн и Е С(~"~, И > 2.
23.3. Нет, да. 23.4. 1)0(Из); 2)0(И); 3)0(Из). 23.6. 1)0(Л ); 2)0(Л). 23.11. с < з~ — б, б > О. 1 2 2313. а=О, Ь=-1, С=-, Им-, р=З. 6' 3' 1 1 1 2 2319. а=-, Ь=-- с=е=- 4=- р=з. 2' 2' 6' 3' 1 2320. а=о, Ь=1, с=4=-, р=з. 1 2 2321. а=о, Ь=-1, с=-, г(= —, р=з. $24~ 24.1.
Пусть у(х) — провзвольнае гладкав фупкцпл, 'Тогда условие ыгпроксвмацвн длв левой п правой частей уравненнв (1) означает снрзведлпвость соотношений в произвольном узле х„(п > О) Р Р Зш — ~~з,а-ьуь-ь = у (х„), 1зш ~~з Ь ь7(х„-ь,у(хе-ь)) — У(х„,у(х )) . Согласно формуле Тейлора юлеем у(х — ИЛ) = у(х) — Ийу'(х) + О(И ), У(х — ИИ,у(х — ИИ)) = 7(гх,у(х)) +0(И). Отлеты, авил, юш Подстановка зтвх выраие~й в условна ашроксвмации дает / л '( л йш -Ц~~ о ьр(л„) — Ц~~ 'о ьйр(в )+0(Л) =р(в ), "ее ь О / л йш ~ЯЬ ь' у(хюр(з~))+0(Л) =у(хп,р(ввв)), откуда (з сиау провзвольиости фувкцви р(х) ) н следует неойшдвмость и достаточность укаэанных в условии задачи равенств.
24.2. Дз„нет, да. Использовать условна, сформулированные в предыдущей задаче. 24.3. Первый. Моипо, еслв поломать 1л = Л. Тогда порлдок аппроксимации будет равен двум. 24.4. Все коэффициенты разны 1/2. 24.8. 1/6, 2/3, 1/6. Испольэовать метод неопределенных ыиффицвевтов построение развоствых схем, заменив у на р' и сдвинув длл свмметрви индексы.
24.6. Схема устойчвва при 8 > 1/2,8 = О. 24.Т. Без учета решение задача 24.1 получим: а = 28, Ь = 12, с = 36. Условна а-устойчиэости ве выполнено. Правильное решеапе: 2о+4=1, 2Ь+с=1, 8+а=Ь. Характеристическое уравнение при этом имеет вид (р' — Ц (р' — -о+1) =О, т.е. усювие а-устойчивости выполнено. 24.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
