Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 20

х„, = соз , где ш = 1,...,п (зсе пули лежат авутри 2п отрезка [-1 1) пх рокко и). 4.3. х, = сое —, ш = О,..., и (ва [-1, 1] имеетсл и+ 1 экстремум в Т (х ) = (-1) ). 4*4. ПУсть [[Рв(х)[[ < 2' в. Тогда з точках экстРемУма миогочлева Чебышева знак ршвости Т„(х) — Рв(х) определлетсл знаком 2'„(х) ыбп (Т (хев) — Рв(хэв)) = з13в ((-1) 2 " — Рв(хт)) = (-1) При этом укаэаивае развость лалеетсл отличным от вулл мвогочлеком степеви и — 1, во имеет и пулей, поскольку и+ 1 рзэ мекает звак в точках экстремума.

Поаучевиое протваоречие и дает искомый результат. а+Ь Ь-а 4.6. Сделаем лвиеппую запеву перемеввых х' = — + — х длх 2 2 отображекик отрезка [-1, 1) а эадапвый отрезок [а,Ь). Мпогочлев Тв(х) /2х — (Ь+ а) 1 при этом преобразуетск а мпогочлек Т„~ ( со старшим ко- Ь-а зффпцкевтом (2/(Ь вЂ” а))в. После перекорыарохки и испахал<шавка схемы, доказательства вз предыдущей задачи имеем Т1 И ) 1 2 (Ь + ) Ь вЂ” а 4.6. Использовать решение предыдущей задачи. 4.7. 2х -(а+Ь) Р„'(х) и 2~ " (сое — ) Тв [х ов — ) .

4.9. Предположив противное, т.е. допустив существование такого с, [3[ > 1, что [Рв(3)[ > М [Тв(с)[, получить противоречие, доказав, что у полввома Я„(х) = —" Тв(х) — Рв(х) как мвввмум я+ 1 вуль. Р„(с) Т„Я 4.10. Рассмотрев фувкцкю й (х) такую, что Лв = шах Ав(ь). во[а,б 133 Ответы, ввпа, решевпа Прп 2 < тл < 1+ в получаем »1-1 $ 1 + —,) <С ~4+ ~ —. ~ < С(4+(вп).

2 ~ш+4-1 — Ф й — пз+М~~ 1 < 1 ~ а ~й~+1 Оповчательпо имеем Л„= в1ах В(у) < С(4+ )вп) < К 1п я. ееЮ,0 4.11 Лз = 5/3 4.12. Воспользоватьсв третьпм свойством вз задачи 4.1 в виде — = 2Т» 1+ — ", и ~ 2. 2» 2»-з и " п-2' 4.18 1)Тм Н = (-1), Таьв1 ~2 ) = -(-1) 2)т (--)=1, т, в,( — )= — —. 4.14. 1)2»(1) з; 2)т„'(-1) = (-1)»+'пз. *16. р= 2. 4.16. р = 3.

Тз(х — 4) х з 189х 61 4.1Т. Р(х) = 4 —,— = — — + 2х — — + —. Те~~~(-4) б 24 б 4.18. Р(х) = — Тз(2х — 3) = — (32х — 144х + 210х — 99) . 5 5 з 32 32 Та (х — 2) 8хз 48хз 90х т,(-2) ), 1з 1з 1з т.(х 3, Ыз Мх 99 4.20.

Р(х) = 3 —, = — — — + Зх — — . Тз( 3) 35 35 35 Щ 6.1. Использовать левое предстввлепве погрешвостп провзводпой мвогочлепз Лагрвпма. 6.2. Использовать резломевве в рлд Тейлора. 6.8. У(в+ Ь) -2У(х)+ Дх- Ь) ~»()= Ьз Э 1" (х) ш 1(х + 2Ь) — 2 ~(х + Ь) + 2 1(х — Ь) — ~(х — 2Ь) У (х) ш 09 Дх+ 2Ь) — 4У(х+ Ь) + 8 У(х) -4У(х — Ь) + У(х — 2Ь) 135 Ответы, указание, репмния Ь' Ь' Ь' 6.4. 1) к, = — ; г) к, = — ; 3) к, = — .

12' 4' 6 6.5. Решение данной задачи выполвитыю анаюгии со следующим првмером для разности вперед. Полная погрешность для разности вперед д/(х) имеет вид /'(х + Ь) — /'(х) Ь где / (в+ И) и /'(х) — приближенные значения функции /(х) в соответ- ствующих точках. Добавим в числитель дроби х/(х+ Ь) и ж/(х) и после перегруппировки слагаемых получим ! У'(х+ И) — У(х+ Ь) У" (х) — /(х) /У(х+ Ь) — У(х) И + — / (х) В1(Ь,е) < — +— 2л Лмз Для нахождения значения Ьо, прн котором минимизнруется полная погреш.- ность, необходимо полученное выражение в правой части продифференцировать по Ь и приравнять к нулю. После решения полученного уравнения Ьо = 2 — р ЩЛо,е) = 2~/сМз. 'у м, л руо Ьо= 2~ — ) для Ва(И,л) Ьо=2~ — ) для Ло(И,е). '1М,) ~м,) 1 1 2 1 1 66,1) а= — —, Ь= — —, с= —;2) а= —, Ь=-2, сы2, Н= — —. 6.7.

Разбить интеграл на два и интегрировать по частям. 6.8. Иррр — ( ) Ьррб — ( ) Ирр1 — ( ) 3 1 1)а=-- Ь = 2 с=--. 2' ' 2' 1 л 2 1, 2)а=- л=-- 2 3 6 3 1 3)а=-, Ь=-2, с=-; 2$ ' 2 5 3 2 4)а рр — — Ь = — с= —— $ 6 2 3 Оценка неустранимой погрешности для каждого нз двух первых слагаемых имеет вид с/Ь, а погрешность метода в цредположенни ограниченности второй пронзводной ~/о(6)~ < Мр равна Ьмз/2. Окончательно подучим Ответы, указания, решения 6.1. Ою(х) = О. 6.2. Напомним, что выпуклая функция удовлетворяет неравенству Ух~+ хзч У(х1) + У(хз) 2 ) 2 . Обозначим через (С<) множество точек альтернанса, 9(х) = У(х) — ф(х), в = шГ(с;: У(с;) — Я1~($) = м) .

Отметим, что в силу непрерывности У(х) имеем 9(В) = М. Доказательство проведем от противного. Пусть, например, а 6 (С;), т.е. В ф а. 'Гогда в свау выпуклости У(х) (добавление к ней лвнейной функции Яо1(х) этого свойства ие меняет) справедлвва цепочка неравенств для достаточно малого е в ( 9(в + е) + 9(в е) и + и 2 2 ™ Полученное противоречие означает, что а е Я~). Аналогично доказывается принцьеежность множеству точек альтерианса другого конца отрезка. 6.3.

Введем обозначение Ъ = 'ОУ(х) — Я1(х)~~ и, воспользовавшись выпуклостью У(х), вьппппем соотношения кз теоремы Чебышева: У(а) — (ао+а1а) = аЬ, У(а) — (ао+ а14 = -а Ь, У(Ь) — (ое + а~ Ь) = а У . Кроме того, поскольку И вЂ” внутренняя точка альтерианса и У(х) — диф- ференцируема, отсюда получаем недостающее уравнение: (У(х) — (аз+ а~ х)) ~ = О. 7 У7 Ц~(х) ы 7х — 3 — — у —. 3~3' 2 5 6.4. Ц1(х) = -х+ —. 3 6 6.3. По определевшо многочлеиа нанлучпмго равномерного приближения, величина Ъ = 3У(х) — О (х)~! не может превосходить оценки погрешности приближения У(х) иитерполяцноввым миогочлевом по узлам, являющимся нулями многочлена Чебышева, т.е. Ь(шах~У (х)~ „„„,),.

ы+ю (Ь вЂ” а) "+1 С другой стороны, разность У(х) — О„(х) вследствие теоремы Чебьппева обращается в нуль в (и+ 1)-ой точке, которые можно рассматривать как узлы интерполяции 9„..., 9„+1 . Поэтому верно представление погрешности следующего вида: У(х) — Ю (х) = У~"+О(3) (и+1)1 ' 137 где ыв+1(х) = (х — У1) (х — У»+1) в б = 3(х) Е [О,Ь]. Пусть точка х таКОаа, ЧтО [ Ы»+1(ХЕ) [ = []»1»+1(Х)][.

'Х'ОГДВ Ь > !П*з) -а-(хе) 1 =! Х'"+']а*.)) ! ~ — -~. (и+ 1)! Поскольку Ц»1 +1(х)[] > (Ь вЂ” о)"+1/21"+1, оковчвтелыю имеем Ь> ]у!""'(*)! (' ')в" . !»,Ь] 21»+1(п+ 1)! ' Такам образом, если ]!"+1](х) соаракют звак в мевлетсл ке очеаь сальво, то резккца мемду погрешвостлмв пркблюаеавл фувкцкк у'(х) мкогочлевом кавлучшего раавомервого пркбзвиевва в ввтерполлцвоквмм мвогочлевом по кулам мвогочлешв Чебмшееа кесущестаевва.

6.6. Пусть Яв(х) — мкьв очлюз вавлучпмго раавомервого прибавкавва у(х) пв [-1, 1). Тогда [у(х) — ]»в(х)] < ь = []Дх) — ь»п(х)]] ° После зщзевьз х ва х и умиомеиил Выражеиил иод ВИВком модула ИВ 1 позу [-~(-х) -(-4).(-хв! < б ° !И*) — (-4).(-х))! < ~ Следователько, -ф,(-х) также лалаетсл ююгочлеком наилучшего рааво- мерного првблвмеввл у(х) ва [-1, 1]. По теореме едвкствеююств имеем ],]„(х) = тЦ„(-х), что в требоаавьсь показать. Аваеи ичюо рассмотрвааетсл спутав четюй у(х) .

В.Т. ]]В]пх — Язв 1(х)[] = []апх — ]»чзв(х)[] ] Тх1 зп+1 СЗ»-1 = СЗ» ~ ) '16) (2п+1)! ' 6.8. 7(х)=ибпхва[-1,1), Я1(х) ах, об[0,2]. 6.9. 1) а(*) = 3 зд 4 2) Яз(х) = (е — 1)х + — — -(е - 1)]п(е - 1)] з е 1 3) б),( ) = - '+ Т*- ~1. 6.10. 91(х) =х+-. 0 1 В' 6.11. Яз(х) = — . 6.12 1)1(х) = -(в+2). Г 6.13. ьз1(х) = — х. 4 ]]] Т|~ Т.Т. ~-1 = 2 Уе — Л ~ У»+1 = 2 Уя — ~»-1. Т.В.

у-з 10Уо-20у1+16уз-4Узз У-1=4УΠ— 611+4~а — ~з, У»+1 = 4У» — 67»»1+4У»-З вЂ” ~»-З, у»+1 = 101» — 20У»-1+13У»-з -41»-з. 138 Отлеты~ укеэаВие~ ешевие 8.1. При вычислевви ввтеграьов удобво испольэовать запеву перемеивой Ь+а Ь вЂ” а х = х(Ф) = — + — ф. 2 2 В частиости, это дает ь 1 ~~-(н -( — '-')" /ьэн, где и~(Ф) = П(1 — бь), а бь лвлшотсл образами узлов хь ва отрезке ] — 1, 1].. ом в = 1 — формула прлмоугольвиков 8ь(У) — (Ь вЂ” а)У ( — ), Вь — ]]У'(х)]] в = 2 — формула трапеций ='=2'(у(.)+ ).

'=]]уа(*)]]" „'* а = 3 — формула парабол (Симпсона) 8 (ь= — (д )~ 4у( — +) .~лы) В = г~ ~~ Я: 8.2. Поскольку сраэкевие точности можво проводить только длл функцвй вз одного класса, веоблодимо получить длл формулы прлмоугольввков несколько другую оцевку погрешности. Длл этого воспользуемсл в качестве вриблвжевие к фувкцви У(х) отрезком реда Тейьюра в точке (а + Ь)У2: а а+Ь (а+Ь) + „(а+Ь) ( а+Ь) + У У(с) ( а+Ь) Тогда длл квадратурвой формулы Уь(У), получеввой с помацью ивтегри- ровавив двух первых слагаемых, справедливо равенство при этом оценка ши решиости прввимает вид ь ']]У (х)]] У ( а+Ь)ь „'- (Ь вЂ” а)ь а Следовательио, ва классе фувкавй с вепрерыевой второй произзодвой фор.

мула прлмоугольввхоз в деа раза точвее формулы трапеций. Отмегам, что зтот прием дле получение другах оцевок погреппостей формул Ныотова — Котеса может првмшьлтьсл только при вечетвых и. В частпости, зто пршюдит к вззесгпой оцевке длл формулы Симпсона Яе ~~у»41( )~~ ( о) 8.3. Использовать четкость фуикцви "(х) = П:,.:*., з ь пм при свььметрвчиом ресположепвв уазов.

8.4. Проавтеграр<юать правую часть рааевства по часглм деа раза. 8.6. 1) Д» = 13; 2) М = 16 (длл второго случеа паеезпо зоспозьзоватьсл рывеив пред Чдупай з да ). 8.8. Воспевал<шатаев репеваем задачи 8.4. Длл второго случае дополватееыю ввести фувкцшо (хь — х)(хьеь — х) ва (хь, хь+ь), »еь(х) = »( 0 вве (хь, хь+ь). Тогда имеют место соотаашевил и ьльы ) (хь - С)(хь+д - ~)~и(~)~»~ь = ь е аь и-1 ь ь и-ь = Е Х»ьь(с)Уе(с)4с ш ХУ"(с) Е рь(с)Ж к псшзедвему из которых достаточво примшпьть иерашпстзо Капп — Бу- 8.у.

»!у» 1(х)(1о —,. 1 8.8. —. ' 600' 8 9. д» > ~~Я 10з~ + 1 ш 41, 0 = шах(2,4еш 1 — 2 сох 1) ш 2 29. 8.10. Р»> [Я 10з)+1. И 9.1. Яз(У) = — Ле)+ 4 У вЂ” + У(0) 1 9.2. сь = -сз = —. -. ) ~()=Бл~)+Б~( — „)' 11 49 10 г)Я(У)=49У(О)+19У( б)' 1 5 4 з) я(у) = 2 у(о). 9.4. Представим пропзводвую Р„(х) в виде Р„'(х) = Р„(*) — Ь Р ( ) = ~~~ Ы Р„(х) В=1 где — =х" +(а1+хь)а" +(аз+о|хе+хе)х + х — хь "° +(а„1+а„-зхь+ ° +а1хь ~+хе ~). Поааквм ао = 1.

Тогда соотвошевие дле производной воюю представить в виде (в — й)аьх" " ' = пх" '+ (па1 + В1) х + ь о +(паз+а1В1+Вз)х" з+ ° ° ° ++(па„1+а„-зВ~+ "+аеВ з+В -~). Из рааевства козффвциевтов при одиваковык степевлх х и следуют соотвавеиил длл ам...,а 1. Последвее (длл а„) пазучзетсл вз слаиевие раэевсгз Ри(хь) = ~~~, аехь '~ е=е а -1 В1 + а„зВе + " ° + а1 В„1 + В„= -а„п . 9.9.

Имеем саедующие соотвошеиил дле У(х) = х~, у = 1,2,...,и: ь 1М)=В(.) 1 ( 1)' =22,„-2В4 У+1 и " и РЦх) =х — -, Рз(х) =х — -х, Ра(х) =х — -х + —.' о 1 э 1 а 2 з 1 3' 2 9.9. Представим пропзвольвый мвогочлев Рз -1 степеви 2п — 1 в за-1 виде суммы ююгочлевоз Чебмамва Р1„~ = 2 а Т (х), длл которых Т (х) = сое(гвегссое х), и будем осущестеллть проверку утвермдевие. При в1 =О имеем Е(Та) = ( 4х=к, $,.(То) =х. 1 1 л=-ь -1 141 Ояэ6%члф авве, Я„(Т ) = — лу сов(щжссоев~) = — ~соащ — = и ч-~ (22 - 1) и и 2.~ 2и (~ Далее используем формулу суммы 'некое геометричесэай врогрессии и окоичательво дла щ = 1,..., 2и — 1 воаучвм 3„(Т ) —— 2и -О.

щвв ехр — 1 и 9.7. Рассмотреть величавы л(у) и о„(у) иа фувкцвах авда У(и) = ехр (2ещв -) э щ м 0,1, ...,и. При этом длл ввтеграие имеем Примекевве каадратурвой формулы дает ь 1 и, и фэе ехр (2еим) — 1 ПВ велес и з н-1 Яв(У) = — ~~) ехр (2еща л ) = щ и О, — — ве целое. и ехр (2вщв/и) — 1 Приаедеввое аырамеиве оэвачает, что каадрщурищ формула то, щ 2тищ 2э щи щ всех аш — и ссе —, если зв = О иеи — ие цеиюе, т.е. точка дае м Ю и всех трщчеометрвчесаих миого исков стеклив ие анапе и — 1. Иэ лаиого аыраиевил дла Я„(у) следует, что эта формула будет,такие точва дла 2ФИФ фувкций 83В 9.8.

Ливеивым иаыеромдекиым иреобраэоааивем, лкобиаи котоРого Р' востащвый в верэввьэа вулю, вровэаольвый треугольвик иереаодвтсл а При т > О длв ввтеграаса аывоавлетса свойство ортоговааыюоли 1(Т То) = О. Длл ваадратурвой формулы вроаедем вреобраэоаавил развобедреввьэй прлмоугольвый, и.