Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 17

Для дифференциальной задачи И / ди1 сЬ вЂ” — ~а(х) — ) +Ь(х) — +с(х)и =1(х), х б (О,Ц, и(0) =и(1) =О, а(х) >О, с(х) > О, на равномерной сетке построить разностную схему методом сумма торного тождества. 23.18. Для уравнения у' = 1(х, у) построить схему вида Уш Ы + а Уев + Ь Ут-1 1 1 26 ш 1+ +С +1 110 1 24. Задача Коши наиболее высокого порядка аппроксимации. 23.19. Для уравнения у' = 1(х, у) построить схему вида ау +~+Ьу„, 1 Ь =сУ 1+ИУ +еу +, наиболее высокого порядка аппроксимации.

23.20. Для уравнения у' = 1(х, у) построить схему вида ЬУш+1 + пуп| — У~~-1 2Ь 3 наиболее высокого порядка аппроксимации. 23.21. Для уравнения у' = Дх, у) построить схему вида У1в-~.1 + о ум + Ьузл — 1 у наиболее высокого порядка аппроксимации. 24. Задача Коши В случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения у'=У(х у) (1) у(хо) = уо (2) общие термины теории рззностных схем можно конкретизировать. Пусть, для простоты, рассматривается равномерная сетка хо = хо+ +Ьа, Ь ) О.

В качестве аппроксимации рассмотрим систему ревност- ных уравнений Р о Ь - Tа ьу„ь=~~ Ь ьу„о, и=1,2, о=о о=о (3) 111 с извес1нымн начзльными условиямн уо = у(хо) у1 . уо-1 где а ь, Ь ь не завислт от Ь, ао ~ О и Ув-о = У(хв-ь Ув-ь). В общем случае, зто нелинейная система, поэтому аппроксимация левой и правой частей уравнения (1) рассматривается отдельно.

При оценке порядка аппроксимации ревностной схемы следует также учитывать порядок, с которым начальные условия аппроксимируют значенвя точного решения задачи (1), (2) в соответствующих узлах сетки. Там, где рассматривается только уравнение (1) без начального условия (2), под ревностной схемой понимается система (3) и ее начальные условия во внимание не принимаются. Г л а в а УП. Решеяяе дяфферевцнааълых ураееееий Р(„) С-, а йре-й = О.

Схема называется а-устоачвеоа, если выполнено условие: все корни характеристического уравнения принадлежат единичному кругу и на границе круга нет кратных корнея. Данное условие является необходимым. Если не приводится конкретный вид правой части, то имеетсл в виду устойчивость только в этом смысле. 24.1. Показать, что необходимым и достаточным условием ыпрокснмации уравнения (1) разностными уравнениями (3) является выполнение равенств е е а «=О, — ~~~ Йа «=1, й=о й=о 24.2.

Аппроксимируйот ли разностные ~~ГЬ „ й=о схемы уравнение (1): 1 1) — (Уй — Уй-з) = Ь-й ' ЗЬ 1 1 2) — (Уй — ЗУ« з + 2У«-з) = -Ц,-й + уй-з); 1 3) — (Зуй — 4уй ъ+уй з) = уй? 2Ь 24.3. Для задачи и'+ и = х + 1, и(0) = О, с точным решением и = х рассматривается схема Уй+й — Уй-з 2Ь +у,=ЬЬ+1, у,=О, у,=О. Каков порядок аппроксимации данной схемы? Можно ли его улучшить? 24.4.

Для задачи и~ + а(х)а = у(х), и(0) = с рассматривается схема уй+« — уй Ь + (айа(яй) + аза(хе+1)) (а«уй + ~Ззуй+1 ) = 7«у(яй) + 7зу(яй+й) ~ Уо = с. 112 ,? Рассмотрим характеристическое уравнение для левой части раз'- ностной схемы (для уравнения у' = О): 1 24. Задача Коши Как выбрать ай, Дй и чй, чтобы получить атлороб порядок аппроксимации? 24.5. Для уравнения (1) построить разностную схему с наивыспшм порядком аппроксимации Уй — Уй-з 2Ь =а1Б+ Б- + -~1й-з 24.6. Исследовать устойчивость разностной схемы д +(1 — О) =5 при 06]0,1]. Ь Ь 24.7.

При каких а, Ь и с схема 1 Ь (уй + ауй-1 ауй-3 уй-я) = ЬУй-1 + суй-2 + ЬБ-3 1 Ь= —, п' Уй — Фй-1 „?,я й-1 Фй — Фй-~ — Уй-1 =О, уо = а, 4о= Ь, Ь=1, ...,и, к решению дифференциальной задачи и'+ Ьа = О, в(0) = а, о' — Ьа = О, о(0) = Ь, на отрезке х б [0,1] при 1=совой~0, используя решения обеих задач. 24.9. Для задачи у' = у, уо — — 1 рассмотрим схему уй+1 уй-1 2Ь =Уй1 Уо=1 уй =е" В разложении ошибки у(хй) -уй = сйЬ+ сзЬ~+...

найти постоянную сй для хй = 1. 24.10. Для задачи у' = у, уо = 1 рассмотрим схему 4 — 3 4 — 3 =уй. 113 имеет максимальный порядок аппроксимации? Выполнено ли условие а-устойчивости? 24.8. Исследовать сходимость решення разностной схемы Г л а в а МИ. Решение днфференннааьных уравнений В разложении ошибки у(ха) — уа = сгЬ+ огЬг+... найти постоянны4' с1 и сг для хь = 1. 24.11. Двя задачи и' + и = сов 2х, и(0) = О, построить трехто. чечную разностную схему второго порядка сходимости.

24.12. Для задачи и' + би = вш 2х, и(0) = 2, построить двухто. чечную рвзностную схему второго порядка сходимости. 24.13. Для задачи и' — и = ехр 2х, и(0) = 1, построить трехточечную разностную схему второго порядка сходимости. 24.14. Для задачи и' — 2и = ехр х, и(0) = 1, построить двухто. чечную разностную схему второго порядка сходимости. 24.15. Привести пример неустойчивой разностной схемы, аппроксимирующей уравнение у' = у(х, у) строго: 1) с первым порядком; 2) со вторым порядком; 3) с третьим порядком, 25. Линейная краевая задача Простейшая содержательная постановка краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка ийеет вид -(Ь(х) и') + р(х) и = у(х), 0 < х < 1, и(0) = и(1) =О.

Предполагается, что коэффициенты уравнения удовлетворяют усло- виям 0 < йо < й(х) < Ьы 0 < р(х) < р~ . Отметим, что на любом из концов отрезка краевое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и производной аи+Ьи~ = с. В этом случае обратить внимание на порядок его аппроксимации. Если это не оговаривается специально, то в приводимых ниже задачах сетка выбирается равномерной: х; = гЬ, г = О,..., И, ЖЬ = 1.

25.1. При каких а, Д и у раэностная схема уга1 — 2У;+у; 1 Ьз + (ау~+г+Ай+7уг-1) = Л+ — Уе(хг) ~ уо = ум = О. 12 аппраксимирует задачу —,ив+ и = У'(х), и(0) = и(1) = О, нн 25. Линейная краооаа задача с четвертым порядком? 26.2. Используя значения функции и в двух точках хо и х~, построить аппроксимацию второго порядка граничного условия о и(0) + си'(0) = с для уравнения — и" +р(х)и = У(х). 26.3. Исследовать устойчивость разностной схемы уьы — 2у;+у; ~ Ь =Ь ус=ум=О и показать, что при Ь -+ 0 число обусловяенности матрицы алгебраической системы для нахождение у; имеет порядок 0(1/Ьз) .

26.4. Получить на основе принципа максимума при У б С~21 (О, 1) оценку скорости сходимости о<«н ' 96 [о,ц шах ~и(х;) — у;~ < — шах ~У"(х)~ решения разностной задачи уььг — 2у;+у; ~ =уо уз=ум=О, к решению дифференциальной задачи — и" = ~, и(0) =и(1) =О. Энергетический метод исследования устойчивости.

Рассмотрим энергетический метод исследования устойчивости на примере дифференциальной задачи -и" +р(х)и=Дх), и(0) =и(1) =О, р(х) >О. Возьмем интеграл по отрезку [О, Ц от обеих частей уравнения, пред- варительно умножив уравнение на и: 1 1 1 (-и )иох+ рйях = УиНх. о о о После интегрирования по частям получим интегральное тождество 1 1 ) ~(и) бх+ ~ри Йх= ~уибх. о о о 115 1 25. Линейная задача 25.6. Провести исследование устойчивости энергетическим методом простейшей разностной схемы уьь1 -'2У» + у»-1 йг + Р» Уз = Л Уо = У»ч = О 25.7. Доказать тождество Лагранжа 1 х; ~~» у; — и'~ х»у» = — ~ (х»уг — х.у») .

25.8. Доказать неравенство для положительных сеточных функ- Пх» + П» < П(х+») 25.9. Доказать неравенство Гельдера для положительных функцийприО<д<1 х»у» < ~~з х; ~~з у,. ~ 25.10. Доказать неравенство Минковского для неотрицательных функций при О < д < 1 ~ хзу < ',» ~~'х»'~' 25.11. Доказать теорему Адамара для квадратных матриц А и и »1еС~(А) < Ц ~~з ~а».~г. 1=1 Ьи1 Введем обозначения: ОУО = Л(у,у) ~,~!УОс = шах ~У4, (уе)» = (~Ъ)»/1» = (у» — у — ) ()з ! Ы! = Л (уг, уг]'~', где й — постоянный шаг сетки.

117 Г л а в а 'и'П. Решевие ди4фереяяиелъшех уравнений 26.12. Пусть уе = у„= 0 и и Ь = 1. Доказать неравенство 1 Ь ! ! С < Ь е П 26.13. Пусть уе = уп = 0 и и Ь = 1. Доказать неравенство 2 1~Я 26.14. Пусть уе = 0 и и Ь = 1. Доказать неравенство Ь!!с < Льлп 25.15. Пусть уе = уп = 0 и и Ь = 1. Доказать неравенство 1й < Л1Ы!с. 25.16. Пусть уе = уп = 0 и и Ь = 1. Доказать неравенство Ь 2 21/2 26.17. Построить аппроксимацию второго порядке по двум точкам правого краевого условня и'-Зи = 1, заданного при х = 1, для уравнения ип = сое х + 1 . 26.16.

Построить аппроксимацню второго порядка по двум точкам левого краевого условия и'+ 4п = 1, заданного при х = О, для уравнения пп — х и = 1 . 25.19. Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам правого краевого условия и' = О, заданного при х = 1, для уравнения ип — Зи = ехр х . 25.20. Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия и' — а = О, заданного при х = О, для уравнения ип — 2и = вш х — 1. 25.21. Исследовать устойчивость ревностной схемы Уиз+1 — 2Упз + Упв-1 + увы = Хюл> Уо=Ум У1ч-1=Ум 1пЬ=1 ° 25.22.

Исследовать устойчивость ревностной схемы Уп~+1 — 2У~и + Уп -1 Ьл =.Ьп~ Уе = О~ Уи-1 = У1е, ФЛ = 1. 118 1 26. Гиперболические ураеиеиил 23.23. Исследовать устойчивость розностной схемы 1ь»+1 2ут + 1ь»-1 =У, Ро=Ю1, Ри=О, РЫЛ=1 25.24. Исследовать устойчивость ревностной схемы — (2+ сое(2их1»))рг» = Ут»1 Уо = 91ч = О, ФЛ = 1 рпв+1 — 2Ьв + р,а-1 2 26.

Гиперболические уравнения Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных производных гиперболического типа традиционно проводится в открытой полуплоскости Е1 = ((х, 1): оо > х > -со, 1 > О) на примере уравнения для оператора переноса ди да Ьа = — +а(х,8) — = у(х,с) дс дх с начальным условием а(х,О) = ио(х) при 1 = О.