Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 14

Показать, что при этик условиях метод Ньютона имеет квадратичную скорость сход и мости. 19.3. Пусть уравнение у(х) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] корень л кратности р, причем 7(х) — дважды дифференцируемая функция. Показать, что при этих условиях метод Ньютона сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем (р — 1)/р. 19.4. Пусть уравнение Дх) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] корень л кратности р, причем у(х) — дважды дифференцируемая функция, Построить модификацию метода Ньютона, имеющую квадратичную скорость сходимости.

1 19.5. Построить метод Ньютона для вычисления числа — так, а чтобы расчетные формулы не содержали операций деления. Опреде. лить область сходимости метода при а > О. 19.6. Пусть уравнение у(х) = 0 имеет на отрезке [а,Ь] корень г неизвестной кратности р > 1, причем 7"(х) — дважды дифференцируе)вая функция. Построить модификацию метода Ньютона с квадратичной скоростью сходимости и предложить способ численной оценки величины кратности корня. 19.7.

Пусть для решения уравнения хз -х = 0 применяется метод Ньютона. При каком начальном приближенни он сходится и к какому корню? 19.8. Доказать, что если на [а, Ь] Г'(х) не обращается в нуль, у",(х),не меняет знака и выполнены условия: у(аЩЬ) < О, шах —,, —, < Ь вЂ” а, то метод Ньютона решения уравнения у(х) = 0 сходится при любом хо Е [а, Ь]. 19.9. Определить область скодимости метода решения уравнения х = 1/а, не содержащего операций деления: х н = (1+С)х„— аСхз, где С „-Е 0 — параметр. 19.10. Рассматривается метод Ньютона вычисления ~/а при 1 < а < 4, хе полагается равным значению многочлена наилучшего 17 равномерного приближения для ~/а на [1,4]: хе = р~(а) = — + —. 24 3 Доказать справедливость оценки [хл — ~/а[ < 0.5 10 зе.

88 1 19. Метод Ньютона 19.11. Для нахождения а'~л используется итерационный процесс а аз х„.ь1 = Ах„+ — + С вЂ”. х„ хл Найти значенияпараметров А,В,С, обеспечивающие максимальный порядок сходнмости. 19.12. Построить методом Чебьппеваитерационныйпроцесс третьего порядка. 19.13. Показать, что метод вычисления а~~ю: (ш — 1)х + (т+ 1)а (п1 + 1)х'" + (зта — 1)а имеет третий порядок. 19.14. Определить порядок сходимости метода у(х„) ун(х„)(у(х„)з хо.ы = х„— —, ~'(х„) 2(у'(х„))з 19.15.

Определить порядок сходнмостн модифнцнрованного ме- Л ) тода Ньютона х ~1 = х„— —, У (хо) 19.16. Определить порядок сходимостн метода Дх„) 1(х — [~'(х )] '~(х )) ~'(х„) У'( ) 19.17. Для нахождения простого нуля л функции у(х) Е СН1 используется итерационный процесс 1 хо+1 = -(до+1+ее Ы), 2 где Доказать, что если метод сходится, то скорость — кубнчная. 19.18. Для нахождения нуля л функции у(х) используется итерационный процесс У'( ) хо+1 = д(хо), д(х) = х— 89 Г л а ь а У.

Ревенко нелинейных уроолояяй Исследовать поведение функции д(х) в окрестности точки 3. 19.19. Написать формулу метода Ньютона для систем: 3 1п(х + у) — 1.3х = 0.1, хо+уз = 1; хго + уго 1024 2) е* — ез = 1. 19.20. Указать начальное приближение и оценить число итераций в методе Ньютона, требующихся для достижения точности 10 3 для системы уравнений: с 3 2 хуз — у = 4. х1хг + хгхз х1 1 з хг + хгг + хз — 3 х2хз — 1 я(х) = Будет ли метод Ньютона сходится к в при достаточно близких на-: чальных приближениях? 19.22.

Для решения нелинейной краевой задачи у" = У(х,у) при х Е (О,Х), у(0) = а, у(Х) = Ь, рассматривается система нелинейных алгебраических уравнений с параметром Ь = Х/Ф: У"+' 29" +У' ' у( ) й 12 ?у йг уо = а, уя = Ь. Здесь уо — приближения к значениям у(ЙЬ). Выписать расчетные формулы метода Ньютона для решения приведенной системы. Ука- зать способ их реализации: 1)Дх,у) = х +уз; 2Щх,у) = угехр(х); ЗЩх,у) = в!п(у) сов(х).

19.21. Проверить, что в = (1, 1, 1)т — одно из решений системы:. уравнений у (х) = О, где Р: зсз -~ Кз имеет вид Глава 'Ч» Разностные уравнения Пусть неизвестная функция у и заданная функция у являются функциями одного целочисленного аргумента. Тогда линейное уравнение аоу(й) + ату(й+ 1) + "° + а„у(й+ и) = т(й), й = 0,1,2, ..., где ат (т = 0,1,...,п) — постоянные коэффициенты и ао ~ .О, а„1» О, называется линейным роэностаным уравнением и-ео порядка с постаоянными коэффиииентпами. Если в этом уравнении положить у(й + т) = у»+, и У(й) = у», то оно принимает вид аоу» + ату»+т + ." + ану»+» = У», й = 0,1,2, Для однозначного определения решения требуется задать и условий, например, ут=йт, »=0,1,...,п — 1.

Отметим аналогию между разностными уравнениями и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Так, например, рассматриваемому уравнению соответствует линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами аоу(х) + ату'(х) + ° ° + а„урв(х) = 1(х). 20.

Однородные разностные уравнения Если в разностном уравнении правая часть тт» равна нулю, то уравнение называется однородным. Напомним, как ищется общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Положим у(х) = ехр(Л х) . После подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение и сокращения на ехр(Л х) получим характеристическое уравнение р(Л) = ~ а,Л' = О. т=о 91 Г л а в а И. Разноствые уравнения Если Л1,...,Лг — различные корни этого уравнения кратности о1,..., ог соответственно, то общее решение можно записать в виде у(х) = сые"'*+ сшхе"'л+ "° + с1,хг' йе"'л + ,.+~ 1ей„х+с зхеЛ л+ ... +с хг -1еЛ л где с; — проювольные постоянные. Аналогично ищется решение разностного уравнения.

Положим уй = рй. После подстановки этого выражения в разностное уравнение и сокращения на рй получим характеристическое уравнение л р(а) = ~~~ аьи1 = О. 1=о Пусть а1,...,р — его различные корни, а нй,...,н, — их кратности. Тогда общее решение однородного ревностного уравнения пре~~- ставляется в виде ( уй = см ай + сш йай1 + ° ° ° + с1г, й ' й рй + + Сгй рт + сгэ ЙИГ + ' ' + С1г„й йг 1 где с; — проювольные постоянные. Таким образом, каждому корню р кратности н соответствует набор частных решевнй вида й лй й льг-1 й 20.1. Найти общее решение уравнения брй+й — суй + арй й = О.

20.2. Найти общее действительное решение уравнения уй+1 — уй+ 2рй й = О. 20.3. Верно ли, что любое решение ревностного уравнения рй+й — буй+буй-й = 0 удовлетворяет уравнению вй+й — Овй + 27рй 1 — 23уй з — 24уй з+ Збуй й = 07 В 90. Однородные костные оикя 20.4. Пусть ооь и «в — два частных решения уравнения а1уы.1 + аоув + а-1 ув 1 = О, ам а 1 ф О. Доказать, что определитель матрицы Ав = ~о~ ~о~+' либо равен нулю, либо отличен от нуля для всех й одновременно.

20.8. Показать, что если -1 < Л < 1, то любое решение разностного уравнения уа~.1 — 2Лув+ув 1 = 0 ограничено при й -~ оо. Если же Л вЂ” любое комплексное число, не принвдлежащее интервалу действительной оси -1 < Л < 1, то среди решений этого рвзностного уравнения есть неограниченные при й -+ ~ со. 20.0. Найти решение задачи ув+о + 2ув+в + Зун-в + 2ув.~д + ув = О, уо = у1 = ув = О, ув = -1 ° 20.Т. Показать, что для чисел Фибоначчи 5: Ьы =Ь+Ь-м Ус=О, Л =1, УвУв+в — Ув+1 = (-1)~~~, й = 0,1,2, 20.8.

Вычислить определитель: с 0... 0 0 а Ь с 0... 0 0 а Ь с 0 .. 0 0 0 .. 0 а Ь с 0 0... О а Ь 20.0. Используя ревностное уравнение, выписать формулу для вычисления интеграла 1 1' сов(йх) — сов(йа) 1ь(а) = — ~ сов х — сова о 93 Г л а в а Ч1. Рвзяостяме авиеяиа где а — параметр. 20.10. Для целых положительных чисел ае > а~ находится наи болыпий общий делитель последовательным делением: ае на а~, а~, на первый остаток и т.д. '1ребуется указать оценку сверху для числа делений (длину алгоритма Евклида).

20.11. Пусть задана последовательность интегралов 1и = яье *зшхйя, й>0. о Показать, что для целых неотрицательных и справедливо равенство Хь,+з — — О. 20.12. Найти общее действительное решение уравнения 20уь ~ — 8уь+ уь+~ = О. 20.18. Найти общее действительное решение уравнения 2уь ~ — 2уь+уьы = О.

20.14. Найти общее действительное решение уравнения 26уь ~+ 10уь+ ум~ — — О. 20.15. Найти общее действительное решение уравнения 13уь-1+ 4уь + уь+~ = О. 20.16. Найти решение разностной задачи уьтз+ 4уь ы+ 4уь = 0> уа = 1, у~ = 4. 20.1Т. Найти решение ревностной задачи уь+з + Зуь+1 + 2уь = О, уо = 2, у1 = 1. 20.18.

Найти решение ревностной задачи уь+з + уь = О, уо = 2, у~ = 1. 20.19. Найти ранение разностной задачи уа+~ — 4уь + уь ~ + буь з = О, уо = 6, у~ = 12, ул = 276. 94 3 21. Неоднородные рдзностные уравнения 20.20. Доказать, что любое решение раэностного уравнения рд+1 — 12уд-д + 2уд з+ 27рд з — 18уд — д = О однозначно представимо в виде суммы решений уравнений уд+з — Зрд-з+2уд з =0 и уд+1 — Орд-д = О.

21. Неоднородные разностные уравнения Пусть ро — общее решение однородного, а рд — частное решение неоднородного уравнения. Тогда общее решение линейного неоднородного уравненил с постоянными коэффициентами можно представить в виде их суммы уд = уд + уд . о Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение для правой части специального вида может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Пусть 5 = ад (Р (й) сон 13Й + Я„(й) зш )3Й), где Р (й), 9„(й) — многочлены степени пз и и соответственно.