Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 22

13.9. Поскольку модуль юобого собственного значение матрацы ве болыпе любой ее нормы, из задачи 13.6 имеем ЦАЯ = шах Л(А~А) < ЦА АЦз < ЦАЦз ЦА~Ц~ = ЦА$ ЦАЦ 13.10. Длл любой матричной нормы спраэедлвао неравенство ЦАВЦ < < ЦАЦ ЦВЦ. Рассмотрвм матрицы А=В= Отлеты аэавил, апевил длл которых вмеют место соотвошевил 3(АВ) = в,,эу(А) = гг(В) = 1.; протизоречацие указаввому выше керазевстзу. 13.11. Заметам, что требует проверки только четвертое сзовстзо мз, тричиой вормы: М(АВ) < М(А)М(В).

в а М(АВ) ы вшах ~', он бег~ < вшах ~ !агьЬдл! < <1 !ь г ь=г и < вшах ~„ц(А) ц(В) < т~(А) агг(В) = М(А)М(В) . ав ь=г 13.13. 3аветвм, что ЦхЦь = ЦУЦ, где Поэтому ЦАЦь = зар — = звр = зор ЦАхЦь ЦЯАхЦ ЦВАВ 'уЦ = х,щ ЦхЦь х,ге ЦВхЦш уае ЦУЦ- ам +аи аггй иЦВАЯ гЦ = ~~~агг+агг — аи — агг ) а агг — аи) !~ ОО 1 - агах(!а г+ агг!+)г!агг!,!агг — агг!+ — !ам+ агг — аи — агг!) . 13.13. — д~(А) < ЦАЦг < г/вН(А), — Ф(А) < ЦАЦг < д~(А), — Ж(А) < ЦАЦ„< г/я Ф(А). г/в 14.1.

Из равенства А 'г = А 'Ь вЂ” А 'Ах =х-х следует, что Цх — хЦ < ЦА 'ЦЦгЦ. Из Ь = Ах следует, что ЦЬЦ = ЦАхЦ < ЦАЦ ЦхЦ, т.е. ЦхЦ ) —. ЦЬЦ ЦАЦ' Поделвм веравевстзо (е) ва иеразеистзо (ее) . Тогда певучем — < ЦАЦ ЦА Ц вЂ” = созна(А) — '- = сопб(А) — — ь.

Цх — хЦ г ЦгЦ ЦгЦ ЦЬ вЂ” АхЦ ЦхЦ ЦЬЦ ЦЬЦ ЦЬЦ Отсюда видно, ио если матраца А плохо обуслозлева, то даме очевь малевькал везлзка ве мозссго гаравтвровать малость отвосвтельвой ошибка в х. Хухетого,момет окззатьсл так,что достаточноточное Ответь~, указали*, ешевзсз решевие будет вметь большую иеаззку. Дейстзвтельно, рассмотрим при- мер Точное решение системы Ах = Ь есть х = (1,1)т. Однако вектор х = = (2,0), который никак нельзл назвать близким к х, дает меленькую везлзку г=(10 ~>0) Возьмем теперь Ь = (1, О) . '1огда вектор х = (-1000, 1000) лв1шетсл точным резпевием системы. Вектор х = (-1001, 1000)з достаточно блвзок к х в смысле относительной цогрепности, однако х дает болыпую невлзку г = (О, -1)г, которве имеет порлдок правой части.

14.2. Так как Е = АА з, то 1 = ЦЕЦ = ЦА А 'Ц < ЦАЦ ЦА 'Ц = сопб(А) . Цф~з ш ЦЯЕЦз ш ЦЕЦз ш1 и ЦЯ~Цз = ЦЯ~ЕЦз ш ЦЕЦз =1. сопбзф) ш ЦЩ1зЦЧ Цз = ЦЯЦзЦЧ Цз = 1. 14.3. Пусть дава днагоназьиел матрица Р = еЕ, где е > 0 — малое число и Š— едивичкел матрица. Определитель без(Р) = св весьма мал, тогда как матрица Р хорошо обусловлена, поскольку б(Р)=ЦРЦЦР 'Ц =еЦЕЦе 'ЦЕ 'Ц=1. Рассмотрим теперь матрицу у которой определитель равен 1, и вычислим ее число обусловленности. Длл етого возьмем произвольный вектор Ь ~ 0 и, раппы систему Ах ш Ь при помощи обратной подстановки, построим злементы обратншз матрацы А '.

Ьв +Ь„, хв-з хв-з хв-з Ьв,+Ьв,+гЬ„, Ьв-з+ Ьв-з+ гьв-з + 2 ьву хз Ьз+Ьз+2Ьз+" +2" зЬв з+2в зЬ . 151 1 Далее, так как умноиевие матрицы на ортогональную ие мевлет ее спектральную норму, то Ответы, уквзлвил, решенвл Выпишем полученную обратную матрицу: 1 1 2 4 0 1 1 2 А '= о о о о о о о о 2а-3 2а-3 2п-~ 2п-з 1 1 о ( )в-3 ( )а-1 (-а)" з (-о)" з 1 -а а 3 0 1 -а А '= 0 0 0 ... 1 -а 0 0 О ... 0 1 Тогда (!А!! = 1+ !а!, !ь !!А !! 1+!о!+о + +!о!» ж ОО !а! — 1 ' (!о!+1)(! !" — 1) Отсюда видно, что матрица А шюхо обусловлена при !а! > 1 и хороша Обусловлена при !а! < 1. Например, при и = 20 и а = 5 будем имею совА (А) ш 10~~. Пусть компонента Ь задана с ошибкой е.

Тогда вычисленное значение У~ компоненты в~ имеет вид в~ юЬ| — аЬз+ +(-а)" ~Ь„~+(-о)" ~(Ь„+е) =в~+(-а)" 'с. Следовательно, при !а! > 1 возмущение в Ь„увеличиваетсл в компоненте х~ в !о!" з раз, а при !а! ( 1 во столько же раз умевьшаетсл. 14.6. Так как 1 2 1+с 1 0 2 1 2 1+с 1 1 — с 1 — л (А') ' = А '= 2 4с 1 1+с 2 М 2 4 4 1 1+с 1 — е 2 4 4 152 Следовательно, !!А ~!! =1+1+2+2 + ° +2" =2" Так как !!А!! = и, то сош1„(А) = п2" ~, т.е.

матрица А плохо обусло. алена, хотл <М(А) = 1. Эти два првмера показывают, что обусловленность матрицы не зищщ. сит от величавы определителл. 14.4. Как и в задаче 14.3, методом обратной подсташеки полу пщ обратную матрицу: Ответы, уазэавня, решения то соп6(А) е ~ и сов(л(А') 1. М+а М вЂ” о1 14.6. сопйз(А+ ААЕ) ы — = 1+ —, та+а т+а 14.7. Приведем пример такой матрицы: 0 10 'л Л(АтА) б ((10~(10 е,4.5 х 44.25); соп4(А') = ЦВЦ ° ЦВ 'Ц = 10'~; соп6(А) = ЦАЦ ЦА 'Ц 14.6. Воспользуемся неравенством для векторных норм: ЦхЦе < ЦхЦА < ~/йЦхЦе ю 10е и получвм — ЦАЦэ < ЦАЦ( < ~/вЦАЦэ =~ — свайно(А) < сов6((А) < певшая(А) 1 1 ~/й и ври условии, что левое выраиевие в последнем неравенстве не мевыпе 1. 14.9.

Введем обозначения для элементов матрицы АА А ( „) н найдем соп6л(А) в явном виде; ((А((. =,/ — Л(А А(, ЛА- (. =,Л=Л((А 'Л А=(= Л Л((А А(-'(= ~ Л(А А( Это дает щах Л(АтА) совке(А) = йвЛ(АтА) ' Введем вспомогателъвую матрицу В = А А с элементами 153 А=(а О 10 А =В= 0 0 0 10л 0 0 1 0 ~ 0 1/2 -1/4 2 0 ' 0 0 1/2 0 10~ 0 0 0 0 0 0 10ы 0 0 4 4 0 ВтВ = 0 16 16 0 4 0 ' 0 16 32 0 0 10е 0 0 0 0 4 2 0 Ответы, клзанвв, решелнл и выпишем ее характеристический мкогочлен бл(Л) = Л'- ЛМВ+ аШВ. Его корни равны В* Рт — 41 ~В лп = 2 Так как се В ) О, то ~В~.

~Р — 4ЙВ сопаз(А)— ~/4аеФ В ьгВ ь/амв Таким образом, с '(АтА) совал(А) -+ шах, если — -+ пььх, а С(АтА) ег~в = (а + Ь +с + а~) > аез В = (ае + сз) (Ьь + аз) - (аЬ + са)з = азаь + Ььсз — 2аЬса = Итак, ! =ж1, а +Ь +с +а -ьшах. с а В данном случае можно воспользоватьсл любой из матриц а+2 и+1 и+1 и+2 и+2 и+1 ' и+1 и+2 14.10.

Отметим сразу оценки шах ~он~ < ОАб,е < (1+ а) ипах~ан~. 1 Введем обозначение С = А 1 и заметим, что длл Н,,у справедливо ~со 1 5 ~ < 'ОС~~ . При каждом 1 имеем ( АС = Е ) асьсы = 1, 1 < ~~~ ~асьПсы~ < ~ан~(1+а) ~~С1!~е. 154 Отлеты, уклзавил, рюпеввл Отсюда получаетсл оценка снизу длл нормы матрацы А з: в следоватезько, злах)ач! соп4„А = )~АЦ~А '~~ > — — '. (1+а) шш~ак~ Обратим внимание, что правах честь неравенства может ве превышать единицу.

В этом сзучйе пазученнзл оцеюса малосодержательна. В силу невырождееиости матрацы А зсе диагональные элементы ап отличны от вулл, поэтому можно построить матрицы Х = Баб(азз~,аз»~,...,а„з), В =,7А — Е. Отметим, что ОВО < а < 1 в силу цепочки неравенств шах~Ьззхз+ "+Ь~„:х„~ < шах~~~ ~Ьз»х»~ < Охб шах~ ~Ьз») < абхб, . Отсюда следует справедливость представлевил А ~ =(Е+В) ~3= (Š— В+ — В +" ),У, так как рлд лвллетсл сзодлщшзсл.

Далее длл произвольного вектора х получим оценку ОА зхб = О(Š— В+ — В + ° ") ухО < О,Тхб + алзхб, + +а~~~,ухб +" = 1 1 1 = — 'О,Ухб„< —, бхб,». 1 — о 1 — а шш~ак~ Следаштельво, сопй (А) =ОАО ОАО ' <— — — < сош1 (А) < —— 1 шах~он! 1+а шах~он~ 1+а пйп~азз~ 1 — а пиплак~ 14.11. Рассмотрим вспомогательные матрицы А» размера (1+1)х х (й + 1) с злементами ~а;з ! < 1 следующей структуры: ам 1 азз А»= О 1 азз О О О 1 а»+з»+з 155 Ответы, азавнл, решение Длл определителе Аь из раэлоиевил по первому столбцу следует оценка ~ Асс (Аь) ~ < ~аи ~ ~ бес (А~~~,) ~ + ~ Ась (А~~ ~,) ~ < 2 ( бес (Аь-а) ( < < 4 ~ бей (Аь-х) ~ < " < 2", . посколысу ~ Йее (Аь) ( = < 2, ~ бее(Ае) ~ = ~ам ~ < 1. 1 Выше было использовано обозначевве Аь е (1 = 1,2) длл подматриц й-го О) порлдка, получаквцнхсл иэ исходной матрицы Аь вычеркиванием первого столбца и 1-й строки.

Рассмотрим теперь обратную к В матрицу В ' с элементами 1 прив= у, г) П= 0 приз'>1', ф~ при1<у. Так как Аее(В) = 1, то ЯО имеет смысл алгебраического допохиеввл зле мента г,~ а опредехвтеле матрицы В. При этом его значевне разно (с точностью до знака) определитаюо почти верхней треугольной матрацы, у которой диагональные элементы ие превышают единицу, иа нижней по. бочюй диагонали вмеетсл розно Й = у -1-1 едвввц, а остальные элементы разны, нулю.

~Этюда внеси фп ~ < ~ бес (А~-с-д) ~ < 2~ ' ~. Рассмотрвм предельный, с точки эрсана максимальных значений ЯО, случай 2»-3 2»-э 2»-4 2»-3 В '= О О '0 ... 0 1 При этом исходнаэ матрица В однозначно определеетсл как 0 1 -1 , -1 Вж 0 0 0 ...

-1 Легко прозервть, что ОВ 10 =1+1+2+ ° ° ° +2 э=2 1, 0В!! =и, Стзеэът, укаэаввл, реппчил т.е. мы построили матрицу, ва которой одновременно достпгаютсл максимально возможные эвачеввл как ЦЕЦ, так в ЦЕ 'Ц среди всех матриц ээ заданного класса. шзхсоай (Я) =п2" '.

14.12. Из неравенства длл чнсае обусвшлешюств з матрвчвых нормах Ц ° Ц, и (~ ~(э в равенства ЦАЦэ = Л (ААт) следует -~ — <соп (А)<в~-. пуп уа 4пэ 14.13. сопй~(А) ш —. ве 14.14. Харакчервстпческое уравнение длл возмущенной матрицы Унлзвпсова имеет внд: 4Ш(А — ЛЕ) = (20 — Л)(19 — Л)" (1 — Л) — 20'е е = О. Свободшей член в зтше уразвеввн равен 0 в, следовательно, наименьшее собственное значение глюке разно О. 14.10. Возьмем произвольный вектор х;е О. Так как 1 — Ц6ЕЦ > 0 и ЦхЦ = Ц(х — 6Ех) + бЕ~ф <! ~х — 6ЕхЦ + Ц6Ех(~, то Ц(Š— 6Е)хЦ = Цх — 6ЕхЦ > ЦхЦ вЂ” Ц6ЕхЦ > > ЦхЦ вЂ” ~(6Е(~ ЦхЦ = (1 — Ц6ЕЦ) ЦхЦ > О. Следователыю, если х ф О, то (Š— 6Е) х ф О, т.е.