Вибрационное горение Раушенбах Б.В., страница 7

со скоростью течения. Совершенно аналогичные рассуждения мой«но применить и к первым двум уравнениям системы (4.6) с той липть разницей, что волны и и ш г:,пространяются со скоростямп ис+ а и пс — а соответственно. Таким образом, волны и движутся только вправо, а волны ю только влево. Эти волны могут интерпретироваться как волны акустических импульсов, движущихся по потоку (со скоростью потока плюс скорость звука) и против потока (со скоростью потока минус скорость звука) '). Введенные чисто формально переменные и и и имеют, следовательно, глубокий физический смысл.

Правда, в известном смысле эти переменные менее наглядны, г) Если рассмотреть характер изменения бр и бе н случаях и ~ О; и=О нлн и=О; и ~О, т. е. прн существовании только полны и нлн только волны ш, то легко получить соотношение бр=~ пабе, широко известное в акустике длн плоской бегущей волны. 38 еаспгостганвнив возмхщвнии в движхщ. гази [гл. и (4.8) и и==, а*со ' Здесь х — показатель адиабаты, а Ь вЂ” некоторый характерный линейный размер, например длина трубы.

Связь между переменными р, о и и, в, а также г, р и о выражается простыми формулами: и=о+р, ш=о — р, (4.9) Последняя формула приведена здесь для полноты и является следствием четвертого уравнения системы (3.4). После введения безразмерных переменных системы уравнений (4.4) н (4.6) примут следующий вид: — +М— др др дт дь д8 дг — +М— дт д$ + — =О, ди дз (4.10) =Π— '„"+(М+1) — '," =О, — '„+(М вЂ” 1) — ,'" =О, (4.11) — +М =О, дг дг дт де чем Ьр и бо, и их непосредственное измерение при зкспернменте невозможно, однако они оказываются весьма удобными при решении ряда задач. Ниже будут использованы обе формы записи исходных уравнений ((4.4) и (4.6)). Введем систему безразмерныхпеременных при помощи следующих равенств: з 43 АкУстические ВОлны В дВНЖУщемси РАВИ 39 Здесь М вЂ” отношение скорости невозмущениого течения к скорости звука в нем.

Коэффициенты обеих систем зависят только от числа М. Это указывает на существенное значение названного параметра в рассматриваемой задаче. Будем искать решение системы (4.11). Повторив дословно все то, что было сказано относительно решения системы (4.6), можно утверждать, что трем уравнениям (4.11) соответствуют три произвольные волны и, ш и г, движущиеся с безразмерными скоростями (М+1), (М вЂ” 1) и М. Будем искать частное решение уравнений (4.11), предполагая, что произвольная функция Р является показательной.

Тогда и = Р'„[з — (М+ 1) т) = А ехр 1 р ( т — + з) [, 1 ш=Р„[Д вЂ” (М вЂ” 1)т] =А ехр [ р(т — $) ~, ~ (4.12) г =Г,[с — Мт[=А,ехр [ р т — — $ )~ . Для удобства последующих выкладок в правых частях равенств (4.12) несколько изменена форма записи аргументов. Числа А„, А„, А и р, стоящие в правых частях равенств, остаются пока неопределенными. Здесь следует сделать замечание относительно р. Вообще говоря, значения р могут быть различными для каждой из трех переменных, поскольку интегрируемая система (4.11) фактически распалась на три независимых уравнения.

Однако в дальнейшем рассматриваться будут только такие случаи, когда связывающие зти три переменные краевые условия потребуют одинаковых величин р во всех трех показательных функциях. Проиллюстрируем это примером. Пусть на конце трубы нет колебаний давления (это соответствует обычному краевому условию для открытого конца, если пренебрегать излучением звука из трубы). Поместив в это концевое сечение начало координат, получим краевое условие 40 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВИЖУЩ.

РАЗЕ [гл. 11 р=О прп с=О. Переходя к функциям и, ш (4.9), запишем зто условие в виде и= ш при 5=0. Теперь на основании формулы (4.12) будем иметь: А еа' = А ез'. и в Выполнение этого условия для всех т может иметь место лишь при А, = А . и одинаковых р в левой и правой частях равенства. Поясним физический смысл велнчены р. Пусть мнимая величина (3 = нй Тогда, например, для переменной и можно написатгн =Але ~~ ( — ',Ц)~= =А-(-"(- '+ ~~+'"".С вЂ” + Ю Рассмотрих1 поведение и в некотором заданном сечении $ = сопз1, пользуясь действительной частью последнего выражения. Легко видеть, что при этих условиях переменная и будет совершать гармонические колебания во времени с частотой ю, Таким образом, число (1 может иметь смысл частоты колебаний, причем эта частота будет одинакова для всех Е.

Колебания газа в трубе, происходящие во всех сечениях (при всех $) с одинаковой частотой, долнзны привести к тому, что все параметры газового течения — давление, скорость, плотность и т. п, — будут колебаться с той же частотой. Последнее обстоятельство является следствием полученного несколько выше формального вывода об одинаковости р для всех трех показательных функций (4.12), с помощью которых записано изменение различных параметров единого газового течения. Смысл Величины р был выяснен для случая, когда является чисто мнимым числом. В общем случае, когда р — величина комплексная, следует по аналогии говорить о комплексной частоте р. Более подробно рассмотрение этого случая будет дано ниже. Числа А„А„и А„являющиеся коэффициентами прн показательных функциях в выражениях (4.12), формально определяются следующим образом.

Положив т = 0 и $= 0, 1 а1 Акустические ВОлны В дВижущемся ГАзе 41 Проведем аналогичные преобразования для нахождения р и запишем окончательно частное решение системы (4.10) в следующей форме: о = [Ад~($) + АУЧ~,(е)[ еа', Р = [А„су, (Е) + Ар~, (~ь)] еа', а = Арз Я) еат, (4.13) где 1[ ° 1 2 [ 1 [.

М-1-1[~)+ +ехР( — М'1Я)1, ~з() = 2 ~-Р~'-М'1~~'- ЧЪЯ)=ехр( Л й). (4.14) получаем и = А,; ш = А„и г = А,. Следовательно, числа А, А„и А, надо определить как величины и, ш и г в начале координат в момент времени т = О. Решение системы (4.10), которая эквивалентна только что рассмотренной системе (4.11), мож1ю получить непосредственно. Однако более простым является использование решений (4.12) и формул (4.0), связывающих переменные р и о с переменными и и ш. Вводя обозначения Ар и Ар для о и р в сечении $ = 0 в момент времени т = О, получим: о= — 2 — = 2 [ А ехр( — ~+1РВ)+ + А, ехр ( —, 1Е) ~ ~В' = 2 [ (А„+ А ) ехр( — д1+1ре )-) +(А,— Ар) ехр( — Я) ~ еВ'. 42 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЭМУщЕНИИ В дВнжвщ.

ГАЗЕ ~гл. 11 Полученное решение имеет несколько более громоздкий вид, чем (4.12). Однако во многих случаях его можно предпочитать решению (4.12), поскольку оно дает непосредственные выражения для возмущений основных физических параметров потока. й 5. Пример простейшей краевой задачи а1гэ + омР+ а1зг = 0,~ люо + амР+ о1зз = 01 при $=0 (для всех т > 0), азго ( лз1Р+оззз=О '1РИ 5=1 где а1„— численные коэффициенты. Задание этих соотношений не определяет, однако, задачи полностью, к ним следует добавить еще начальные условия: о=) (э) Р=1 (э) З=1з(з) при с=О, 0 <ь~<1, 0<$<1, 0<$<1, при Т=О, при Т=О, где (1 (а " 1з — заданные функции. Среди задач описанного типа особый интерес представляют такие, в которых два нз трех краевых условий не содерн1ат г, например в предыдущем примере случай, В предыдущем параграфе были приведены общие решения уравнений акустики движущегося неизоэнтропического газа.

Однако для однозначного определения исследуемого процесса необходимо сформулировать краевые и начальные условия. Этн условия могут иметь различный вид, в зависимости от конкретного содержания задачи. В простейшем случае краевые условия могут сводиться к линейным однородным соотношениям между переменными, которые должны удовлетворяться на концах трубы. Поместим начало координат $ = 0 в левом конце трубы и, приняв длину трубы за характерный линейный размер Ь, получим для правого конца координату $ = 1.

Тогда эти условия можно записать, например, в таком виде: 5 51 ПРИМЕР ПРОСТЕЙШЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 43 р=О прп Ц= О (т>0), р=О при Я=1 (т>0). (5.1) Написанные краевые условия не содержат переменной з, поэтому будем решать краевую задачу для двух первых уравнений системы (4.$0). Зададим еще начальные условия: о=~,(3) при т=О (0~<3~<1), 1 (5.2) р=15($) при т=О (0<5<1). Задание функций ), и 15 означает, что возмущение движения газа в трубе в начальный момент времени известно. Обратимся к решению (4.13).

Из формул (4.14) видно, что при 5=0 5р, (0) =1, 5э (0) = О. Следовательно, второе равенство (4.13) дает при э=О р=А„сэ'. По первому из условий (5.1) эта величина равна нулю для всехт,чтовозможнотолькопрн А =О. На другом конце трубы при $ = 1 тоже должно выйолняться условие р=О. Из (4.13) и (4.14) следует, что это возможно когда и,5 =а55= 0. Тогда наличие двух краевых условий, содержащих только р п о, позволяет решать краевую задачу для двух первых уравнений системы (4.10) отдельно от последнего уравнения этой системы. Во многих случаях это оказывается достаточным, так как обычно наибольший интерес представляют колебания давления и скорости газового течения. Лишь в тех случаях, когда надо знать также и колебания энтропии (или других связанных с нею величин), приходится обращаться и к третьему уравнению системы (4.10). Рассмотри55 простейший пример — продольные колебания в газовом потоке, текущем вдоль трубы, открытой с обоих концов. Вели считать, что открытые концы сообщаются с неограниченным пространством, то в первом приближении в качестве краевых условий можно использовать часто применяемое в акустике условие постоянства давления на концах трубы, естественное для трубы в безграничном пространстве.

В рассматриваемой задаче это условие примет вид 44 вАспвостганеник возмхщвнии в движхщ. гаек ~гл. зз шшь для А„.ре(1) = О. Вторая формула (4.14) показывает, что, если отбросить тривиальный случай А,.= О, последнее выполняется только прн ехр [ — ~, () ~ = 1. (5.3) Пусть р является коьшлексной величиной р= у+ Йд. Тогда (5.3) можно свести к двум равенствам, связываю- щим одни лизпь вещественные величины: 2 Г 2 соз, юехр~ — „, т)=1, 2 Г 2 зш, юехр~ —, т) =О.

Поскольку показательная функция вещественной пере- мопной всегда положительна, эти дза равенства могут удовлетворяться одновременно только при т= О, ю = (1 — ЛР) йп (й = О, 1, 2, ...). (5.4) Таким образом, заданным краевым условиям удовле- творяют гармонические колебания с вполне определен- ными частотами ю (случай к = О рассматриваться не будет, так как он соответствует не представляющему интереса переходу потока па новую стационарную скорость тече- ния при том же давлении: р = О, о = А, = сопе1 при всех т и $). Здесь следует заметить, что точно такие же частоты получились бы для краевых условий о=О на обоих концах трубы.

Самая низкая допустимая частота, соответствующая й = 1, ю, = (1 — М') я называется основным тоном колебаний. Более высокие частоты ю, = (1 — ЛР) 2я; ы, = (1 — ЛР) Зя;... и т. д. часто называют обертонами. В настоящей книге будет использовано другое наименование допустимых частот колебаний. Условимся называть их собственными значе- ниями частоты, илп гармониками.