1 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 14

Установим зависимости между параметрами потока на границах волны разрежения. С этой целью воспользуемся основными уравнениями плоского изоэнтропнческого течения — уравнениями Эйлера. Имея в виду, что параметры потока вдоль характеристик не меняются, указанные уравнения используем в цилиндрических координатах.

Для плоского установившегося движения газа уравнения (1-17а) и (1-14) в координатах (г,))) принимают вид'. дс са дс, саа 1 дР. с — '+ — — ' — — = — — —; г дг + г дз г р дг ' дса са дса с,са 1 дс с г дг + г дВ + г р гдВ ' д (ргс,) д (рс ) д,'+ др' =(). (3-46) т Влиянием массовых свл пренебрегаем. 109 Рассматривая простейший случай, когда невозмущенный поток перед волной разрежения имеет равномерное поле скоростей и характеристики, образующие волну разрежения, прямолинейны, можно считать, что параметры потока сохраня1от постоянные значения вдоль любого рарадиуса в пределах волны. др дс дв о дг дг дг с ~+! в 'с ! з.

а'= а — — -с'! 2 * 2 имея в виду, что (3-46б) (3-46в) с'=с„+с,; получим: а+1 2 1+1 2 ь — 1 2 — с =- —,а — — --с 2 в 2 . 2 г кс, — — = ~ — с(1!. !+! 2 2 — — а — с а — 1, г агс з(п т — ' = т(0+ К), а где т= ~у „—,. св а. с„ Х = †" = — з(п (и!в). а т по Математически это условие можно записать так: Тогда в уравнениях (3-46) можно перейти к полным производным. После упрощений получаем: а'с, с .= — '; в дв Уравнение (3-46в) выражает в полярных координатах условие плоского безвихревого течения.

Действительно, из третьего уравнения (1-19), полагая св,=О, легко получить формулу (3-46в), Отсюда приходим к заключению, что при обтекании угловой точки А поток остается потенциальным и безвихревым, а следовательно, и энтропия потока, пересекающего волну разрежения, сохраняется неизменной. Совместное решение уравнений (3-46б) и (3-46в) позволяет установить еще одно важное свойство сверхзвукового потока. Подставим в (3-46б) производную плотности: Исключая из (3-46б) и (3-46в) — , получаем: с!а нз ' Последнее означает, что отклонение потока в волне разрежения происходит таким образом, что составляющая скорости, нормальная к радиусу-вектору, равна скорости звука в данной точке.

Этот вывод можно получить также из анализа картины распространения слабых возмущений в сверхзвуковом потоке (рис. 3-19). Отсюда следует, что принятое допущение о постоянстве параметров течения вдоль радиуса позволяет рассматривать возникновение волны разрежения конечной интенсивности как результат последовательного расширения потока в системе бесконечного множества слабых (звуковых) волн разрежения.

Установим теперь, как меняются скорость и давление вдоль линии тока, пересекающей волну разрежения. Для этой цели воспользуемся уравнением энергии; а'с, Подставим в это уравнение с = — '; тогда получим в=в дифференциальное уравнение для определения радиальной составляющей с,; Интегрируя последнее выражение, приходим к уравне- нию Постоянная интегрирования К определяется из гранич. ного условия.

Примем, что при й =О радиальная составляющая скорости с =О; это значит, что мы рассматриваем расширение невозмущенного потока, имеющего скорость, равную скорости звука Я! =1); отсюда К= О. Окончательно получаем; аф в гав' дф с а. ' Рис. 3.20. К определению угла от- клонения в волне разрежения. о=0 +л (3-52) Имея в виду, что (3-53) 1!З скорости с, с, можно выразить через потенциал скорости: Отсюда после подстановки с, или с, и интегрирования получаем: Ф=аи — гз)п(т0). (3-51) Остановимся в заключение на способе расчета угла отклонения потока 0.

Из рис. 3-20 следует, что прн известном положении граничной характеристики Ата угол отклонения определяется по формуле ! . уг(й+»-(й — »лая~[ и =агсейп — 1,г )2 2 /' и согласно (3-47) 0 = — агсз(п 1 1 — (л !гг „г — . ° / Г, /( -1)Ля-Р. »') 2 l получим: +агЫп тГ (/г+» — (е — 1) Лзя л. 1~ 2 г) 2 Применяя известные тригонометрические преобразования, из (3-53) найдем: 0 = )7 — — агсз(п [й — (й — 1) Л, [+ ° /я'+ 1 У а — 1 +агссоз й — (й+ 1) — ~- — -2 †. (3-03а) Величину 0 можно представить в зависимости от Ма нли р,,1р,.

Соответствующие значения 0 для трех различных показателей 0=1,135; 1,3 и 1,4 приведены на рис. 3-21 и в таблице функций изознтропического потока (см. при. ложение). га Рис. 3-2!. Изменение углов д и 6 в зависимости от отношения давлений. Максимальный угол отклонения йм, отвечает максимальной скорости течения Л„,„, (или р,/р, =О). В этом случае, как уже указывалось, а е В и, следовательно, или с учетом (3-49) получим: макс 2 ЛГ' а ! 1) (3-54) 3 7.

ДИАГРАММА ХАРАКТЕРИСТИК Рис. 3-22. Годограф вектора скорости при обтекании угла сверх. звуковым потоком. Пользуясь уравнением (3-53), рассмотрим изменение скорости вдоль некоторой линии тока ЕРН (рис. 3-22). Допустим, что скорость невозмущенного течения перед угловой точкой Л Л, = 1. За угловой точкой давление Ра= О. Таким образом, вдоль линии тока ЕРН происходит непРеРывное РасшиРение потока от Р, =Р до Рз = О; выражающее функцию о(Л), является уравнением годографа скорости в полярных координатах. Согласно (3-53) годограф скорости представляет собой эпициклоиду.

Остановимся более подробно ня некоторых свойствах годографа скорости, Проведем в .плоскости потока характеристику ЛР, пересекающую линию тока ЕРН в точке Р (рис. 3-22)„ и найдем в плоскости годографа соответствующую ей точку Р'. Это можно сделать, проведя из точки О линию вектора скорости Л„под углом Ь„к направлению потока ОЕ'. Направление вектора Л совпадает с направлением касательной к линии тока в точке Р.

При перемещении в бесконечно близко расположенную точку Ра скорость потока меняется на с(Лл (угол отклонения изменился на г(о). Угол между касательной к годографу в точке Р и вектором скорости можно найти по уравнению Л! оа 1э Рг= сл длл Величину „ определяем дифференцированием уравнения (3-53); получим: Л' — ! 'Л л — ! 'л' 1 — — Ла А+1 Следовательно, ,р ~ГМа„ Очевидно, что при этом скорость потока увеличивается от Л, = 1 до Л,=л„„,, В каждой точке линии тока можно определить величину и направление вектора скорости Л.

Отложим эти векторы из некоторого центра О. Тогда концы векторов опишут кривую †годогр скорости для данной линии тока. Заметим, что точки годографа скорости Е'РН' соответствуют точкам ЕРН линии тока. Отсюда следует, что — а+! отрезок ОЕ'=1, а отрезок ОЕ= —.

Уравнение (3-53), л~ — 1' 116 Угол между нормалью к годографу Р'Л' и направлением невозмущенного потока РР' равен: 1 1 12'а „= '"" !а т„)/л!г или 1 япа ыа А1„, 117 Следовательно, нормаль к годографу скорости Р'А является характеристикой в плоскости потока, так как угол этой нормали с направлением вектора скорости равен углу наклона характеристики а„ .

Отсюда следует очевидный вывод о взаимной ортогональности характеристик и касательных к годографу скорости (рис, 3-22). Линию годографа скорости Е'Р'гт'2" ,называют характеристикой т с ч е н и я в п л о с к о с т и г о д о г р а ф а (плоскость и, и). Следует подчеркнуть, что все линии тока имеют общий годограф скорости, т.

е. форма характеристики в плоскости годографа не зависит от характера течения и одинакова для всех плоских сверхзвуковых потоков газа с данными физическими свойствами. Так же как и в поле потока, в плоскости годографа можно построить две характеристики, симметричные относительно оси, которые относятся к двум различным семействам. Для рещения ряда практических задач удобно использовать сетку характеристик первого .и второго семейств. Совокупность характеристик двух семейств в плоскости годографа называется диаграммой хара кте риот иК. Диаграмма характеристик может быть построена по уравнению (3-53) или графическим способом.

Графический способ основывается нз следующих соображениях. Установим характер зависимости между вектором скорости Л и углом наклона характеристики а . Заметим, что в плоскости годографз сверхзвуковзя область заключенз в кольцевой облзсти между двумя окружностями (рнс. 3.23). Радиус внутренней окружности равен Л =!. .у/й-(-1 Внешняи окружность имеет радиус, равный у — . Как уже ука- У 2 — 1 . /2+1 зывалось, при изменении скорости от Л = 1 до Л = У вЂ” угол пав У 2 — 1 я клона характеристики меняется в пределах от а =- †, до а = О.