1 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 12

формула для расчета этой кривой может быть полу. чена из (3-33) с помощью (3-27а). Действительно, из этих соотношений имеем: Рп=1 — —" ) =1 — - — — 1 . (3-35) Рав Заменив отношение —, (табл, 2-1), получим: Р' 26 а~1+й — 1Л„- '='-( —.) ~ 1 — — Л' л+! Положив Л=1 и Л =й„находим: ные значения коэффициента давления. При этом области минимальных давлений становятся более крутыми и вытягиваются (рис. 3-4) . Из рассмотрения рис.

3-4 видно, что с ростом М увеличивается площадь, заключенная между кривыми давлений для верхней и нижней поверхностей -у;г (3-35) ттнр ХЛ Рис. 3-10. Зависимость между коэффициентами давления о н.чап и безразмерной критической скб. ростью Л 92 Таким образом, если известно распределение давлений по обводу тела при малых скоростях, когда влиянием сжимаемостн можно пренебречь (распределение пп), то, поль- -З,ау зуясь кривыми на рис.

3-8 и 3-9, легко ьтоино нанти распределение давлений н при больших дозвуковых скоростях с учетом сжимаемости. Как видно из графиков, влияние сжимаемости сказывается в том, что в области положительных значений р коэффициенты давления для сжимаемой жидкости будут выше, а в области отрицательных значений — ниже, чем для несжимаемой жидкости. Следовательно, благодаря сжимаемости увеличиваются абсолют- аг ' о цу пг дз П4 дб дл оу Рис. 3-11. Сравнение опытных и расчетных коэффициентов давления. / — по Л. Пранлтлю; у — по С. Л Хрнвтпановпч>; л — по формула Кармана — панна (3 зу), а — по Л. Н Шарстюну; а — опыт профиля. При этом, очевидно, подъемная сила с увеличением М возрастает.

Все выводы рассматриваемого метода хорошо подтверждаются опытными данными. Сопоставление опытных и расчетных значений р в точке верхней поверхности крылового профиля, расположенного в потоке под небольшим углом атаки, показано на рис. 3-11. Профиль имеет относительно большие толщину н кривизну. Для сравнения на рис. 3-11 приведены также расчет- ' Соответствуюнтие графики изменении коэффициентов давления по профилю крыла и лопатки приводятся в гл. 8 в 8. ные кривые, соответствующие формуле (3-25) Л.

Прандтля и по более точной формуле Кармана — Цзяна; 'он (3-37) Ма ~)') Ма 1 Рн оэ 2(1+ 'г' ! — Ме ) Совпадение расчета по 'формулам (3-27а)- (3-34) и по формуле ' (3-37),с опытом является вполне удовлетворительным. Значительно худшие результаты получены при исгользонании формулы (3-25). 3-4. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО Теория силового воздействия потока идеальной жидкости на обтекаемые тела основывается на известной теореме Н. Е. Жуковского. Н.

Е. Жуковский установил вихревое происхождение силы взаимодействия и нашел простую связь между этой силой и интенсивностью циркуляционного те- Рис. 3-12. К докааательсгву теоремы Н. Е. Жуковского. чения, возникающего при обтекании тела. Эта задача была решена Н. Е. Жуковским в 1905 г. Для доказательства' теоремы Жуковского воспользуемся схемой, показанной на рис. 3-12. Расположим крыловой профиль в плоском потоке между двумя непрони- ' Приведенное ниже доказательство теоремы Н Е, )Куконского предложено Г.

Ф. Бураго, 94 цаемыми плоскими контрольными поверхностями, ориентированными по потоку и удаленными друг от друга на расстояние Ь. Систему координат хОу разместим так, чтобы направление оси х совпадало с направлением вектора скорости невозмущенного потока с , На бесконечном удалении от профиля проведем сечения аЬ и сд, нормальные к направлению потока, Предполагая, что профиль обтекается безотрывно,'и применяя теорему об изменении количества движения к массе жидкости, заключенной внутри объема аЬсс(, найдем, что сила направленная против течения и называемая ло"г бовым сопротивлением профиля, определяется формулой Р„= ~ (1)г — Р,) С(У вЂ” ~ Р,С, (С, — С,) С(У.

)ь) )а) Так как скорости и давления в сечениях аЬ и сг( одинаковы, то Р =О. х Приведенный результат был получен впервые Л. Эйлером в 1745 г. и независимо от него в более общем виде Даламбером. Он может показаться парадоксальным, так как противоречит опыту. Однако следует иметь в виду, что этот результат получен в предположении отсутствия вяз'кости и отрыва потока от поверхности обтекаемого контура.

В действительности всегда в какой-то степени оба эти фактора имеют место. В практическом отношении можно сделать вывод, что следует стремиться добиваться таких форм контура, при которых обеспечивались бы безотрывное обтекание и наименьшие воздействия сил вязкости; в этом случае, по-видимому, сила сопротивления будет наименьшей. Найдем теперь величину силы Р, нормальной к веки' тору скорости с . Эту силу называют подъемной силой. Обозначив через р„давление на нижней контрольной поверхности и через р давление на верхней контрольной поверхности, получим: — Р„+ ~ (р„— р )с(х=О, ' Рассматриваемые силы относим к единице длины крыла. так как проекция скоростей у непроницаемых контрольных поверхностей на ось у равняется нулю.

Следовательно, +Ос Р„= ~ (р„— р,)г/х. (3-38) Увеличивая расстояние между стенками lг, в предельном случае (при /2 в оо) получим обтекание тела безграничным потоком. При этом поток у стенок будет слабо возмущенным, Скорости такого течения, как известно, можно представить в виде [формулы (3-28)]; с,=с +с„; (3-28б) с,=с +с,, записать для сечений на верхней и нижней контрольных поверхностях: Р,=Р— Р с с„ и р,=р — р с с,. Подставляя Р„и р в уравнение (3-38), находим: +сс Р„= р с 1 (с, — с„') г(х. — сс +сс Нетрудно видеть, что интеграл ) (с, — с„) ггх -8 можно выразить через циркуляцию скорости по замкнутому контуру (рис.

3-12). Действительно, Р Рс — = — + — (с ' — с'), р р 2/с сс которое при принятом допущении (слабо возмущенный по- ток) на основании (3-28б) преобразуется к виду; Р— = — — — с с'. р р /с Р Рс Рс, /г Отсюда, имея в виду, что — „= — 2 и — = —,, после р" р~~ Р„, а~ несложных преобразований находим; Р 1 /Мг с Р,с с с„' (3-39) или Р=Р— Р с с'. (3-39а) Уравнение (3-39) нли (3-39а) справедливо для линеаризованного течения и называется л и н е а р и 3 о в а н н ы м уран пением Бернулли.

Уравнение (3-39а) можно 96 где с„, с„— малые добавочные скорости у стенки, вызванные влиянием обтекаемого тела. Давление в произвольной точке возмущенного потока связано с давлением на бесконечности уравнением Бернулли: так как Г, = ~ (с +с,')г/х; Г„,= — ~ (с +с„)г/х; 1'„= — 1;„, то +со Следовательно, Р=р Гс. (3-40) Формула (3-40) выражает теорему Н. Е. Жуковского, являющуюся основной теоремой аэродинамики. Теорему Жуковского можно сформулировать так: при обтекании тела плоскопараллельным безграничным потоком идеальной сжимаемой жидкости на тело единичного размаха действует сила, равная произведению циркуляции скорости Г на скорость с и на плотность р невозмущенного потока. Направление этой силы нормально к направлению скорости невозмущенного потока с .

При этом, как следует из вывода, если циркуляция скорости, вычисленная при обходе по часовой стрелке, окажется положительной, то и Р„ будет положительной, Подъемную силу Р часто называют силой Жуков- ского. Для определения Р необходимо знать величину циркуляции скорости, которая вычисляется на основании постулата Жуковского †Чаплыги (9 1-2). 3-о.

ПЛОСКОЕ ДОЗВУКОВОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Рассматривая плоское или осесимметричное потенциальное движение газа по криволинейным траекториям, выберем в качестве независимых переменных расстояние вдоль линий тока (5) и вдоль эквипотенциальных линий (и) (рис. 3-13). илн д 1п (рсг) ! 1 да и д5 ' Дп' д5 где г — радиус центра тяжести сечения Ап (рис. 3-13,а). Далее, тзк как дап дт — = — Ап д5 да (т — угол наклона линии тока), представим уравнение неразрывности в такой форме: д!п(рсг)+дт О (3-41) 95 ап= . Условие отсутствия вихрей будет (рис. 3-13): — (с А5) = О. д) Рнс. 3-13 К выводу урааненнй движения и крнаолннеаном канале.

Преобразуем уравнения неразрывности (1-14) и отсутствия вихрей [третье уравнение системы (3-1)) в новых координатах. Для элементарного объема, ограниченного в плоскости чертежа отрезками линий тока А5 и А5', и эквн потенциальных линий Ап и Ап' условие неразрывности запишется в такой форме: д — (рсгйп) =О, После дифференцирования получим: а)п. 1 аа5 + — — =О. ди Д5 да Так кзк (рис. 3-13,а) дп5 дт — — = — — А5, да д5 то окончательно находим: — "' — — ",=О. (3-42) Уравнения (3-41) и (3-42) справедливы для осесимметричных течений сжимаемой жидкости, Для плоских задач эти уравнения упрощаются и приводятся к следующему виду: а)п(р), дт д5 !дп (3-41а) д!пс дт — — — =О, дп д5 Полученные уравнения позволяют наиболее простыми способами рассчитать течение газа в плоских или осесимметричных криволинейных каналах'.

С этой целью необходимо найти распределение скоростей вдоль эквипотенциальных линий в канале. ' И Г. С Саа1онлоппчем н А 11 Шерстяном. 99 Для приближенного определения длины эквипотенциальных линий в канал вписываются окружности (рис. 3-13,6), касающиеся стенок в точках А и В. Через точки касания проводится дуга окружности, нормальная к стенкам канала, которая приближенно дает длину эквипотенциальной линии. Такой способ определения линий Ф=сопз! справедлив только при малой их кривизне. Уравнения неразрывности (3-41) и (3-41а) показывают характер изменения угла наклона вектора скорости в поперечном сечении канала, а уравнение отсутствия вихрей позволяет сформулировать условие, которому должна удовлетворять эпюра скоростей на любой линии тока, в том числе и на стенках канала; ! дс дт с ди=д5 Для нахождения распределения скоростей вдоль линий Ф = сопз( воспользуемся уравнением (3-42), заменив дт Я 1 где — — кривизна линий тока.

Яз Тогда дс с ди = Я, Умножим обе части этого выражения на трехчлен Я~,+ +и+Кп* и прибавим к ним величину с — (Йв!+и+Кп'). После несложных преобразований найдем: д У Кв! + и+ Ки* д — [с(ссз! + и + Кп')] = — с [ ' >~ — 1 — 2Кп ]. Левая часть этого выражения обращается в нуль при и= 0; постоянную К можно выбрать таким образом, чтобы производная — „[с (Я~, + и + Кп')] или с 1 ! -(- и — К,и' (3-43) где — и ~~ зз ~~52 " =К ' ((. 2 = )! = ' '" = и — 1 К, = —,— 2й — и Изменение скоростей вдоль границ канала устанавливается с помощью формулы (3-43), справедливой и для сжимаемой жидкости.

Исходным служит условие постоянства расхода через канал. При малых числах М ( 0,4, когда влиянием сжимаемости можно пренебречь, объемный расход жидкости через плоский канал будет: из Я= '] сс(п, о С помощью формулы (3-43) после интегрирования получим: и с,„ с,ив с, 1 1 1 — 2К,ив!(1 — )с1+ 4К,) (3-44) ив )с!+ 4К~ 1 — 2К,ив/(1+ У 1+ 4К,) Здесь с — средняя скорость в сечении канала; с,— скорость в точке на выпуклой стенке. Для удобства расчетов на рис. 3-14 представлен график зависимости 6 = Г (п„и), выражаемой формулой (3-44). В случае осеси ми етричн ого канала объемный расход жидкости определяется по формуле Я=-2я ~ 14 сс(п.