1 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 10

Если в исследуемом поле потока известен потенциал скорости Ф (х, у), то при заданных граничных условиях могут быть определены все параметры течения. Потенциал скорости позволяет определить скорости потока (и, и) по формулам (3-2). С помощью уравнения энергии совместно с уравнением изоэнтропического процесса легко определяются давление р, плотность р и температура газа Т. Таким образом, при исследовании потенциальных движений газа основная задача сводится к определению потенциала скоростей Ф (х, у) для данного вида движения, т.

е. к нахождению решения уравнения (3-7). Если потенциальная функция Ф(х, у) определена, то кинематнческая часть задачи решена. Далее без особых затруднений решается и динамическая часть задачи. Однако уравнение (3-7) в общем виде не интегрируется. Заметим, что потенциальная функция должна удовлетворять определенным начальным и граничным условиям данной конкретной задачи. В качестве кинематических начальных условий должно быть задано распределение параметров течения в определенной †начальной †обл по- 71 днгк ду (3-11) дягн и — н дх и=и„; иЛ сои (х, п) = ис(у вЛ соз (у, и) = пг(х. Но игту — пг(х = УУ; тогда г 74 В простейшем случае движения несжимаемой жидкости в уравнениях (3-9) величину относительной плотности — — 1+ — М ) — 1+ — И + — М +...

(3-10) можно положить равной единице. Прн этом уравнения (3-9) принимают вид.' Нетрудно заметить, что в случае безвихревого потока [условия (3-1)) функция гГн удовлетворяет уравнению н д н д . = дуз . Если во всей области течения газа скорости изменяются незначительно н можно принять †' = сопз1, то переРо Р ход к уравнениям (3-11) достигается подстановкой 'е'н = — При такой подстановке скорость газа просто О равна скорости несжимаемости жидкости: Таким образом, указанные простейшие случаи перехода от дозвуковых течений газа к течениям несжимаемой жидкости являются по существу просто пренебрежением влиянием сжимаемости. Возможности такого пренебрежения, обусловленные зависимостью плотности от числа М, являются весьма ограниченными.

В самом деле, если потребовать, чтобы величина Р' отличалась от единицыне более Р чем на 2а1а, то в соответствии с (3-10) число М должно быть не больше 0,20. Физическое значение функции тока 'Г выясняется при определении расхода газа через элементарный незамкнутый контур в плоском потоке. Можно показать, что функция тока численно равна объемному расходу газа через такой элементарный контур. Отсюда следует, что функция тока сохраняет пос постоянное значение вдоль линий тока плоского течения. Действительно, проведем в плоскости потоканекоторый контур П., (рис.

3-1) н подсчитаем секундный объемный з" ов Рис. Згь К выводу условии Оезвихрсваго лвижееии. расход 1г через этот контур, В соответствии с обозначе- ниями на рис. 3-! получим': ы ы !., (г=(с Л= ((исоа(х,п)+исоа(у,п))Ю= ((иг)у — иг(х), 1 а так как Ъг = 1сР1г= 1 ~ г(у+ — г(х =ъу — %Г Л к днг днг др дх / ' Размер контура в направлении, норнальнон к плоскости чертежа, принпт равнгзн единнпе. 75 Область потока, ограниченная линиями тока Ч' =-.сопя( и й'т =сопз1, является трубкой тока.

Следовательно, раз- '3 ность значений функции тока Ч' — %т равна объемному расходу жидкости через сечение трубки тока„ограниченной линиями тока, прохоРулулыпируюншл" дящими через точки Е и Е,. Из уравнений (3-11) следует, что для несжимаемой сз м жидкости дФ„дФ„ дл ду (3-12) дФ„дЧ'„ ду дх 2-д портон Рис. 3 2. Сложение плоских по- ступательных потоков. Придавая функции Ф различные постоянные значения, мы получим семейство изопотенциальных линий. Пользуясь условиями (3-12), можно показать, что линии тока (линии 'К,=сопз1) и изопотснциальныс линии (линии Ф =сопз1) н взаимно ортогональны, т.

е. пересекаются под прямым углом (рис. 3-1). Р, Зчтвну - 1,. у Уравнение потенциала скоростей плоского потока несжимаемой жидкости (3-8) позволяет развить широко применяемый метод наложения потенциальных потоков. Из теории дифференциальных уравнений эллиптического типа известно, что если функции Ф„п Ф„, ... Фн„являются решениями такого уравнения, то и сумма Фн = Ф„, + +~11н +... +Ф е является также решением этого уравнения. Отсюда следует, что, складывая потенциалы скорости Ф и функции тока Т простейших потоков, можно получить характеристики более сложного движения. При этом потенциалы скоростей и функции тока складываются алгебраически, а векторы скоростей — геометрически.

Метод наложения потенциальных потоков при некоторых условиях может быта использован также для построения сложных течений сжимаемой жидкости. На рис. 3-2 приведен простейший случай сложения двух плоских поступательных потоков, понятный без пояснений. Другой пример сложения потенциальных потоков показан на рис. 3-3. Сложение плоского источника (стока) и циркуляционного течения дает более сложное движение, называемое вихреисточником (вихрестоком), линии тока которого имеют форму спиралей. а 3-2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ. КРИТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО М Остановимся на некоторых простых понятиях, имеющих существенное значение при рассмотрении конкретных теоретических и экспериментальных задач газовой динамики и используемых нами в дальнейшем. Поместим в газовой поток дозвуковой скорости некоторый криволинейный профиль и рассмотрим изменение параметров элементарной струйки, охватывающей такой профиль (рис.

3-4). Создаваемые профилем возмущения потока при дозвуковых скоростях будут распространяться во всех направлениях, в том числе и против течения. Под влиянием этих возмущений элементарные струйки, движущиеся к профилю, будут деформироваться. У носика профиля центральная струйка расширяется; скорость течения при этом падает и в точке разветвления А обращается в нуль.

В этой точке параметры будут равны параметрам полного торможения потока. На передней части профиля сечение струйки уменьшается, вследствие чего скорость увеличивается, а давление падает. На верхней и нижней поверхностях профиля продолжается поджатие струйки с соответствующим нарастанием скорости. В некоторой точке сечение струйки минимально. В этом месте скорость будет максимальной. Далее, на задних поверхностях профиля струйка вновь расширяется, скорость ее падает, а давление растет. Таким образом, в результате деформации струек, характер которой определяется формой обтекаемого тела, вдоль поверхности профнля давление меняется.

Распределение давлений обусловливает возникновение аэродинами- Р~,т Тоз Рис. 3-4 Распределение коэффициентов давления по профилю. ческих сил, действующих на профиль; подъемной силы, вызванной разностью давлений на Рерхней и нижней поверхностях профиля, и силы лобового сопротивления, вызванной разностью давлений на переднюю и заднюю части профиля и силами трения'. Распределение давлений вдоль обтекаемой поверхности характеризуется безразмерной величиной — к о э ф ф ициентом давления, который определяется как отношение разности давлений в данной точке на поверхности ' Если пренебречь влиянием вязкости н рассматривать дозвуко.

вое и безотрмвное обтекание профиля, как это делается в настояшея главе, то сила лобового сопротивления будет отсутствовать 7В н статического в бесконечности к скоростному напору не- возмущенного потока: — Р Роь (3-13) Р= р с 2 С оростной напор можно выразить через безразмерную к - 1 скорость М или 2, воспользовавшись формулами (2-2 ) и (2-55).

Тогда ' '~(:= ')="-'(-'- ')(' ' '"-) (3-14) В некоторых случаях распределение давлений вдоль поверхности характеризуется безразмерным давлением Р, которос представляет собой отношение давления в данно иной точке к давлению торможения невозмущенного потока: Р Р= —, Очевидно, что связь между коэффициентом давления р и относительным давлением Р выражается формулой в — 2 + 2 ( 2 ) При малых скоростях набегающего потока более удобно для подсчета коэффициента давления пользоваться форму- лой (3-13). На рис, 3-4 показано примерное распределение р вдоль поверхности профиля.

До тех пор, пока скорость с значительно меньше скорости звука, характер дефор- мации струек, а вместе с тем и картина распределения коэффициентов давления по профилю при изменении ско- рости невозмущенного потока сохраняются практически неизменными. Однако по мере увеличения М влияние сжимаемости сказывается все более онгутймо; распреде- ление р по профилю начинает меняться особенно сильно 79 там, где местные скорости в струйке (иа поверхности профиля) велики. В минимальном сечении струйки скорость наибольшая.

Найдем зависимость между безразмерной скоростью М и скоростью в некоторой точке на профиле Мг С втой целью воспользуемся формулой (3-14), заменив в ней отношение давлений через соответствующие числа М: получим ь — ! '+2 2, — 1 13-1б) 2 При некотором значении М = М, в минимальном сечении трубки тока устанавливается критическая скорость М, = 1.

Соответствующая величина коэффициента давления будет: Величина М. называется критическим числом М набегающего потока; оно определяет то значение безразмерной скорости набегающего потока, ппи котором максимальная местная скорость на контуре тела становится равной местной скорости звука. Из определения критического числа М, следует, что эта величина разграничивает дозвуковые режимы обтекания тела на две группы.