1 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 11

Первая группа докритических режимов (М ( М.) характеризуется тем, что во всех точках поля потока местные скорости дозвуковые 1М,.( 1). Ко второй группе (М ) М,) относятся режимы обтекания с местными сверхзвуковыми скоростями. При исследовании плоских движений сжимаемой жидкости, относящихся как к первой, так н в особенности ко второй группе режимов, необходимо учитывать влияние сжимаемости. Эта задача решена в работах ряда советских ученых.

Еще в 1902 г. С. А. Чаплыгин в своей работе,О газовых струях опубликовал метод учета сжимаемости для плоского потока. Эта работа приобрела особенно большое значение в настоящее время н явилась отправной для большинства современных исследований го определению влияния сжимаемости прн обтекании тел потоком газа. Советские ученые С. А. Христианович, Л. И. Седов и др., плодотворно развивая идеи С. А. Чаплыгина, разработали надежные методы учета влияния сжнмаемости. Эти методы находят широкое распространение и при решении задач, связанных с течением газа в проточной части турбомашии. Наряду с относительно сложными методами учета влияния сжимаемости рядом авторов предложены приближенные методы, позволяющие ценой тех или иных допущений упростить задачу и путем сравнительно простых вычислений оценить влияние сжимаемости на обтекание тела.

К числу таких методов относятся методы Л. Прандтля, С. Г. Нужина, Г. Ф. Бураго, А. Н. Шерстюка и др. З-З. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ СЖИМАЕМОСТИ НО МЕТОДУ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ Рассматриваемый ниже простейший метод оценки влияния сжимаемости в плоском дозвуковом течении применим в тех случаях, когда возмущение потока можно считать слабым. Выберем систему координатных осей так, чтобы ось х была направлена по скорости невозмущенного потока, а ось у — нормально к скорости. Обозначив через с' и соответственно и' и Ф добавочные скорости, вызванные,тем или иным возмущением потока (так, например, влиянием обтекаемого тела), представим скорость в некоторой точке возмущенного течения в таком виде: с=с +с', или и=и +и'1 о=о'. При атом мы считаем, что о = О, так как поток иа бесконечности параллелен оси х 1с = и ).

Полагая далее, 81 6 и и. леач 80 ди ди'. ди ди' аи ди дх дх ' ду ду ' дх ' ду 2 1 "Ф вЂ” 1 "," +Ь+Ь; а. -"-- = Ь вЂ” "- у х (3-18) у =йу. (3-21) (3-22) а Ф. аФ„ дх~ ду„ (3-8а) 82 83 что й и гг' являются малыми величинами порядка Ь, приходим к заключению, что производные имеют тот же порядок д. Оценив члены, входящие в урав- нение (3-6), найдем: где Х и Х вЂ” малые величины, имеющие порядок й нли Ь'. Оценка членов, входящих в уравнение (З-б), позволяет упростить это уравнение, если пренебречь членами, порядок малости которых выше д. После указанных упрощений получим: илн для потенциального течения (1 — М ) — + — =О. д'Ф д'Ф дхх ду' Таким образом, излагаемый метод, предложенный Л.

Прандтлем, основывается на предположении, что отклонение скорости возмущенного течения от скорости не- возмущенного потока с =и настолько мало, что степенями указанного отклонения выше первой можно пренебречь. Уравнение для потенциала скорости (3-19) в отличие от (3-7) является линейным дифференциальным уравнением, поэтому метод малых возмущений вызывается также методом линеаризации, Рассматриваемый метод может дать удовлетворительные результаты при расчете обтекания тонких слабо изогнутых профилей, расположенных под небольшими углами к направлению скорости невозмущенного течения, а также при исследовании потока в каналах с малой кривизной ограничивающих стенок.

Отметим, что вблизи точек разветвления потока (критические точки на поверхности обтекаемого тела) основное допущение метода не оправдывается, так как в этих областях поток тормозится и величина изменения скорости соизмерима со скоростью на бесконечйостн. Уравнение (3-19) прн дозвуковых скоростях можно привести к уравнению (3-8), определяющему потенциал скорости потока несжимаемой жидкости, Действительно, сравним рассматриваемый дозвуковой поток газа с потоком несжимаемой жидкости, полагая, что скорость и плотность обоих потоков на бесконечности будут одинаковыми.

Допустим, что потенциалы скоростей сравниваемых потоков связаны соотношением Ф=иФ . (3-20) Обозначим координаты точек потока несжимаемой жидкости х„и у„. Предположим далее, что между координатами х, у и хи, у, существует зависимость следующего вида: Для упрощения монно принять х=х„; тогда Подставим теперь соотношения (3-20) и (3-21) в уравнение (3-19): (1 — М') — ".

+ Ь," . =О. Отсюда следует, что если принять то уравнение (3-19) преобразуется к виду: Уравнение (3-8а) в новых переменных совпадает с уравнением (3-8). Используя полученные соотношения, нетрудно найти связь между параметрами двух сравниваемых потоков. Рассмотрим обтекание одного и того же тела потоком несжимаемой жидкости и потоком газа. Обозиачнч через а и а, углы наклона малых отрезков лччий тока (рис. 3-5).

Имея в виду, что в соответствии с основным допущением метода эти углы малы, найдем: ну ~ун (яаааа= —; (иа =а дх ' н н с(х (3-23) или согласно (3-23) ду с(ун е(х йх ' В идеальной жидкости одна из линий тока совпадает с контуром тела. На граничной линии тока должно выполняться условие шение конечных разностей давлений равно отношению градиентов с(Р Лх йР КРн йРн На основании уравнения импульсов (2-1) градиенты давления в сжимаемой и несжимаелюй жидкости будут: о'с .

дх рн "сх дх сх тогда йР рс г(с йРн Рнсн Кон или с учетом формулы (3-14) дс с +с' Ы(со,+с') Рн сн дон с +с'„д(с +с',,) С и Учитывая, что скорости на бесконечности одинаковы, находим, что указанное условие соблюдается, если и =пн УФ дФ, или — = — '; на основании соотношений (3-20) и (3-22) ду ду устанавливаем, что в рассматриваемом случае ой= 1, или ! ! Отношение продольных составляющих скорости в двух сравниваемых потоках равно: и дФ дх дх дФ„~I ! й(а (3-24) Для сравнения распределения давлений достаточно сопоставить градиенты давления в обоих потоках, так как ранее принято было, что х =хн и, следовательно, отно- рис 3-5 Линии тока при обтекании профиля потоком газа (пунктир) и несжимаемой жипкостькь где с', с„— как и ранее, добавочные скорости (малые величины), вызванные возмущением, вносимым об~екаемым телом.

После соответствующих преобразований окончательно получаем: (3-25) — = о= Р )/! — Ма Из формул (3-24) и (3-25) следует, что при обтекании одного и того же тела газом скорость и разность давлений больше, чем в случае обтекания несжимаемой жидкостью. Это различие между течениями газа и несжимаемой жидкости можно объяснить зависимостью плотности газа от скорости ($2-4). На рис. 3-5 показаны линии тока при обтекании тела сжимаемой и несжимаемой жидкостью при одинаковых параметрах и скорости с невозмущенного потока. Другое упрощение исходных уравнений, основанное также на предположении о слабом возмущении потока, дано А.

Н. Шерстюком, развившим упрощенный, но более точный метод учета влияния сжимаемости. Д„чя оценки влияния сжимаемости в слабо возмущенном плоском потоке с докритическими скоростями 85 Ое — 1 ' (3-34) т 2 с„ си ' ~~+ Р 2 тти+ Р 2 зб 89 Зависимость 0=1(й ) представлена на рис. 3-6. Из этого графика следует, что коэффициент б можно приближенно считать постоянным при числах й (0,7 —: 0,8. Резкое возрастание 9 при больших Х обусловливает непригодность рассматриваемого метода в этой области. дбр и ат агагде аз ля ау арал йи Рис. 3-6. Зависимость показателя степени 6 от безразмерной скорости Х Связь между скоростями в сжимаемой и несжимаемой жидкостях по формуле (3-27а) для различных скоростей набегающего потока показана на рис.

3-7. С увеличением Х скорость в потоке сжимаемой жидкости в данной точке обтекаемого тела интенсивно возрастает по сравнению со скоростью в несжимаемой жидкости. Установим теперь связь между коэффициентами давления в несжимаемой и сжимаемой жидкостях. Из уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости находим коэффициент давления в следующем виде: з з р = — ", '~=1 — (' — ') .=1 — ( — ") . р.зз~ Для сжимаемой жидкости коэффициент давления определяется по формуле (3-1б).

Выражая р через безразмерные скорости Х и Х, находим (табл. 2-1): Пользуясь формулами (3-27а), (3-33) и (3-34), можно получить связь между коэффициентами давления в сжимаемой и несжимаемой жидкостях р и р„. Эта связь представлена на рис, 3-8 и 3-9. Здесь показана зависимость о,г аз п,б аб пб п,у пв ° Рнс. 3-7, Зависимость между безразмернмми скоростями в сжимаемой и несжимаемой жидкостик по уь Н Шерстюку.

г,х д 91 между р и р„для различных значений Л . Кривые на рис. 3-8 пригодны для пересчета положительных значений р„. В этом случае давление в рассматриваемых точках на поверхности тела выше давления набегающего потока. Лг дг аг дд аг йг дг ((г аг йр Рпс. ЗЗ. Зависимость между положительными козффнднен. тами давленнв в сжимаемой (Р) н несжнмаемой (Ра) жидко. стах прн различных Л Для пересчета отрицательных значений р„служит график па рис. 3-9. Пунктирная линия, ограничивающая диаграмму р =)(р„) сверху, соответствует значениям р„ при которых Л = 1. Другими словами, эта линия определяет критические значения безразмерной скорости набегающего потока М = М, в зависимости от р или от ра и тем са- мым ограничивает ту область величин М ( М,=) (р„), для которой может быть произведен учет влияния сжимаемости рассматриваемым методом.

На рис. 3-10 приведена кривая по данным развитой теории, устанавливающая зависимость между ми минимальным коэффициентом давления в точке обвода тела при обтекании его несжимаемой жидкостью р и кри к итическим ~ислом Л„набегающего потока, Кривая на рис. ис. 3-10 аг Лг ЛЮ г,р Рнс З.9 Завнснмость междУ отйндательнымн коайфнпнентами давленнк еннк длн сжвмаемой р н несжимаемой рп жадно. отей прн различных А в координатах (гу„„„„, и ) воспроизводит граничную линию 2=-1 на рис. 3-10.