Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова, страница 12

В стационарных теплообменных установках толщина ребер обычно делается больше оптимальной, так как вес в этом случае не играет существенной роли. Оребренные трубы экономайзеров паровых котлов имеют ребра от 1,25 до 4 мм толщиной и от 13 до 25 мм высотой с расстоянием между ними от !3 до 20 мм. Трубы системы водяного отопления имеют обычно ребра толщиной 1,0 — 2,5 мм и высотой 25— 40 мм прн шаге 1Π— 25 мм. Эффективность ребра. Уравнение (3-37) является математически~м определением понятия «эффективность ребра». Поскольку система передачи теплового потока может быть произвольной, требуется обсудить два определения эффективности ребра; 1) эффективность'относительно основания площади ребра в случае его отсутствия; 2) эффективность относительно такого же ребра с бесконечной теплопроводностью.

Ясно, что уравнение (3-37) относится к первому типу. В качестве иллюстрации ниже приводится выражение для обоих видов эффективности простого прямоугольного ребра. Бесконечна длинное ребро У«СЛА Ь, / ЛС, (3-38) ат' «СЛА б, 1 (3-39) «С!й, лг1 Ограниченное ребро (3-40) Гг«СЛАО, ть т( тп т1 ас,(8, = т! В уравнениях (3-38) — (3-41) т( — эффективность относительно площади основания и Ф вЂ” эффективность относительно такого же ребра бесконечной теплопроводности.

Прямое ребро треугольного профиля. При определении оптимального ребра 'возникает вопрос, нельзя ли сэконо- 73 А(х)=Ы,—, и для случая, когда Е >) 6, периметр С= 2ь'. Подставив эти величины в уравнение (3-42), имеем: иэ !па в — + — — — 1 — =О, пх' х дх х (3-43) где Π— избыточная температура ребра относительно темпера- туры окружающего воздуха и 2а1 ЛЬ Уравнение (3-43) не что иное, как модифицированное уравнение Бесселя1Л.

7], решение которого имеет вид; 9 = А/, (2 )/ ~х) + ВК, (2 рг Щ (3-44) мить на весе, ~применяя ребра не прямоугольного поперечного сечения, какие рассматривались до этого, а ребра с какими-либо другими формами сечения. Далее будут рассматриваться прямые ребра греугольного сечения. Такое реб.г' ро изображено на рис.

3-10. Математический анализ в этом случае такой же, как и в случае ребра прямоугольного сечения, ! л гг за исключением примера,,в коч тором площадь, перпендикулярная к тепловому потоку, ~рассматривается как функция расстояния по ребру, уменьшающаяся с увеличением длины ребра. Таким образом, дифференциальное уравнение, записан,ное для постоянной теплопровод~ностн и коэффициента теплообмена, принимает аид: — [А (х) — ~ ="— 9,. (3-42) Площадь А(х) можно выразить непосредственно в членах, выражающих отношение высоты ребра к длине х,11: Функции 1, (а) и К, (а) графически изображены на рис.

3-11, а их численные значения приведены в табл. 3-2. Очевидно, что К,(21/ рх) имеет бесконечно большие величины у конца ребра (х = 0), н поскольку температура физически не бесконечно большая в этой точке, то коэффициент В для этого члена должен быть равен нулю. га г,5 г,о ва ц5 а р а ~ г г е 5 5 Рис. 3-11.

Модифицированная функция Бесселя. Остающееся граничное условие относится к температуре у основания ребра 9=9, для х=(. Подставив эти граничные условия в уравнение (3-44), можно определить оставшуюся постоянную: 75 /7родолжеяие табл. М е )е (а) ), (е) 2 К, (е) 399, 9 483,0 583,7 705,4 852,7 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8 0,049 0,047 0,046 0,044 0,044 325 543 104 941 000 0,049 0,047 0,046 0,045 0,044 89! 99! 458 220 221 427,6 515,6 621,9 750,5 905,8 1 030,9 1 246,7 1 507,9 1 824 2 207 9,0 9,2 9 $ 9,6 9,8 10,0 1 093,6 1 320,7 1 595 3 1 927 2 329 0,043 0,042 0,042 0,0417 0,0413 0,0411 239 624 126 226 962 319 0,043 0,042 0,042 0,041 0,0414 0,0411 415 763 236 810 658 872 Таким образом, окончательное уравнение распределения температуры будет следующим: 6 7е (2 4)'~х) 7,(2У)1) ' (3-45) Интенсивность теплового потока можно определить по закону Фурье и первой производной уравнения (3-45), имея в виду, что Н,(а)/а)а=7, (а): Я, = Т.'к' 2аАЬ (3-46) 7~(2 г' 41 ) ! — =1 309~ —.

7 2л 5)2 (3-47) Избыточная температура на вершине ребра 6, = 0,2778,. (3-48) Отношение толщины ребра треугольного сечения к толщине ребра прямоугольного сечения при одинаковом тепловом потоке равно 1,31; отношение площадей поперечных сечений равно 1: 1,44. Следовательно, 4)ри использовании ребер треугольного сечения можно сэкономить 44о/о материала.

77 Если тепловой поток входит в ребро треугольного сечения при оптимальных условиях, то наилучшее отношение 7/Ь может быть выражено следующим образом: Ребро с минимальным весом (Л. 9, 1О]. Теперь интересно определить, какова оптимальная форма, сечения ребра, имеющего наименьший,вес при заданной величине теплового потока. Очевидно, что каждая часть такого ребра должна использоваться с одинаковым к. п. д., т. е.

удельный тепловой поток должен оставаться постоянным по всему сечению ребра. Доказательство этого ~положения было дано Е. Шмидтом. Линии теплового потока в таком ребре должны и~меть форму, показанную на рис. 3-12. Они представляют собой ряд равноудаленных друг от друга прямых, параллельных оси ребра. При постоянном тепловом потоке температура изменяется вдоль линии теплового потока по линейному закону от температуры 1, у основания ребра. Необходимо добиваться того, чтобы температура на вершине ребра как можно меньше отличалась от температуры 1, окружающего газа.

Изменение температуры внутри ребра показано в верхней части рис. 3-12. На расстоянии х от вершины ребра температура равна й Вследствие одномерности температурного поля разность между температурой 1 и температурой газа 77 можно выразить следующим образом: г — г = — (1 — 1).

Пусть тепловой поток вдоль оси ребра равен д. Рассмотрим элемент поверхности ребра на расстоянии х. Пусть этот участок поверхности составляет с осью ребра угол р. Тогда тепловой поток через участок будет равен д 81п у, а так как тепло, снимаемое с этого участка, передается окружающему газу, то справедливо уравнение д я п <р = а (1 — 7 ) = а — (1, — 1 ). Это уравнение определяет угол у как функция расстояния х, а именно: аэ1 яп р= — ' х. ч1 Числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения имеют постоянную величину.

Таким образом, контур ребра, найденный указанным методом, представляет собой дугу окружности, так как окружность определяется уравнением яп~р=х/г, которое точно соответствует приведенному выше уравнению, причем в данном случае радиус окружности равняется д1/абь 78 Это уравнение показывает, что ребра выгоднее делать настолько маленькими, насколько это возможно. Ведь для удвоения снимаемого тепла поверхность одного ребра необходимо увеличить в 8 раз, тогда как достаточно применить два ребра исходных размеров. Уравнение (3-49) позволяет выяснить сравнительные достоинства различных материалов для ребер. Площадь поперечного сечения А! обратно пропорциональна величине коэффициента теплопроводности Х. Поэтому вес пропорционален р/гь.

В табл. 3-3 ~прр!ведены значения отношения, плотности р к величине коэффициента теплопроводности Х для различных материалов. Следует отметить, что при использовании алюминия вместо меди достигается 50сгс экономии в весе. Чугунные ребра весят в 10, а ребра из леги- Таблица 3-3 рд, к кг.ггвад Теплопровод- ность Х, «как~а н град Платность р, г!смг ргл !рд>л! Мвтернгл ккалрмг 327 193 134 149 48 12 8,965 2,722 2,658 1,761 7,845 7,845 Медь . Алюминий чистый Алюминий сплав .

Магний чистый Сталь Сталь нержавеющая . 27,4 1,96 14,0 1,00 20,0 1,42 !4,0 1,01 164,5 11„80 658,0 47,10 79 Тот факт, что контур сечения ребра минимального веса образуется дугами окружности, был впервые обнаружен Ф. Вейнигом. Необязательно ребро должно иметь бесконечно малую по тонкости вершину, как показано на рис. 3-12. Для построения контура сечения ребра с постоянным тепловым ~потоком можно использовать любую часть окружности, как показано, пунктирной линией на рис.

3-12. Разница в весе ребра с такими вогнутыми поверхностями и ребра треугольного сечения очень мала. Так как в производстве легче получить ребра треугольного сечения, то такое ребро практически можно считать наилучшим. Устройство ребра. Площадь поперечного сечения А,, ко. торая необходима для определенного теплового потока в ребре прямоугольного сечения, находится из уравнения (3-32) подстановкой (3-34). Решение уравнения остносительно А! дает: рованной стали в 50 раз больше.

Таким образом, нет смысла для оребрення цилиндров авиационных двигателей воздушного охлаждения применять медь вместо алюминия, тогда как замена железа алюминием представляет большие преимущества. Цилиндрические ребра. Весьма часто в технике встречают- Рис. 3-!3. Поверхность с цилиндрическим оребрением. Рис. 3 ! 2. Сечение ребра минимального веса. ся так называемые цилиндрические ребра, которые устанавливаются на трубах. Такая система ребер изображена на рис.

3-13. Задача может быть решена аналогично тому, как она решалась в случае прямоугольных ребер, только здесь следует учитывать зависимость площади от радиуса. Площадь, перпендикулярная к вектору теплового ~потока, может быть записана в виде: А =. 2лгб, а периферию можно выразить как С=4иг. (3-50) 80 Эти величины, введенные в уравнение (3-42), где х заменен на г, в пределе дают дифференциальное уравнение Соответствующие граничные условия для уравнения (3-50) могут быть следующие: г=(„9=9,; г=(, „— =О. ИЬ г(г д7 д.4 е,гт Рис.