Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова, страница 10

Однако в рассматриваемой здесь системе граничные поверхности остаютсяизотермическими: т. е. ось координат у находится в направлении перпендикуляра и и х лежит в изотермической плоскости Отсюда дг1дх = О, и выражение (а) принимает вид: 1'Ллвй ТРЕТЬЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНО~М РЕЖИМЕ Зск РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА Для тел простой формы, таких как стена, полая труба, полый шар,в случае стационарного одномерного распространения тепла, уравнение твплопроводности значительно упрощается. Плоская стена (плита).

В,плоской стене с постоянной твплопроводностью толщи~ной 1 и с бесконечной протяженностью в другом измерении (рис. 3-1) тепловой поток в рассматриваемой области действительно одномерный, Поэтому такое тело удобно рассматривать в прямоугольной системе координат. Если в стене отсутствуют источники тепла и поток тепла стационарный и одномерный, то уравнение (2.13) .примет вид: а О (3-1) решение которого будет: г'=С,х+С,. Постоянные С, и С, можно вычислить из граничных условий определяющих температуру поверхностей х=0 и х = Е Используя эти условия, получаем выражение для распределения температур в стене: ~ — Ь х Ь вЂ” 1, Г (3-2) Поток тепла через стену можно получить из закона теплопроводности Фурье: Итак, снова уместно отметить совпадение по форме уравнения (3-3) с обычным законом Ома.

Член 1/ХА является эквивалентом электрического сопротивления и соотвепственно называегся тепловым или те р м и ч вским сопротивлением. 58 Труба. Трубу (рис. 3-2) или полый цилиндр удобно рассматривать в цилиндрической системе координат. Рассматриваемый случай — стационарный режим, постоянные свойства и отсутствие источников тепла. При этих и других ограничениях поток телла имеет только радиальное направление 1это обусловливается значительной длиной трубы по оси), уравнение (2-14) упрощается до обыкновенного дифференциального уравнения 13-4) решение которого имеет вид: у=С, 1п и+С,. Граничные условия состоят в задании температур г, и г, на радиусах г,. и и, и позволяют вычислить постоянные С, и С„ дающие в пределе выражение для радиального распределения температуры в трубе 1а, 1п (т)гз) (3-5) т; — 1а 1п(г;/га) Тепловой поток поперек сечения стен трубы определяется законом Фурье; однако площадь, нормальная к вектору тепло- ба Рис.

3-1 Теплопроводность в плите при . стационарном режиме. Рис. 3-2. Теплопроводиость через толстостенную трубу при стационарном режиме. вого потока, изменяется вместе с а и жмжь Та1п1ь! браво Я = — ХА (г) „— = — Х(2иг1.)— Н дг а!г (3-б) где Ь вЂ дли трубы по оси. 1Продифференцировав уравнение (3=5) и подставив этот результат в уравнение (3-6), получаем: 'а — 'а (112ихг)!и(г гг), (3-7) Уравнение (3-7) аналогично урав.

нению (З-З) для плиты. Отличается оно только выражением для теплового сопротивления 1 г, ! 2иХ 7.!и — +2иХ т, !и г +2лЛ а, !и иа га (3-8) Промежуточные температуры, так же как и можно легко определить. к же как и для плиты, Шар.

Распределение температур и величину теплового потока через стенки полого ша а можн -', ) и закона Фурье, применяя дцрдогичные Многослойная труба (рис. 3-3). Как и в случае многослойной стенки, можно рассматривать и многослойную трубу. С точки зрения физики зто может быть труба с различными видами изо- П варием режиме.

ла может быть определен так же, нз яа как и в случае плиты, состоящей з ряда последовательно соединенных тивленнй. н ых тепловых сопро- Теплоотдача от трубы с изоляцией к окружающему потоку жидкости определяется выражением 2иг'.(!г — 1,) (3-11) (1!и) 1и(г,!гг) + Яи,г,) ' ! 1 — — — =О )!г 2 иегО (3-12) откуда Оирит и Очевидно, что этот результат не зависит от гь Коэффициент теплообмена считается постоянным при этом расчете. Такое допущение закономерно для ~многих практических случаев, где изменение гр незначительно.

Физически результат уравнения (3-12) можно объяснить следующим образом. Член (1)Л) 1и (гр/г!) выражает тепловое сопротивление,изоляции; член 1)арги — тепловое сопротивление пленки жидкости. Первый увеличивается с увеличением го, в то время как последующий умень- шаетсЯ с Увеличением гр. ПРи кРитическом РадиУсе гоирит скорость увеличения сопротивления изоляции равна скорости уменьшения сопротивления в ~пленке, давая таким образом минимальную величину суммы сопротивлений, как и показано уравнением (3-12). Таким образом, для труб с внешними радиусами (в данном случае г;), меньшими критического гририт как подсчитано здесь, может иметь место увеличение теплоотдачи, если довести изоляцию до величины критической толщины.

Обычно это требует пебольших радиусов, сравнительно больших теплопроводностей изоляции и малых коэффициентов теплообмена. Практическим применением является задача изоляции электрических проводов, целью которой является обеспечение электрической изоляции и одновременно максимального охлаждения проводй„ -' чй При минимальной величине знаменателя отдача тепла будет максимальной. Минимальную величину знаменателя можно вычислить, принимая производную знаменателя по г, равной нулю. При этом г! считается постоянным параметром, тогда 34.

ТОНКИЙ бтйРЖЙНЬ Другим простым, но важным примером является решение уравнения (2-13) для случая тонкого стержня, основание которого помещено на нагретой стене, а топлоотдача происходит с его поверхности в окружающую среду. Эта система аоказана на рис. 3-4. Температура в месте соединения стержня со стеной (б,площадь поперечного сечения стержня А; периметр сечения С, длина Предполагается, что коэффициент теплообмена постоянен по всей поверхности. Площадь А и пери- — с Л метр С вЂ” постоянны по всей длине стержня.

Если диаметр х стержня невелик по сравнению с его длиной и если конвектнвная пленка по существу контролирует Рас. 3-4. Передача тепла тепловой поток, то в стержне,не через стержень пра стадиабудет радиального распределения температур, но будет температурное поле по длине, т. е.

в стержне имеет место, случай одномерной стационарной теплопроводности. Так как тепло, переносимое от основания стержня, рассеивается в окружающую среду конвекцией, то задача может быть решена в результате сокращения уравнения (2-13) до членов, описывающих аксиальную теплопроводность и отдачу тепла конвенцией. Таким образом имеем: Йха Х ' (3-14) М аСВх(~ — е) из (3-15) Физический смысл уравнения (3-15) очевиден; такой же результат мог бы быть получен путем приравнивания потока тепла, обусловленного теплопроводностью к конвективной 63 Потеря тепла ьт должна быть выражена величинами, опреде- ляющими теплоотдачу конвекцией, где Я' — потеря тепла еди- ницей объема: теплоотдаче. Если использовать обозначение 8=1 — 1, то уравнение (3-15) принимает вид: с"в ас саха аА — — — 8=0.

(3-16) Уравнение (3-16) можно решить обычными методами 1Л. 6], которые дают в пределе решение в виде: Ь= С,е"сс+Сае а", (3-1?) где ХА (ы~) 0 (3-19) Подстановка этих двух граничных условий в общее решение (3-17) дифференциального уравнения дает." 8,=1, — 11=С, +С,; И=-— с)а~ с — = 0 = тС,е — тСае 11х а=1 (3-20) Решение уравнений (3-20) относительно С, н С, и подстановка этих величин в уравнение (3-17) дает: Ь е'а11 а)+е ~а11 ") сьм(1 — х) Ь, сии 1 е — т1 сит1 (3-21) Избыточная температура конца стержня (х =1) равняется: 1 а са м1 (3-22) Постоянные С, и С, должны вычисляться с помощью соответствующих граничных условий.

Конец стержня, прикрепленный к стене, имеет температуру 1,. Другой конец может передавать тепло к окружающей газообразной или жидкой среде. Математически процесс теплоотдачи на конце стержня может быть выражен следующим уравнением: — ХА ( й~~ =- аАЭ,, (3-18) „,) Если стержень достаточно длинный и тонкий, то можно написать: Т а 6 л и ц а 3-1 Вычисленные значения функции для расчета теилопроводности стержня 6 201,7 1 0,5 1 1,5 1,!276 1,543 2,352 0,4621 0,7616 0,9052 т! 0 сьт! 1 !Ьт! ) 0 2 3 3,762 10,07 0,9640 0,9951 4 5 27,31 74,21 0,999З 0,9909 Избыточная температура на конце очень длинного стержня равна нулю.

Решение уравнения (3-16) с граничными условиями, выраженными уравнением (3-18) (т. е. случай учета теплоотдачи на конце стержня), имеет более громоздкий вид: 9 сат(! — к)+(а,/тЛ)знт(! — к) О, аа са т! + (а1/тЛ) аь т! (3-24 т. е. учитывается распределение температур вдоль стержня. Избыточная температура на конце стержня (х= 1) оказывается равной: д, 1 Ь, снт!+(а,(тЛ)лат! (3-25) Тепловой поток через основание стержня (х= 0) равен: (аа!тЛ)+Ш т! 1 1 + (ай!тЛ) !Ь т! ' В последних трех уравнениях величина аз — коэффициент теплообмена на конце стержня; эта величина обычно отличается от коэффициента теплообмена,вдоль поверхности стержня.