Каган Б.М., Мкртумян И.Б. - Основы эксплуатации ЭВМ (Учеб. пособие для вузов) (Книга - Основы эксплуатации ЭВМ (Б.М.Каган, И.Б.Мкртумян)), страница 7

2.2, а, б. 3. Галла-распределение с паралеграли сс и Л, определяемое плотностью (2.30) Г (а) О~ где Г(гх) = (е й г с(и — гамма-функция; а)0 — параметр формы. Математическое ожидание случайной величины Те, имеюшей гамма-распределение, определяется формулой (2. 31) М(Х) = а(Л, О(Х) = 1/1 сс, а дисперсия (2. 32) При целых се~)1 гамма-распределение совпадает со специ- 32 Легко заметить, что при й=! имеем экспоненциальное распределение.

Можно показать, что случайная величина, имеюшая врланговское распределение, может и т я а е е е х рассматриваться как сумма й случайных величин, имеющих экспоненцнальное распределение с параметром Л. Другими словами, если в потоке событий длительность интервалов между моментами возникновения событий будет иметь эрланговское распределение, то такой поток событий можно рассматривать как поток, полученный путем регулярного прореживания пуассоновского потока (удаления подряд следуюших й — 1 событий). Эрланговское распределение времени между событиями при Ф)1 характеризуется меньшей дисперсией, чем при зкспоненцнальном распределении. Его дисперсия О (Х) = )г!ЛЯ.

(2.29) р 1 г б 4 б х б 1 г б 4 б и к а) 4) Рис. 22. Плотность )(х) и функция г(х) распределения Эрланга второ- го (а) и третьего (б) порядков (в= 1) Р 1 г б 4 б бб то гб гб гб бб х Рис. 2.3. Плотность 1(х) и функция Г(х) гамма-распреде. ления (а=!,5; в=1) Рнс. 24. Плотность 1(х) и 3 ункпия Р(х) распределения ейбулла (а=2; в=1) 1)4 [Х! = Г((а+ 1)гсв)1)ь, (2.34) 33 3 — 27 альным распределением Эрланга. Графики 1(х) и Рух) гамма-распределения приведены на рис. 2.3. 4.

Распределение Вейбулла с параметрами о и )„задаваемое плотностью 1(х) =сг) (ссх) 'ехр( — ()х) ), х) О, (2.33) где а) Π— параметр формы распределения. Математическое ожидание в этом случае определяется выражением дисперсия ) — ~Г( Я ~/),я (о 36) Функция распределения для закона Вейбулла записывается в виде е 3 к 0 45 г,с 65 ге 55 к Рис. 2.6. Плотность 1(х) и функция р(х) логарифмияеснинормального распределевия Рис. 2.6. Плотность 1(х) и функция р(х) нормированного Лг (6,1) нормального распреде- ления 6. Логарифмически-нормальное распределение г (х) = ехр ( — ()ьх)"), (2.36) откуда следует, что распределение Вейбулла может быть получено из экспоненциального распределения путем степенного преобразования масштаба времени, Графики плотности распределения 7(х) и функци распределения Р(х) для случая распределения Вейбулла приведеггы из рис.

2.4. б. Нормальное распределение, определяемое плотностью 1 г (х — т)ет 7(х) = ехр~ —, ), — оос, хс.оо, (2,37) )/2н о 2сл где гп=М(Х1 — первый параметр распределения; о — среднее квадратическое отклонение. Графики 7(х) и РГх) нормального распределения для М(Х)=0, а= ! (это распределение называется нормированным и обозначается )т'(0,1)1 приведены на рис. 2.6.

где и1)0 — параметр формы, связанный с математическим ожиданием случайной величины х соотношением М [Х1= 1плк (2.39) Дисперсия логарифмически-нормального распределения 0 [Х) = т' ю'(и — 1) (2.40) где ш = ехр [аЧ2). (2.41) Графики [(х) и Р(х) логарифмически-нормального распределения приведены на рнс. 2.6. Кроме перечисленных распределений могут использоваться и другие, в частности композиции из нескольких распределений (см., например,[2]).

Остановимся дополнительно на экспоненциальном распределении, играющем исключительно важную роль в теории эксплуатации ЭВМ, так как это распределение связано с таким важным понятием, как пуассоновский поток событий. Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Пуассоновский поток событий — поток, для которого длительность интервалов между событиями является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение, задаваемое выражением (2.25), в котором параметр ), интерпретируется как интенсивность потока событий, Важное свойство пуассоновского потока событий заключается в том, что вероятность появления нового события в течение интервала времени М определяется только длиной интервала М и интенсивностью потока событий )„ но не зависит от предыстории, т.

е. от того, сколько и когда произошло событий в прошлом. Таким образом, для пуассоновского потока характерно отсутствие последействня. Промежутки времени между моментами наступления событий в пуассоновском потоке — независимые случайные величины, а вероятность Р,(1) того, что за время [О, (] наступит точно Ф событий, определяется выражением Р„(!) = — в (кт) ь — м (2.42) И Другими словами, дискретная случайная величина — число наступивших событий, например число отказов ЗВМ в течение интервала времени (,— определяется дискретным 35 распределением Пуассона с параметром 7.( (математическим ожиданием числа отказов, равным 21).

Данное свойство характеризует пуассоновский поток как стационаршяй, Отметим следующие свойства пуассоповского по~ока. 1, Пуассоновскпй поток ординарен — вероятность двух событий н более в момент времени 1 практически равна нулю. П, При случайном прореживании пуассоновского потока с интенсивностью Х, когда с вероятностью а наступившее событие оставляется, а с вероятностью 1 — а отбрасывается, получается пуассоновский поток с интенсивностью Ы. П!.

При наложении й независимых пуассоновских потоков с интенсивностями Х,; 1= 1, ,й образуется пуассоновский поток с суммарной интенсивностью Х = '~' Х,. г=~ 1Ч. Остаток времени от случайно взятой точки до ближайшего события в пуассоновском потоке с интенсивностью Х есть случайная велвчина, имеющая экспопенциальное распределение с тем же параметром Л. 2.2. МОДЕПИ ПОТОКОВ ОТКАЗОВ И СБОЕВ Под аналитической моделью некоторого процесса понимают совокупность математических зависимостей, описывающих его протекание с подробностью и точностью, соответствующей решаемой задаче исследования процесса. Поведение ЭВй4 при эксплуатации зависит от ряда случайных факторов, таких как возникновение отказов, сбоев, восстановление работоспособности машины, В $ 2.2 — 2.4 рассматриваются модели отдельных процессов, влияющих па эксплуатационные характеристики ЭВ%, Безотказность аппаратуры зависит от времени ее функционирования (кривая 1 на рис. 2.7), В начале периода функционирования на этапе обнаружения и исправления ошибок проектирования и производственных дефектов интенсивность отказов аппаратуры уменьшается со временем, Затем в течение большей части срока службы она остается примерно постоянной.

Именно этот период эксплуатации представляет наибольший интерес. В конце срока службы интенсивность потока отказов значительно увеличивается вследствие износа аппаратуры. Особенности зависимости безотказности программных средств от времени (кривая 2 на рис. 2.7) обсуждаются в гл. 3, Зб Рассмотрим основные характеристики потока отказов, базирующиеся па закове распределения интервала времени между отказами. Основной характеристикой является вероятность безотказной работы ЗВМ РЯ вЂ” вероятность того, что ЭВМ сохранит работоспособность до ьь момента времени и Еслн Р(() — функция распределения времени безотказной работы ЗВМ Т„ то вероятность 1 безотказной работы Р(1) — это функция, дополнительная к г Г (1): мм Р (!) = Р (т, > () = ! — Р(1), Время (2.43) Рис.

2.7. Зависимость ингенсивности отказов от времени зкс. плуатации аппаратурных (1) и т,е, в момент начала эксплуа программных (х) средств тации с вероятностью 1 ЭВМ исправна, прп завершении срока эксплуатации ЗВМ практически непригодна к использованию. Функцию Р(7) в литературе по надежности часто называют вероятностью отказа, а также функцией ненадежности или функцией риска и обозначают Я(1): г,"г (() = 1 — Р (1) = Р ((). (2,44) Используя функцию распределения Р(г), можно определить такой параметр, как среднее время безотказной работыы: т„=М[Тв] =~1~(1)а, (2.45) о где )(!) =пгР(1)/Ж вЂ” плотность распределения случайной величины Т„.

С помощью РЯ можно оценить также и среднее число элементов (устройств) ЭВМп(г), которые откажут за интервал времени б1: п(1) = й, Р(1) — й. Р(1+ й(), (2.46) где гтга — число исправных элементов (устройств) ЭВМ в начале ее эксплуатации. Введем понятие интенсивности отказов Х(1) как условную плотность распределения вероятностей времени'до воз- 37 никновения отказа при условии, что до момента времени 1 отказа не было. Таким образом, вероятность того, что первый отказ про.

изойдет в интервале времени 1<Т<1+М, Р (1 < Т < 1+ Ш ( Т > 1) = 1Р (У) — Р (1 + ЫуУР (1) ж ж Л (1) А( (2 47) Аналогично (Р(1+ А() — Р(1)УР0) =Л~~) А(, откуда Л (1) = — (г(Р(ЩР Я, или Л (1) = (т(Р ЯДР Я. Из (2.49) получаем (2 А8) (2.49) (2.50) Р в = яр ( — 1 ~ |~ ~ ~ ~- с. (2,5!) Постоянную С можно найти, воспользовавшись начальными условиями при 1=0; Р(0) =1, откуда С=О. Таким образом, вероятность безотказной работы связана с интенсивностью отказов Л(1) выражением ~|ю= *р( — 1~~ ~а ), о (2 52) илп — 1и Р(0 = ~Л(т) с(т. [2 53) Т, = А4 (Т,) = 1(Л, (2.54) Другими словами, Л вЂ” среднее число отказов в единицу времени.

Приведенные результаты еще раз подчеркивают важность экспоненциального распределения в теории эксплуатации ЭВЛ4, поскольку, как отмечалось выше, для основных режимов функционирования ЭВМ (исключая период первичной приработки и периоды физического износа уз- зз Если интенсивность отказов Л=сопз(, то можно показать, что (Г) — ) — ~ Л е ! г(т м в ю Будем считать, что события — отказы устройств различного типа — независимы между собой, тогда вероятность безотказной работы ЭВМ (2.55) лов и элементов) предположение Л(г) =сонэ( практически выполняется.

ЭВМ состоит из большого числа подсистем — отдельных устройств, таких как процессоры, каналы, внешние устройства и т. д. В свою очередь каждая из этих подсистем (устройств) ЭВМ состоит из отдельных логических элементов (интегральных микросхем), расположенных на различных типовых элементах замены (ТЭЗ). Число ТЭЗ в устройствах, как и число логических элементов на разных ТЭЗ, различно. Имеются различия в режимах работы ТЭЗ и устройств в целом. Это обусловливает неравномерность выхода из строя устройств ЭВМ: каждое устройство характеризуется своей интенсивностью отказов Л„!=1, Л', где Л! — число типов устройств ЭВМ. Гели время безотказной работы !что устройства ЭВМ есть случайная величина, имеющая экспопенциальное распределение с параметром Л„то вероятность его безотказной работы аа врез!я ! Р (!) = Ц Р; (г), г=! где Р,Я вЂ” вероятность отказа устройства !-го типа за время (; Л! — число устройств в составе ЭВМ.