Каган Б.М., Мкртумян И.Б. - Основы эксплуатации ЭВМ (Учеб. пособие для вузов) (Книга - Основы эксплуатации ЭВМ (Б.М.Каган, И.Б.Мкртумян)), страница 11

102) (2.103) где сс. и р, — соответственно начальный и центральный выборочные моменты г-го порядка. Очевидно, что статистические оценки моментов являются случайными величинами, Первый начальный момент — это выборочное среднее; для его обозначения часто применяется символ Х. Если выборочное среднее значение Х вычисляется по выборке объемом У, то среднее квадратическое отклонение случайной величины Х от математического ожидания М(Х1 равно 'х = 1' зхl'у (2.104) Лх = (х,„— х„,„)И, (2.! 05) где х ,„, х ;„ — соответственно максимальное и минимальное значение случайной величины, определенное по выборке объемом Ж. Затем подсчитывается число попаданий случайной величины в интервалы: (х„,„, х;„+ Ьх), (х„„„+ Ьх, х ь + 2йх), ... Обозначим число попаданий в (-й интервал через е1ь где за=ох-- т' р.

— выборочное среднее квадратическое отклонение. Можно показать 113$ что Х имеет нормальное распределение; это позволяет решить задачу об определении ооъема выборки. Аналогично по выборке вычисляются и коэффициенты асимметрии и эксцесса. Построение статистического ряда и гистограммы. Весь интервал наблюдения случайной величины Х разбивают на )г интервалов (разрядов); интервал Лх определяется по формуле Отношение р! = Ж;/А! (2.106) означает частоту попадания случайной величины в интервал [х„х,+Лх). Величины йз задают статистический ряд случайной величины, построенный по выборке конечного объема.

По статистическому ряду можно построить гистограмму — эмпирическую плотность распределения вероятностей случайной величины х. Для этого вычисляются величины р, = р!!Лх = АгЧЛхйг. (2. 107) 'Тогда кусочно-линейная функция, принимающая значения р, на интервале [х„х,+Лх), будет ограничивать площадь, равную 1; график этой функции и представляет собой гистограмму. На основании внешнего вида гистограммы можно сделать выводы о том, какие теоретические плотности распределения вероятностей целесообразно попытаться использовать для выравнивания гистограммы. Анализ численных значений выборочных моментов, в частности таких, как коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс, позволит отобрать нз всего множества теоретических распределений подходящие для выравнивания полученной гистограммы.

Пример. В пропессе зксплуатаггнн ЭВМ фиксировались отказы в меканнзме устройства ввода с перфокарт; значения интервалов между отказами (в часах) прнведены в табл. 2.1. Общее число измерений И= !00. Для построения гистограммы разобьем весь интервал от мнннмального значения, равного 0,81, до максимального, равного 571,55 м580 ч, на я ннтсрвалов. Для определенна значения й воспользуемся часто прнменяемой в математнческой статистике формулой Старгесса [131: й = 3,3 !д Д!+ 1 = 3,3.2+ 1 = 6,6+ ! = 7,6 ен 8.

Значение разряда гистограммы ах равно, таким образом, 72,5 ч. Числа попадзннй вннтервал Л', значения частоты р, прнведены в табл. 2.2 с учетом того, что в интервал [435; 507,5) не попало нн одного измерения. На рис. 2.11 приведена гистограмма; исходя из вида эмпирической плотности распределения и значения коэффициента вариации, близкого к 1 (в рассматриваемом примере зх/х=1,09), можно сделать предположение о том, что исследуемая случайная величина может быть описана экспо- 56 Таблица 2.1 е.,г ) лг л., г !Зи ! 50,91 81 82 169,45 56 187, ГВ 57 26,15 ! 58 30,82 ! 59 2'04 ) 60 О,ОРО О, ООВ О,РР7 О,ОРО О,РРР Д РО4 Р,ООг О,ОО1 тгб геб ггтб гРО ббгб егб ббгб л Рис. 2.11. Гистограмма (!) н теоретическая функция экспериментального распределения (2), построенная по выборке (см. табл. 2.1) ненциальным распределением с плотностью 1' (х) = ехр ( — хг'98,48)!98,48).

(2.108) Лровергса статистических гипотез. Выдвинутое предпо- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 !5 16 17 18 19 20 ?2,5 90,35 58 37 161,36 39,32 27,85 3,32 70,92 29,29 60,08 258,65 408,75 7,99 11,88 65,55 47,22 56,38 119,78 166,17 8,08 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ~ 32 ЗЗ , 34 35 36 37 38 39 40 112,11 186,9 70,83 271,09 76,24 35,53 67,98 146,16 110,53 91,67 8,43 8?,65 32,12 225,01 50,19 41 42 43 44 45 46 47 49 50 51 52 53 54 55 26,66 128,04 129,53 44,37 12,14 324 Д9 27,02 31,65 571,55 3,86 141,54 121 226,5 82,27 160,53 158,58 4,02 86,63 97,4 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 156,11 104,87 33,78 46,76 17,57 11,14 114,5 102,62 24,05 0,81 97,93 19,05 253,92 62,47 524,32 36,64 44,33 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 218,84 92,66 14,32 199,4 65,76 95,94 199,53 14,15 72,46 51,97 34,6 93,43 71,37 10,17 67,05 82,28 63,03 29,86 183,76 25 Таблица 2.2 Номер м аа Номер ннтерва.

ла ггы ниы интервала, и Гранины интервала, и 22р. а л. интер ла 2,585 1,215 0,839 56 22 12 6 53,0!5 24,9!2 11,707 5,50! 290 †3,5 362,5 †4 435 †5,5 507,5 †5 0 — 72,5 72,5 †1 145 †!7,5 217,5 †2 ложение об экспоненциальном распределении случайной величины — это всего лишь гипотеза, и она должна быть подтверждена. При проверке гипотезы должен быть получен ответ на основной вопрос — расхождения между эмпирическими (полученными в ходе обработки выборки) и теоретическими значениями функции распределения вероятностей объясняются только конечным объемом выборки или причина в том, что произведена выборка из генеральной совокупности, подчиняющейся другому закону распределепияа Проверка гипотез выполняется с помощью специальных критериев согласия, служащих мерой расхождения эмпирического и теоретического распределения.

Например, можно вычислить значение так называемого )(2-критерия: Ъ~ (Ж! — 7т'рт)т. Хаааа = У~ Урт (2.109) 58 где р~ — теоретическая вероятность попадания случайной величины в (-й разряд гистограммы для предполагаемого теоретического распределения, Очевидно, что в силу случайного характера величии М2 (принимающих различные значения при различных выборках одного и того же объема У, не говоря уже о выборках с различным числом испытаний) )(2 будут также случайными величинами. Показано 113], что плотность распределения втой случайной величины имеет вид аа! "221 1 и л12 и и (2,110) 2тж! (т72) где Г(г/2) — гамма-функция от аргумента г/2; г — число независимых случайных величин, число степеней свободы случайной величины )(2, для которых вычисляется сумма квадратов, причем предполагается, что суммируемые величины имеют нормальное распределение У (0,1).

Так как распределение случайной величины Х' известно, то, получив в результате расчета по (2.109) ее значение, можно определить, с какой вероятностью для заданного г случайная величина у',,„, превзойдет значение Х' — вероятность того, что за счет малого объема выборки (случай. ного характера 2') расхождение между эмпирическим н теоретическим распределениями будет не меньше значения х', полученного в результате обработки эксперимента.

Другими словами, это — вероятность справедливости гипотезы о том, что исследуемая случайная величина подчиняется данному закону распределения. Распределение х' табулировано для различных значений г, что упрощает процедуру проверки гипотез. Нужно только знать, чему равно г. Как было отмечено ранее, это — число независимых суммнруемых случайных величин. В данном случае на частоты попадания в интервал наложено ограничение — их сумма равна 1. Кроме того, по результатам выборки определяют и сами параметры теоретического распределения, так как онн заранее неизвестны.

Отсюда следует, что при проверке гипотез г равно й, уменьшенному на 1 и на число параметров распределения, вычисляемых по выборке. Процедура проверки гипотез может быть упрощена, если используется так называемый критерий согласия Романовского [131, вычисляемый по формуле Я = ~ хр„„— г ~ /3 2г, (2.111) где тэ. — расчетное значение Х'-критерия, полученное по (2.109) . Оказывается, что если И(3, то согласие между эмпирическим распределением можно считать удовлетворительным (гипотеза о теоретическом распределении при этом принимается).

Заметим, что выбирать разряды гистограммы нужно так, чтобы число попаданий в интервал было не менее 5, в противном случае значение х' будет завышено. Если по результатам выборки получается, что У~ для 1-го разряда меньше 5, следует объединить соседние разряды. Если обратиться к рассмотренному ранее примеру по статистическому анализу времени наработки на отказ, то получим следующие значения критерия согласия х„„= 59 =3,176; 17=0,815, число степеней свободы й=5.

По таблицам у'-распределения находим, что при 1=5, р=0,7 у= =3,00, а при р=0,5 Х'=4,31. Отсюда следует, что вероятность справедливости гипотезы об экспоненциаяьном распределении (доверительная вероятность) не менее 0,68. На практике гипотеза может приниматься, если р не менее 0,1, так что в рассматриваемом примере согласие между экспериментальным и теоретическим распределением удовлетворительное. Тот же вывод можно сделать и при применении критерия Романовского (его значение в рассматриваемом случае меньше 3). 2.7. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ЭКСПЛКАТАЦИОННОГО ОкслэжИВАНИЯ ЭВМ В рассмотренных в предыдущих параграфах аналитических вероятностных моделях потоков отказов, сбоев, восстановлений принималось допущение об экспоненциальном распределении времен наработки на отказ, поиска и замены отказавшего элемента и др. Подобное распределение не всегда удовлетворительно описывает ту или иную выборку, полученную в процессе наблюдения за работой ЭВМ.

Отказ от экспоненциального распределения делает вероятностную модель процесса эксплуатации настолько сложной, что оказывается невозможным построить модель в виде явных соопюшений. В подобных случаях приходится прибегать к статистическому (имитационному) моделированию. Прн реализации на ЭВМ статистических моделей процессов эксплуатации производится многократный розыгрыш случайных ситуаций, которые могут иметь место при известных законах распределения таких случайных величин, как время между отказами Т„время поиска отказавшего элемента 1„время замены 1, и т. д. В процессе многократных розыгрышей производится сбор статистической информации, например конкретных реализаций суммы трех случайных величин Т„1„, 1„с целью определения коэффициента готовности й,.

Накопленные реализации могут рассматриваться как выборка конечного объема й1 (Ж вЂ” общее число розыгрышей) и обрабатываются теми же методами, чго и выборка, полученная в ходе натурных наблюдений. Таким образом, натурный эксперимент по определению надежностных и других эксплуатационных характеристик заменяется машинным, в ходе которого имитируется процесс функционирования ЭВМ. В силу этого статистические модели часто называют имитационными моделями процессов эксплуатации. Очевидно, что для того, чтобы иметь возможность поставить на ЭВМ имитационный эксперимент, необходимо: а) программным образом получать случайные величины с заданным законом распределения; б) описывать процессы порождения запросов на обслуживание, а также процессы формирования очередей и собственно обслуживания; в) накапливать статистическую информацию в ходе машинного эксперимента.