Каган Б.М., Мкртумян И.Б. - Основы эксплуатации ЭВМ (Учеб. пособие для вузов) (Книга - Основы эксплуатации ЭВМ (Б.М.Каган, И.Б.Мкртумян)), страница 6

Предположение о равновозможности исходов может вводиться, например, из сообрагкения симметрии. Для широкого круга явлении частота появления определенного события в серии независимых испытаний, проведенных при однотипных условиях, подчиняется устойчивым закономерностям: отношение т)п, где п — число проведенных испытаний, а и — число появлений события Л при достаточно больших и, во многих случаях сохраняет почти постоянное значение. Прн этом большие отклонения появляются тем реже, чем больше и. Величину т/и называют статистической вероятностью события А. Из сказанного следует, что статистическая вероятность при увеличении числа испытаний стремится к некоторому значению, которое н принимают равным вероятности события А.

Например, если в течение периода эксплуатации ЭВМ возникает несколько типов отказов (событнй различного типа), то, подсчитав за достаточно длинный интервал времени общее число отказов п и число тх отказов данного типа (событие А), можно определить вероятность события А как Р(А) = глх/и. (2.2) Если события А в В несовместимы, то вероятность события, состоягцего в появлении хотя бы одного нз событий А или В (так называемой суммы событий А и В), определится выражением Р(А+ В) = Р(А) + Р(В), (2.3) где Р(А), Р(В) — вероятности появления событий А и В соответственно.

Если события совместимы, то Р (А -Е В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ), (2А) где Р(АВ) — вероятность одновременного появления событий А и В (произведения событий). Если появление события А влияет на вероятность появления события В, то говорят, что данные события зависимы. Условной вероятностью Р(АВ) называют вероятность появления события А с учетом того, что событие В имело место, причем (2.5) (2.6) Р(АВ) = Р(А)Р(ВА); Р (АВ) = Р (В) Р (АВ).

Если события независимы, то Р(АВ) = Р(А) Р (В). (2.7) Р;=Р(Х=х), (=1,2, ..., Эти правила могут быть обобщены и на случай нескольких событий. В процессе эксплуатации эффективность функционирования ЭВМ можно оценивать по числу отказов определенного типа, по времени, прошедшему от момента отказа до окончания ремонта, по времени от момента окончания ремонта до момента следующего отказа и т.д, Другими словами, для описания процесса эксплуатации можно использовать случайные величины различного рода: дискретные (такие как число отказов) и непрерывные (такие как длительность восстановления или время между отказами).

Случайная величина описывается соотношениями между значениями случайной величины и вероятностями их появления. Эти соотношения задаются законом распределения случайной величины. Так, задать закон распределения дискретной случайной величины Х означает перечислить все ес возможные значения х„х2 ... (их может быть конечное и счетное множество) и соответствующие им вероятности появления Р,Р причем (2.8) Описать аналогично непрерывную случайную величину невозможно.

Можно говорить только о вероятности того, что значение непрерывной случайной величины Х не будет больше х: Р (х) = Р (Х < х), (2.9) где Р(х) — функция распределения вероятностей для случайной величины Х. Очевидно, что какой бы ни была случайная величина Х, Р( — ас) =О, Р(+со) =1. В теории эксплуатации ЭВМ приходится иметь дело только со случайными величинами, определенными на интервале (О, оо]; для ннх Р(0) =О, Р(")=1 Если случайная величина Х может принимать только значения из конечного интервала (а, б], то говорят, что Х имеет усеченное распределение.

Для описания непрерывной случайной величины используется также плотность распределения вероятностей ) (х), представляюшая собой производную от функции распределения Р(х): (2,!0) )(х) = Р'(х), откуда х Р(х) = ~ 1" (и) Ии. (2,11) Ж График 1(х) называется кривой распределения вероятностей. Вероягность попадания случайной величины Х в интервал (х, х+Лх] приближенно равна 1'(х) Лх.

Вероятность попадания Х в интервал (а, б) выражается формулой ь Р (а < Х < (г] = ~ г" (х) г)х = Р (Ь) — Р (а), (2.12) а причем так как Р(Х=а) =О, то Р(а < Х < Ь] = Р(б) — Р(а). (2. 13) Иногда для определения вероятностных характеристик процесса эксплуатации ЭВМ необходимо отыскивать закон распределения функции случайных величин, например 28 а(г) = [„')г(у) 1,(г — у) йу. (2.15) Все множество значений, которые может принять случайная величина из области определения, называется генеральной совокупностью.

Генеральная совокупность значений случайной величины кроме закона распределения характеризуется рядом числовых величин, таких как момент (начальный и центральный) г-го порядка. Начальным моментом т-го порядка непрерывной случайной величины (а именно такими величинами являются времена между отказами и времена восстановления) называется величина, определяемая выражением [2[ а,[Х) = ') х'[(х) йх, где [(х) — плотность распределения вероятностей случай- ной величины х;а,[Х) — т-начальный момент, С понятием центрального момента связано понятие цен- трированной случайной величины Х" = Х вЂ” а,[Х), (2. 17) где а,[Х] — математическое ожидание величины Х, которое обычно обозначается М[Х).

Центрированная случайная величина Х" показывает отклонение Х от ее математического ожидания. Центральным моментом г-го порядка р„называется величина, определяемая формулой р„= ~ (х — М [Х))' ((х) йх. (2.18) Для описания генеральных совокупностей кроме матема- 29 закон распределения суммы двух независимых случайных величин Х и У.

Если плотности распределения случайных величин Х и У соответственно 11(х) и [,(у), то плотность распределения д(г) случайной величины Л=Х+ У может быть определена по одной из формул [2) д (г) = ~ ), (х) ~, (г — х) йх; (2.14) тического ожидания используют центральные моменты второго — четвертого порядков.

Центральный момент второго порядка, называемый дисперсией случайной величины, определяется формулой О(Х] = ~ 1(х)(х — лт [Х])'йх. Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания. Величина ах =]т 0]Х] называется средним квадратическим отклонением; эта величина используется наряду с ()[Х]. Безразмерный коэффициент вариации, определяемый как отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, численно определяет степень отклонения случайной величины от математического ожидания.

Отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения называется коэффициентом асимметрии чз = рзпт з который используется для описания формы кривой плотности распределения вероятностей. Для той же цели используют и так называемый коэффициент эксцесса (2.2!) Рассмотрим законы распределения случайных величин, наиболее широко используемые в теории эксплуатации ЭВМ. Для описания дискретных случайных величин используются законы распределения вероятностей, приведенные ниже.

1. Дискретное пуассоноеское риспределение с параметром Л: Р [Х = и) = — е ~, О-~й<оо, (2,22) где А — целое число. Для пуассоновского распределения математическое оясиданне, дисперсия и центральный момент третьего порядка равны Л, а коэффициент вариации равен 1)) 'Л. 30 (2.24) 31 2, Геометрическое распределение с параметром р! Р (Х = й) = (1 — р)" ' р, ! -< й < оо, (2.23) где А — целое число; 0<р<1. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение, равно 1/р, дисперсия (1 — р)(р', коэффициент вариации ) 1 — р.

3. Если дискретная случайная величина является усеченной, принимающей значения, например, в интервале О< <Х<п, то возможно применение биномиального распределения, задаваемого выражением Р(Х = й) =. С„" р" И вЂ” р)"-', где и — целое число; 0<р<1. Математическое ожидание случайной величины, имеющей биномиальное распределение, равно пр, дисперсия пр(1 — р), коэффициент вариации )I (1 — р)урп 4. Иногда используется и дискретное равномерное распределение для случайных величин, определенных на интервале а<Х<а+6 — 1; в этом случае вероятность того, что 'случайная величина примет значение, равное й(а<А<а+ -(-Ь вЂ” 1), равно 1/Ь. Математическое ожидание такой случайной величины равно а+ (6 — 1)(2, дисперсия (Ь' — 1))!2.

Для описания непрерывных случайных величин широко используются законы распределения вероятностей, приведенные ниже. 1. Экспоненциальное распределение с плотностью г(х) = Ле х", х> О, (2.25) где Л вЂ” параметр распределения, связанный с математическим ожнданием и дисперсией выражениями М(Х) = 1(Л и О(Х) = 1(Л'. (2.26) Особенностью экспоненциального распределения является то, что коэффициент вариации этого распределения равен 1. Графики !('х) и Р('х) для экспоненциального распределения приведены на рис.

2.1. 2. Распределение Эрланга й-го порядка с плотностью (2.27) (а — 1)! где А)1 — целое число, а параметр Л связан с математическим ожиданием выражением: М[Х) = А(Л. (2.28) Рис.н.!, Плотность)(х) и функция Р(х) для акспоненцнального распределения (Л 1) Графики )(х) и Г(х) для эрланговских распределений при различных й приведены на рис.