Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 14

(2.60) Если параметры системы удовлетворяют нерааенству (2,59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асиыптотической устойчивости 9 2.3. Действительно, функция У определеино-положительна, а ее производная У, согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю на К (1= О, и ~ 0). Поэтому равновесное состояние системы 1 ~ = О, и = 0 будет асимптотически устойчиво относительно тока 1 и напряжения и. Пусть теперь параметры системы удовлетворяют соотношению (2.60).

Тогда будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения $2.4. Действительно, функция У может принимать положительные значения (она определенно-положительна), а ее проиаводная У, согласно (2.58) и (2.60), положительна вне К и равна нулю на К. Следовательно, равновесное состояние системы 1= О, и = 0 неустойчиво. Таким образом, при выполнении условия (2.59) равновесное состояние системы асимптотически устойчиво относительно тона 1 и напряжения и, а прн аыполненни условия (2.60) равновесное состояние системы неустойчиво. Случай ВС = МЯ, требует дополнительного исследования, но практичоского интереса он не представляет, так как при небольшом нарушении этого условия (что всегда возможно, ибо все элементы системы изготовляются с определоннывш допусйами) получится неустойчивая нли асямптоткчески устойчивая система.

В $4.5 разобранныи здесь пример будет решен другим, более простым методом. Пример 4. Устойчивость равновесна системыы с одной степенью свободы, находя- д зп. пРимеРы НА Асимптптическую устОйчиВОсть 75 где М вЂ” приведенная масса системы, предполагаемая постоянной, м — постоянный коэффициент, а ю — положительное целое число, не ыеньшее двух (т )~ 2). Считая, что, помимо потенциальной силы, на систему действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, составим уравнение возмущенного движения (за невозмущеиное движение принимается состояние покоя, при котором д = О, д= О): д дТ дТ дП 62 дф дд — дд где р — положительная постоянная, характеризующая силу со.

ротивления. Учитывая значения Т и П, получим Мд = — мдю — рд (2.62) Положим а = гы д = хз. В новых переменных уравнение (2.62) будет эквивалентно системе двух уравнений первого порядка Мгг — — — Рлг — Ях~, гз — — хм (2.62) причем по условию т ~ )2. В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую внергию 1 и У = Т + П = — М,'+ — „д "' 2 ' в+1 или, в новых переменных, 1, я У вЂ” — Млз + — хмы 2 2 т+1 2 (2.6е) Найдем полную производную по времени У = Мз,т, + мз'"Гз. Внесем сюда значения 22 и вз Из УРавнений вовмущенного движения (2.63): У =- хг ( — Рз~ — клею) + мл'"Вы или, после упрощения, У = — рх. з 1 (2.65) Рассмотрим теперь возможные случаи. 1.

Число н положительно (м)0), а число ю нечетное. Для этого случая У вЂ” определенно-полонсйтельная функция перемен- щейся под действием потенциальной не,аинейной силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени - скор о с т и.

Обозначим обобщенную координату, отсчитьпаемую от положения равновесия, через о. Будем 'считать, что кинетическая Т и потенциальная П энергии системы определяются равенствами м т= 2 м(', и=-,„( 1 ч"" (2.61) гл. и. пРямОЙ митод ляпунОВА ных х, и хз (т + 1 — число четное), а производная 1" — отрицательная функция относительно совокупности переменных х и х,. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения, можно утверждать, что иевозмущениое движение устойчиво, но ые асимптотически. Теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя, так как производная Р отрицательная, но ые определенно-отрицательная функция переменных .г и х., (прп х, =- О, хз чн 0 производная Р =- 0). Обратимся к теороме Барбашнна — Красовского. Прежде всего, отметим, что функция Р, определенная равенством (2.64), удовлетворяет условию (2.16) 1(ш Р (хг, хз) = оо х ) Многообразие К получим, положив Р =- — )г з = О.

Это ось хз (х, = О, х, 4= 0). Это многообразие не содержит целых траектории, так как ыа нем уравнения (2.63) прикипают вид —;~, '," = О, х, = О, / 1 к 61 ха ттг) '12' ч+т)1,з 1' (2.66) Очевидно, что хз При и) 0 и т четном функция Р может принимать положительные аначеыия (например, при х, = 0 и зе ( 0). На прежнеьг многообразии К (х, = О, х, чЬ О) проиаводная Р = О, а вые К производная Р > О. Кроне того, многообразию К ие принадлежат целые траектории системы. Позтому выполнены все уоловия теоремы Н.

Н. Красовского $2,4 и положение равновесия х, = ч = О, хе =- = о = 0 неустойчиво. 3. Число к отрицательно (к ( 0), а т — любое целое положительное число, не меяьшее двух (т ) 2). Функцию Р берем в форме (2.66). При любом целом т и к ( 0 функция Р может принимать положительные значения (например, пры хд = 0 и хз ( 0). Повторяя докааательство случая б), убеждаемся, что при х(0 положение равновесия ыеустойчиво.

Таким образом, система асимптотически устойчива относительно ни д при к ) 0 ы т нечетном, Во всех остальных случаях она неустойчива. что ыевоаможно (на К перемеыная хз Ф 0). Очевидно, что иа К производная Р = О, а вне К опа отрицательна. Таким обрааом, при сделанных предположениях (к >О, т — нечетное число), выполнены все условия теоремы Барбашииа — Красовского $2.3 и, следовательно, положение равновесия х = О, хз = 0 асимптотически устойчиво в целом при любых начальных возмущениях. 2. Число к положительно (к ) 0), а число т четное', Функциго Р определим теперь следующим образом: ГЛАВА П1 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СХАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИИ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ $3Л.

Теорема Лагранжа Рассмотрим механическую систему с голономными и стационарными связями, положение которой определяется г обобщенными независимыми координатами д„..., д,. Как известно, в положении равновесия все обобщенные силы 0г такой системы равны нулю: а =О,...,а =О. (ЗЛ) Если обобщенные силы ~1г зависят от координат дг и скоростей дп то для определения положений, в которых система может находиться в~равновесии, достаточно внести в равенство (ЗЛ) значения д1 — — О и решить полученные уравнения относительно д„..., д,. дП Для консервативных сил Дг = — — —, где 11 — потендд„' циальная энергия системы, и уравнения (ЗЛ) принимают вид (3.2) дт1 ' " ' ' дтз Решая зти уравнения относительно д„ ..., д„ найдем те значения обобщенных координат, при которых система может находиться в равновесии.

Таких положений может оказаться несколько, причем в некоторых из них равновесие может быть устойчивым, а в некоторых неустойчивым. Так, например, простой маятник, подвешенный на стержне, имеет два возможных положения равновесия, из них в нижнем положении равновесие устойчиво, а в верхнем неустойчиво. Рассмотрим одно из возможных положений равновесия. Будем считать, что в этом положении потенциальная энергия равна нулю. Это всегда можно сделать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Кроме того, не нарушая общности, можно считать, что в этом положении все обобщенные координа- 78 ГЛ. Пь УСТОИЧИВОСТЬ'КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ ты дд,..., д, равны нулю (для этого достаточно отсчет координат вести от этого положения). Будем рассматривать устойчивость равновесия относительно обобщенных координат д„..., д, и обобщенных скоростей ос.

Тогда уравнения Лаграия1а второго рода д дТ дТ дП Ю д41 доз ддз ;3.3) ддв — =сз д1 (1с =-1,..., з), будут уравнениями возмущенного движения. Число уравнений и = 2з н они допускают интеграл энергии Т+П =й, (3.4) (3.5) определенно-положительную функцию обобщенных координат о,,..., д, и обобщенных скоростей (так как кинетическая энергия Т механической системы с голономными и стационарными связями является определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей (см., например, П2))). Полная производная функции У по времени на основании интеграла (3.4) равна нулю. Следовательно, эта функ- 1) Строгое доказательство теоремы Лагранжа впервые дзл Дмрзхлз, поэтому зтз теорема часто называется теоремой Лагранжа— Двряхле, Здесь приводятся доказательство Ляпунова, вытекающее непосредственно из сто прямого метода, где Т вЂ” кинетическая энергия системы.

Лаграннгу принадлежит следующая теорема 11788 г.), определяющая достаточные условия устойчивости равновестия консервативных систем '). Теорема. Если в положении изолированного равновесия консервативной системы с голономными и ста11ионарными связями потенииальная энергия П имеет минимум, то в этом положении равновесие устойчиво. Доказательство. В рассматриваемом положении равновесия потенцнальнан знергкя равна нулю и имеет минимум.

Поэтому по крайней мере в достаточно малой окрестности нуля значения функции П будут положительны. Это означает, что в этой окрестности потенциальная энергия П представляет определенно-положительную функцию переменных дп а полная энергия системы г'= Т+П 9 зл. ТЕОРЕМА лАРРАнжА П=- — 'ХХс.дзд,+ ' (3.6) 1=1 т=г где постоянные коэффициенты дзП сы=сгг== ~ д З,,дзз )е Если коэффициенты сгг удовлетворяют критерию Сильвестра (2.9), то квадратичная часть равенства (3.6) будет определенно-положительной квадратичной формой переменных д„..., гг д„а вместе с ней будет определенно- положительна в окрестности нуля и ~ ~ лг д потенциальная энергия П. Это озна1Рг д чает, что потенциальная энергия П У имеет изолированный минимум и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, в рассиатриваемом положении равновесие устойчиво.