Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 9

Так, например, границей области г' 0 для функции у = х — хе будет парабола (рис. 2Л1) х, =х,'. Если функция У определенно-полоягительна, то об- Рас. 2.И пастью е' ) 0 будет вся окрестность нуля. Для отрицательных функций г" область 'г' ) 0 не существует. Теорема Четаева. Коли, дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию У (х), для которой в сколь угодно молой окрестности нуля существует область г' > О, и если производная Р' функции У, вычисленная в силу зтих уравнений, положительна во всех точках области У ~ О, то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Возьмем положительное сколь угодно малое число г и построим сферу 2хг =- е (конечно, е ~~ р). Чтобы обнаружить неустойчивость невоамущенного движения, достаточно заметкть всего одну траекторию иэоб- ГЛ. П ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА бе ража<ошей точки М, выходящую за пределы сферы е. Возьмем начальное полон<ение точки ЛХ в области И ) О, причем точка Мь может быть сколь угодно близка к началу координат, но не совпадать с ним. Так как по условию теоремы в области И > О то функция у монотонно возрастает н, следовательно, для всех 8 '=ь гь будем иметь Р (х) ) Иь ) О, гДе Р'ь значение фУнкЦии Р' в точке Мс.

Изображающая точка М, начав движение из М„при своем дальнейшем движении не может пересечь границу области у') О (на границе у' .== О, а в начальный мо<ь МЕНТ Р'ь) О И ИВОЗРаСтаЕт монотонно). Предполоя им, имать что при дальнейшем двилс<; О ф' я<енин изображающая точ- М ка М не выйдет за пределы сферы з, т. е. находится все время внутри замкнутой области 6 (рис. 2И2) (л)» <'о Рвс. 2Д2 Тогда функция У, как непрерывная н не зависящая от г явно, будет при всех ~ '=ь 1ь ограничена, т. е. будет удовлетворять условию р~(л, где Ь вЂ” некоторое положительное число. В замкнутой области 6 производная 1" полоя<ительна и также ограничена (положительна по условию теоремы, ограничена — так как непрерывна и не зависит от ь' явно).

Поэтому в этой области производная Р' имеет точную ниькню<о границу ь, причем ь .ь О. Если предположить, что изобража<ощая точка М не выходит за пределы сферы з и, следовательно, все время находится внутри области 6, то при всех ~ '=ь гь производная Р будет удовлетворять условию В1) О.

э Х4. ТЕОРЕМЫ О НЕУСТОИЧПВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 51 Пользуясь этим неравенством и соотношением (2 14), найдем л)с+1(г 1о) Отсюда следует, что с течением времени функция у неограниченно возрастает. Противоречивость полученных для )г неравенств возникла из сделанного предположения, что наображающая точна не выйдет за пределы сферы г. Таким образом, зто предположение неверное, что доказывает теорему. Как уя;е отмечалось, теорема Четаева является обобщением двух тсором Ляпунова о неустойчивости движения. Прнзедон одну нэ пнх. Теорема Ляпунова о неустойчивости движения. Ясли дифференциальные уравнения возмущечигого двизкечгия позволяют нагииз фуикцичо е', котпорая обладала бы в силу ниик уравнений зиакоопределенной производной е' и могла бы принимать е окрестности ну я значения одного знака с Р', то нееозмущсииое движение неустойчиво.

Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная е определенно-положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно считать, что 1г ) 0) н, следовательно, она определенно-положительна и в той области, в которой функция 1г принимает положительные значения (область у') 0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева, что служит доказательством теоремы Ляпунова. Обобщепне Четаева состоит в том, что оп ослабил условия Ляпунова, налагаемые на производную у' — достаточно, чтобы она была Определенно-полон<Игольной не во всех точках окрестности вуяя, как тробует теорема Ляпунова, а только в области У .

О. Другое ослабление требований, налагаемых на производную е', содержится в следующей теореме. Теорема Красовского о неустойчивости двпвгення. Ясли для дифференциальных уравнений возмущенного движенил (1.17) можно найти функцию )г такую, что ее производная е удовлетворяет условиям: 1) Р ) 0 вне К, 2) Р =Она К, где К вЂ” многообразие точек.

не содержащее целых тпраекторий при 0 ~( 1 ( оо, и если при етом можно указать точки, лежащие в произвольной окрестности начала коор- гл. гь пРямОЙ мктод ляпунОВА динат, такие, что в них У ) О, то невоаиущенное движение неустойчиво. Геометрическое обоснование этой теоремы в значительной своей части совпадает с аналогичным обоснованием теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости — см. 2 2.3. Действительно, возьмем начальную точку М, (х,) такую, чтобы в ней выполнялось условие У (х,) ) О. Так как в этой точке г"з ) О н 'г' ) О (предполагаем вначале, что Мз не принадлежит многообразию К), то функция У будет возрастать, а изображающая точка М будет удаляться от начала координат. Если при своем движении изображающая точка М попадет на К, или Мз принадлежит К, то вскоре она должна будет покинуть это многообразие (оно не содержит целых траекторий) и снова начнется удаление точки М от начала координат.

Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. Н. Красовского [27). Рассмотрим неболыпой пример. Пусть уравнения возмущенного движения вмеют вид хг=х~+2хз, х,=хгх. Покажем, что невозмущенное движение х, = х, = О неустойчиво. Для етого возьмем функцию у=хз — х. з 1 3' Эта функдия имеет область У > О, состоящую из двух частей, ограниченных параболами х, = хз и х, = — х (рис. 2 42). Вычислим производную у функции у х. в силу уравнений возмущенного движения Р = 2х,з, — 4хззгз или, внося значения х, и х, и упрощая, Р— 2хз 1 Тзк кзк зтз производная положительна при всех х, ) О и любых хз, то в правой части Рис.

2 43 области У ) О выполнены все условия теоремы Чзтаева (левую часть области можно просто игнорировать) и, следовательно, яевозмущенное движение х, = х, = О язустойчйзо. Заметим, что зыбрзвная е етом примере функция у не удовлетворяет условиям теорем Ляпунова и Красовского (производная г меняет знак при изменении знака х,). $2в, метОды постгоеиия Функции ляпунОВА 53 $ 2.5. Методы построения функции Ляпунова Примеиеиие осиовных теорем прямого метода требует знания функций Ляпунова, удовлетворяющих определенным требованиям.

К сожалению, общих методов построения таких функций нет, ио во многих случаях их можно сконструировать. Не останавливаясь иа подробном разборе различных способов построения функций Ляпунова (см. обзор [2а)), укажем на несколько методов, чаще всего применяемых при решении практических эадач. 1. Метод преобраэовании координат. Если для данных уравнений возмущенного двинсения трудно найти функцию Ляпунова, то часто переходом к новым координатам (конечно, прежде всего следует испробовать линейное преобразование с постоянными коэффициентами) уравнения удается привести к такой форме, для которой соответствующая функция находится сравнительно просто.

Этот метод неоднократно используется в настоящей книге (э 4.2, 4.3, 5.4, 6.2 и др.). 2. Метод неопределениых коэффициентов. Будем искать функцию Ляпуиова в виде квадратичной формы с постояпными коэффициентами а и 1 %5 %1 1' (х) = 2 у ~ а11ЕТЕ1 1=1 1=1 (2.2)) Прежде всего подчиним неопределенные коэффициенты аг„критерию Сильвестра (2.9). Тогда функция Р' будет определенно-положительной. Так как число коэффициентов а„э равно и (п + 1)!2, то после этого останется еще и (и — 1)/2 независимых коэффициентов, которыми можно распорядиться по своему усмотрению. Предположим теперь, что требуется найти условия, налагаемые иа параметры системы, при выполнении которых Прежде чем перейти к прилонсениям, отметим, что па.ло>пенные в $2.2 — 2.4 теоремы составляют фундамент прямого метода Ляпунова. При их доказательстве предполагается, что рассматривается устойчивость относительно всех переменных, входящих в уравнения возмущенного движения. В.