Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрим двпженио маятника по горляонтально распологьенной окружности с постоянной свороти ю (оожюосвий лая>оочх). В этои случае будем иметь О =. у! =. !! (!) — а соль!, д =- у, = )з (!) =- О, ф = уз = ! (!) = ы = сова!. (1.24) Подставив эти значения для у„уз и уз в (1.23), получим иа второго уравнения(нервое итретьеуравйенил обращаются втождества) а!з < оа а ! (!.23) Конечно, это условие, которому должны удовлетворять параметры конического маятника, можно получить из элементарных соображений, например, применяя принцип Далаибера.
За невозиущенное движение примем движение, определяемое равенствами (1.24). В соответствии с общей теорией полол!им уг=а+х! у = ' уз' ю+ з (1. 26) и внесен эти значения для у„уз и уз в уравнения (1.23). У читывая, что и и ю — постоянные, получим дифференциальные уравнения возмущенного движения й нормальной форме (1.17): в!=хо, г = — у !го (а -р х ) .",- (ю+ хз)зма (а —,'- х ) соь (а+ х ), (1.27) 1' то = — 2хг(ю !-х,) с!2(а+х,). Легко видеть, что правые часю! этих уравнений обращаются прп х, = х, == х, = О в нули (во втором уравнепнп нужно учесть равенство (1.25)), т. е. оии удовлетворя!ос условиям (1.18).
Разлагая правые часта в ряды по степеням хг, хз и ха п огранпчпваягь чле. нами первого порлдка малости, получии урашюлпя первого 25 б ! 3 пгимкгы нл состллле1пгн углвнкиип приблня'ения ег — гз т, = — юз зпр а лг + гс з)л 2а.гз~ яз = — 2ы с13 а зм (1,28) при зтол~ учтено равенство (1.25). В следующем примере будет показано, что при составлении дифференциальных уравнений возлтущепного движения можно не прибегать к уравнениям движения системы н форме (1.1). Пример 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс искусственного спутника Земли.
Будем предполагать, что па спутник действугот только силы прптяя(ения Земли, приводящиеся к одной равнодействующей Г, приложенной к центру масс спутника, причем модуль ее определяется законом всемирного тяготепнл: (1.25) Здесь р = яйз =- )М вЂ” гравитационный параметр Земан (Д вЂ” се радиус, д — ускорение силы тлжсстгг на поверхности Земли, ЛГ— ес масса, / — гравитационная постоянная), г —. ОС вЂ” расстояние от центра Земли О до цоптра масс С спутш~ка, ж — его лзасса.
Рпс. 1.5 Рассмотрим равномерное движение центра масс искусственного спутника по круговой орбите радиуса гз, лежащей в плоскости и (рис. 1.5, а). Такое движение называется тактке стационарным движением искусственного спутника Земли (см. й 3.4). Параметры, определяющие стационарное движение спутника, должны удовлетворять следующему условпю, непосредственно вытекающему из второго закона Ньютона (тгзыз = )ыл)г,,'): ызгз (1.30) где ы = ф = солж — угловая скорость вращения радиуса-в~ ктора гз спутника в стационарном двгокении. гл.>.постлповкл злдлчи 26 Предположив<, что нз это движение спутника Земли наложены некоторые возмущения (зто равносильно тому, что прк отделения спутнике от последней ступени ракеты незначительно нарушены ут>опия, которые должны были обеспечить движение искусственного спутника по круговой орбите радиуса г„.
лен<ащей в плоскости я). В результате наложенных возмущений спутник начнет совершать возмущенное движение, в частности, орбита ун<е не будет круговой, движение пе будет происходить в шюскости и, угловая скоРость <Р вРащениЯ РадиУса-вектоРа не бУдет Равна Г )»>ле. Для составления уравнений возмущенного движения спутнике построим систему отсчета Охуз, координатная плоскость ху которой совмещена с плоскостью орбиты в стационарном движении, т, е, с плоскостью и. Положенне центре масс С искусственного спутнике в возмущенном движении будем определять сферическими координатами г, <р, 0 (риг,..>.5, д). Кинетическая Т и потенциальная П энергии спутника определяются равенствами (в сделанных предположениях вращательное движение спутника не влияет иа движояие его центра мосс и, следовательно, из рассмотрения может быть исключено): Т вЂ”.— (гз -»зВ'8 т'го э 8>рз), П вЂ”:: — и — .
(1.8() Имея в виду изучить устойчивость стационарного движения искусственного спутнике относительно величин г, г, В, << в >р, составим уравнения возмущенного движения. Для этого воспользуемся уравпениями Лагранжа второго рода; д дТ дУ дП вЂ” — (д . = г, О, <р). д< д). ду. ду.
> > > Составим сначала уравнение для координаты г. Имеем =. тг, — =тг, = тгВ> — , 'т>го <В<(э> дТ . д дТ " дТ дг д< дг дП )ь>л дг г> Внеся полученные выранюния в уравнение Лагранжа для координаты г, найдем тг — тгВз — тг соэз 0>уз =- — )< —, >2 лли, сократив на массу т и положив г = ге + х и <р — — ю + у, получим уравнения возмущенного дини<ения искусствеяного спутника (уравнения для 0 и <р получены аналогично) х — (>э + х) Вз — (ге+ х) созз О (ы+ У)з =.— (го 8 х)з ' (гэ.й х) О+ 2тО+ (<э+ х) сот О>йлО (а+ у)з —. О, (К32) ((ге+ х)з со ' 0 (е> + у)) = О. д д< 9 14к ИРимеры нА составление уРАВнении 27 Прежце чем привести ати три цифференциальяых уравнения возмупаенпого движения спутника Земли (цва иа лих второго порядка, а оцно — первого) к нормальному виду, введем цля общности поные обозначения: 41 '="Ха, О= 44, О =Ха, у — 44.
Внеся ати выражения в уравнения (1.32) и решив их относительно нроиаводных, получим дифференциальные уравнения вовмущенного движения в нормальной форме: 4[Ха — = Ха а4 — 2 — — (га+ Х1) [ха -[- сова ха (ю [- ха) '[— 34 4 " " (га [- Х1)' ' 4)ж — "" Х42 са! (П33) 4)ха 9 Х2Х4 1 , 2 — — — — (ы -;ха) а!а 2х42 4)4 га О- Х1 — — ( +х)+2 ( Ц ха)18 йа ге+ Хг ~*~ = Зюаха+ 224 1аха, 441 = Ха, 4[ха 424 (1.31) 4(ха = — 2юа.га о4 4[ха — '2 — Ха' й При выводе этих уравнений было принято во внимание равенство (1.30 .
1ример3. Уравнения воэмущенного движен и я л и н е й н ы х с и с т е м. Рассмотрим важный для приложений случай, когда движение системы описывается леодлородными линейными дифференциальными уравлениями а Уг — ~ а1 У. + Ра(1) (й — ), -',..., а), (1.33) 1 Легко видеть, что правые части этих уравнений обращаготся в пуль при х, =-... = ха = О, т. е. они удовлетворяют условиям (1Л8) (во втором уравненйи нуавно учесть равенство (1.30)). Раалагая правые части в ряды и ограничиваясь членами первого порядка относительно хг, ..., х„ получим дифференциальные уравнения первого приблиакения возмущенного движения искусственного спутника Земли: гл. к постлнонка задачи где аа) и Гх — заданные функции времени (в частности, они могут быть постоянными числамв). Предположим, что требуется определить устойчивость какого- ЛИ6О Дпнжспни ЗтОй СжтЕМЫ (Г (1), ..
ч („(Г). ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ Равенствами (1.5): уа = ) + л . После подстановки в уравнения (1о35) получим 'г>()+ Х аг;*у+ рг (с) )„.. „(з удовлетворяют уравнениям учитывая, чт (1,35), найдем Таким образом, уравнения возмущенного движения линейной неоднородной систеыы представляют однородную часть уравнений движснпл (1.35). Лпализ последних и решает вопрос об устойчввости двпжония р, — 1т (г), ° °, уо =-! (г).
ГЛАВА 1! ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ) З 2.1. Функции Липунова. Критерий Сильвеетра Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым методом Ляггунова). В этой главе прямой метод будет изложен для автономных систем (неавтономные систегпг рассматриваются в гл. ч'11). Изучение прямого метода начнем с рассмотрения некоторых егггеетвенных фуггниий гг (х) =- У (хд,..., х„), определенных в области ~х,- р, (2.1) где р — постоянное положительное число. Предполагается, что в области (2.1) эти функции однозначны, непрерывны и обращаются в нуль, когда все х„..., х„равны нулю, т.
е. р (0) = О. Если в области (2.1) функция Р кроме нуля может принимать значения только одного знака, то она называется зналопоетоянной (соответственно положительной или отрицательной). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том случае, когда все х„... ..., х, равны нулю, то функция У называется зналоопределенной (соответгтвенно определегп*о-положительной или оггределенно-отриуательной). Функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знанопеременными функциями. Введенные таким образом функции гг, используемые для исследования устойчивости движения, называются фуггнггиями Ляпунова. Рассмотрим два примера.
С Функция ЗО ГЛ. 11. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА при х, и х„не равных нулю одновременно, принимает положительные зйачейпя и обращается в нуль только при х, .= хв =- О. Следовательно, зта функция определенно-положительна. В пространстве х„ х, Р поверхность У =.= х, + бхз расположены по одну сторону от плоскости х„х„касаясь ее только в начале координат (рис, 2 Л, в). 2. Функцйя )' =- *' — 2хтх, + *,' =- (х, — х,)з не может принимать отрицательные значения, но в нуль она обращается не только в начале координат х, =- хз = О, но и вв прямой ае ) ау=ха Рис.
2,( х, == хз, У = О. Следоввтельяо, ата функция положительна, но не ойределенно-положительна. В атом случае поверхность Р = (х,— — хз)' в пространстве х1, х„у также находится по одну сторону плоскости х„х„но касается ее не в одной точке, а по прямой х, =- = т, Р = О (рис. 2Н, б). Из определения и этого примера видно, что положительную (отрицательную) функцию в указанном смысле можно назвать такпсе неотрицательной (неположительной) функцией. Из сделанных определений видно, что знакоопределенная функцип имеет при х, =-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
