Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 12

В рассматриваемом случае ыочкно, так же как и в первых двух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенвого движении, найти три интеграла. Два интеграла определнются :разу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ~р (второй интеграл — интеграл моментов коли«еств движении волчка относительно оси з): 1 1 Т -( 11 —" ч 1., (ае+ ()э соьэа) + —, Т, (~( — () е(п а]э+ + Р1 сов а соз р = Й дТ вЂ” == Т, (<д — () вчп а) = Т,лм д~р Третий интеграл — это интеграл моментов количеств дгпчкечпи волчка относптелычо неводе|изной оси ь К.

= Ь =- сопэ1. гл. и. шимон мптод лшгь новь Длн того чтобы написать этот интеграл в явном виде, воспользусм- сн очевидными равенствами: Кх = Х«Р = Хха КБ — — Хвя= ХНссьс4, КБ = Хзг= = ХБ(ф — ряпа), Кг — — Кх соз (Ьх) + КБ соз (Ьу) + К, соз (ЬБ). Пользуясь рис. 2Л5, б, найдем соз (Ьх) = — яп (3, соз (Ьу) = з1О а соз (3, соз (ЬБ) = сов а соз (3. Следовательно, третий интеграл имеет вид Х ( — ф яп (3 + )3 соз аз!и а соз (3) + Х,(ф — (3 з!и а) соз а соз р = 1ч Будем изучать устойчивость двшкеяия волчка относительно величаи а, й, (3, (3 и ф.

Введем следующие обозначения: 31 ахз))хаг=хБФ=фз+ХБ. В этих обозначениях найденные интегралы дифференциальных уравнений возмущенного движения примут внд Г, = 2 Х (ха+ х соззх,)+ 1 + 2 ХБ (4ре+ хз — хз яп 31)3 + Р1 соз х, сов 43 = Ь, Г фе+хБ хзз1п 1 л1 (2.540) ГБ Хх ( ХБ з!п Х3 + ХБ Б1п ХБ Сез ХБ Соз ХБ) + + ХБ (фз + хБ ХБ Б1п х1) соз х1 соз хз — )4. Так как ни один из этих интегралов ве нвляетсн знакоопределениой функцией, то составим линейную свивку интегралов ! = Г, — Г, (б) + р [Г, — Г, (О)(+ й (Г, — Г, (О)), где и й — неопределенные постоянные коэффициенты. несем сюда значения Г„ГБ и Г„разложим в ряд по степеням х, „х и учтем, что ф = л. Тогда после группировки членов получим 1 3 = (Х,л+ р+ ДХБ) *, — 2 (Р1 + ЛХ,л) ХБ+ 2 Х .ХБ— 1 3 1 3 1 2 ( + Бл) хз+ 2 БХБ+ 2 ХБХБ (Х и + Р + ДХ КХх) х1У4 йХ хзхз+ где точками обозначены члены высшего порядка.

Для того чтобы функция Г была знакоопределенной, необходимо пракде всего приравнять нулю коэффициент прн первой степени хз. Имеем з с.ь, ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА 65 'Теперь функция г' примет вид 1 1 1 з У = р ахз+ 2 схзхз+ 2 ахз+ 2 у„х4+ 1 +-л- сзхзз+ Х1ххзхз — Л)ххзхз+ ° где (2.41) а = — (Р1+ Лс',а). Разобьем квадратичную часть функции Г па три функции: 1 1 ~зг~+ Л" х~зхз + 1 )гз = 2 ахз Хсххзхз+ 2 сззлз 1 (гз = С сзхз. Фуикцин Гз определевпо-положительна относительно хз, а функции)г, и 1', ймеют одиваковую структуру. Поэтому, согласно общей теории для определения условия устойчивости яевозмущенного движения волчка относительно величии а, (4, р, р и ф, достаточко определить условие, при котором функция $; будет определевко-положителькой относительно величин х, я х4 (при этом >ке условии функция )гз будет определенно-положительной относительно величин хз и хз).

Напишем условве Сильвестра для функции уз.. а ).у„( Аз=а)0, Ьз= = У„(а — У„Лз) ь О. Рис. 2.16 Пользуясь вырюкаиием (2.41), приведем *гь неравенства к следующему виду: Р) Л ( — — „, ) (Л) = УхХз+ У лХ+ Р1 (О. (2 42) Осталось выяспкть условия, при выполнении которых мокша подобрать число Х, удовлетворяющее соотношениям (2.42). Если дискримипапт трехчлепа 7 (Х) Э = сел~ — 44'хР1 положителен, то оба корня Х, и Л, уравнения г (Х) = О будут веществевпы и различны.

из графика ~улкции 1 = г' (л) (рис, 2:16) видно, что в этом случае для всех, удовлетворяющих неравенству Хз ( Х < Х„фупкция у (Х) а.. О, т. е. будет выполиепо второе ус- 3 Д. Р. Меркин гл. 11. пРямОЙ мктОД ляпунази ловие (2.42). Заметим, что при и > О оба корня чай, показаыыый ыа рис.

2.13), а при и ( О оба жятальыы. Покажем, что для этих я будет выполнено ы (2.42). Для этого достаточыо показать, что при вию удовлетворяет больший корень )(в. Имеем 1 Хв =- -2 — ( — У,и -)- )1 Ули~ — сгУ„Р1) = х отрицатсльыы (слукария )и и Х поло- первое неравенство и > О атому усло- Используя теперь очевидное ыеравеиство 1 р« — « — — *, 2 получим чта доказывает сделанное замечаиие для и ) О (при и е. О ыужио рассмотреть меньший кораыь )ч,). Итак, если угловая скорость и в ыевозмущеыиом двигкеиии волчка удовлетворяет условшо Э ) О, т. е.

(2.43) то для всех )1, заилючеыяых между )и и Хг, функция )г будет опрсделеиио-полажктельыой. Ее полная яроизводыая по времеыв в силу уравыеывй вазмущеыыого двшкеыия ка оаг(оваыпа интегралов (2.49) равна нулю. Следовательно, неравенство (2.43) является достаточным условием устой швости вертикального положения валико отяосительно величин сг, к, 3, 3, ф (для снаряда в условии (2.43) лужка замеиить ыроизведеыие Р1 ыа модуль момента опрокидывающей пары г)).

Остается ыевыясыеыиыи вопрос об устойчивости вертикального аологкеиия волчка, когда угловая скорость собственного вращевия его в иевозмущеыком движсыии будет меньше граничной величины, определяемой неравенством (2.43). Этот вопрос будет решеы в примере 4 4 4.5. Прежде чем перейти к примерам ка применение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, заметим, что икогда с помощью выбранной связки интегралов построить зквкоопределеккую функцию нельзя.

В этом случае нужно испытать другие комбинации интегралов. Если же все связки интегралов ке дают вовможиости определить условия устойчивости движекия, то это еще ие ') Впервые условие устойчивости(2.43) для вращательиого движеыия сыаряда (оио иавестио как условие Маяковского — Крылова) строго доказал Н. Г. Четаев (см.

(49]), $2.т. ПРимевы ИА Асиыптотическую устойчивость 67 означает, что движение неустойчиво — нужно просто пе-. рейти к другим методам, с помощью которых можно будет решить вопрос об устойчивости. й 2.7. Примеры на применение теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости двигкении Пример $. Аскмптотпческая устойчивость равновесия твердого тела, находящегося в сопротивляющейся среде. рассмотрим свободное твердое тело, движущееся в соопротивляющейся среде поступательна относительно инерциальной системы отсчета (в частности, оно может находиться в покое).

Это движение тела примем за не- возмущенное. Дадим телунебольщие возмущения, в результате чего возникаег вращательное дви>ссение относительно поступательно перемещающихся координатных асей Сьс)ь, начало которых совпадает с центром масс С тела. Будем считать, что среда, в которой движется тело, создает момент сил сопротивления М, пропорциональный некоторой степени угловой скорости са тела: (2.44) где ы — угловая скорость тела в возмущенном движении, а х и а— положительные козффициенты (ани лсогут быть постоянными, но могут аависеть и от ю, изменяясь в некоторых пределах: О ( хс ~( ~( х (ю) ~( хз, ( ~( ас ~ и (ю) ~( а,). Кроме того, будем предполагать, что другие силы, действующио на тело (если они существуют), не создают момента относительно центра масс.

В зтих предположениях динамические уравнения Эйлера (см., например, [$2]) примут вид с)ссс ( (у у), а-сю с)ю (2.45) АО где Х„, Ув, Хс — моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции тела х, у, з, а ю„, аса, сас — проекции угловой скорости тела на те ясе оси. Будем рассматривать устойчивость вращательного движения тела относительно проекций угловой скорости са„, юю ю,, Так как по условию задачи в невоамущенном движении ю„ =- ют — — а>, — — С) (тело двигалось поступательно или находилось в покое), то уравнения (2.45) будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Докажем, что невозмущенное движение тела асимптотически устойчиво относительно величии аыо саю юс.

Для этого умиожим Зе Рл. и. пРямОЙ мнтпд липунпна первое уравнение (2.45) на ы„, второе на ыю третье на ы, и сложим все уравнения. После очевидных преобразований получим »о> >)ы >7>о, (2,46) или, учитывая, что ы = (а>„+ аз+ ыт)», >7 ' ' т а» (2 47) Функция (у с>2 > у т уег) 2 '' э э+ определенно-положительна, а ее производная в силу уравнений возмущенного дни>кения, согласно равенству (2.47), определенно-отрицательна. Следовательно, выполнены все условия соответствующей теоремы Ляпунова и вращательное движение тела в сделанных (Р(7) Рис.

2Л8 Рнс. 2.17 предположениях асиь>птотически устойчиво относительно величин ы„, ыэ и ы,г Заметим, что из этого ве следует устойчивость относительно угловых перемещений, Пример 2. Устойчивость установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с сопрот и в л е н и е и и с а м о ни д у к ц и е й(4). Рассмотрим вольтову дугу, внлюченную в цепь с оиическим сопротивлением Л, самоиндукцией Ь и источником энергии, электродшкущая сила которого равна Е (рис.