Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 10

В. Румяицев в работе [45) распространил прямой метод Ляпунова иа системы, в которых изучается устойчивость движения относительно части переменных. Гл. и. пРямОЙ мвтОд ляпунОВА невозмущенное динжение будет асимптотически устойчиво (в технических положениях этот случай встречаетсн чаще всего). Тогда постараемся подобрать оставшиесн нечависилгые коэффициенты аьг функции г' так, чтобы производная )', вычисленная в силу уравнений возмущенного движения, была бы функцией определенно-отрицательной или удовлетворяла условиям теоремы Красовского. Если такие коэффициенты аг) можно найти, то невозмущенное двигкение будет асимптотически устойчиво.

Этот метод применим не всегда, но в некоторых случаях он дает хорошие результаты. Прежде чем перейти к рассмотрению примера, заметим, что от умножения на постоянное положительное число сшгйгтяа фувкг~ггп (г не изменяются. Поэтому один коэффициент бгупкцпи (2.20), например а„„, молино положить равным едиггигк . Пример. Дапьг пеляпейвые уравнения возмущевпого движепия ах, + Ьх", ге = сх,хе+ ехз, (2.2( Требуется определить, каким условиям дошьвы удовлетворять параметры систелгы а, Ь, с и е, чтобы яевозмущеппое движение х, = = х, = 0 было асимптотически устойчиво.

Будем искать фупкциго У в форме (2.20) 2 (Лх, -,'-2Рхгхз+х.,), з (2.22) где Л и р пока ке определепы. Критерий Сильвестра (2.9) для матрицы коэффициентов ~~Л р!) имеет вид Аг =. Л ть О, Дг =- Л вЂ” (гз) О. (2.23) Считая, что шп неравенства выполнены, вычислим производную Р ()" ег + рхг) 'г + (р "г ) гз) ее. Ввесем сюда значения г'„и г, вз уравнений (2.21), тогда получим. Р =. (Лх, + )гхе) (ех, + Ьх,') + ()гхг + хг) (схгхг -)- ехг) яли, раскрывая скобки и группируя члены, Р =- Лахз + (ЛЬ + с) хгха + ех,', + р (ах,х, + Ьхг + схтхе + ех„хз).

При р ~ 0 зта функция будет зпакоперемеппой. Поэтому, ие нарушая условия (2.23), полол<иле р = О. При этом производная Р примет вид квадратичной формы отпосвтельио х, и хз Р = Лахт + (ЛЬ + с) хгх + ех,. (2.24) й ь мгтоды уостпотууя Фуннц!гн ляпунопх 55 Постараемся подобрать неопределенный множитель Л > 0 так, чтобы ма квадратичная форма была определенно-отрицательной. Для этого составим главные диагональные миноры ыатрицы коэффициентов. Имеем й = Ла, й, =.

Лае — (ЛЬ + с)з)4. Для того чтобы квадратичная форма (2.24) относительно а и а' была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы был выполнен критерий Сильвестра (2ДО). В пашем случае що дзот два неравенства: Ла < О, Лас — (ЛЪ + с)з(4 > О. (2.25) Для пыполпекия этих неравенств прн Л > 0 необходилю потребовать прежде всого, чтобы коэффициенты а. и е исходной системы (2.2! ) удоэлетворялп условию а(0, е(0. (2.26) Преобрааусм теперь второе соотпоп!ение (2.25) к виду ЬтЛ! + 2 (Ьс — 2ае) Л + сз ( О.

(2.27) Это квадратичное перавелство можно удовлетворить при Л > О, если оба корня Л, и Л, левой части будут вещественными и положительными. Действительно, з этом случае для всех Л, удовлетворяющих условию Л! < Л Л„будет справедливо неравенство (2.27), Для этого пуп!не, чтобы дискриминант трехчлена был положителен, а коэффициент при Л в первой степени отрицателен: (Ьс — 2ае)з — - Ьзсз> О, !а — 2ае (О илп 4ае (ас — Ьс) > О, Ьс ( 2аа. Так как, согласно (2.26), произведение ае положительно, то оба последние неравенства будут удовлетворены, если Ьс ( ае.

(2.28) Теперь можно подвести итоги. Ислп параметры а, Ь, с и е системы (2.2!) удоплетворяю! условиям а<0, е(О, Ьс(ас, (2.20) то прп )! = 0 и Л, < Л ( Л„где Л! и Л, — корни левой части неравенства (2.27), функция )г, определелйая равелством (2.22), будет определенно-положптеяьпой, а ее ползая провзводная по времелп, вычислелная в силу уравнений возмущенного движения (2.21), будет функ!щей определенно-отрицательной.

На основании соответствуюпсей теоремы Ляпунова ааключаем, что прп выполнении условий (2.20) невозмущенлое движение а, =- а, =- 0 системы (2.24) аскмптотически устойчиво. Теорема Барбашина — Красовского позволяет сделать более сильное утверждение: если параметры системы (2.21) удовлетворяют неравенствам (2.29), то невозмущепное движение х, = хх = 0 будот устойчиво в целом. Читатель легко докажет это самостоятельно. 56 гл.

и, пгямон мвтод ляптнова 3. Построение функции Ляпунова с помощь-.о связки интегралов. Предположим, что уравнения возмущенного движения (тЛ7) допускают интеграл Р (х„..., х ) = Ь =- сопэь, (2.30) для которого разность Р (х) — Р (0) является определенно-положительной функцией переменных х„,..., х„. Тогда в качестве функции Ляпунова можно взять функцию У =Р(хи...,х,) — Р(0).

(2.3[) Действительно, проиаводная функции т' по времени в силу уравнений возмущенного движения согласно интегралу (2,30) тождественно равна нулю и, следовательно, эта функция будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (см. э 2.2). В некоторых случаях дифференциальные уравнения возмущенного движения допускают несколько интегралов Рт (хм..., хь) = Ьм ° ° ° Рп~ (хь,..., хь) = Ьщ (2.32) где Ьп..., Ь~ — постоянные интегрирования, причем ни один иэ ник не является определенно-положительной функцией. Для такого случая Н.

Г. Четаев [49! предлоя1ил искать функцию У в форме связки интегралов (2.32). В общем виде эта связка имеет вид У = Ь, [Р, — Р, (О)] +... + Л [Р— Р (О)[ + + х,[Р,' — Р„ '(О)[ + .. + х [Р" — Р' (0)[, (2.33) где Ьи ° ° ° 1 Ьтг хм ° ° ° ~ хт неопределенные постоянньщ. Если постоянные Х1 и х1 удастся подобрать таким образом, что функция У будет определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (так как Р = сопМ является также интегралом уравнений возмущенного двин~епия). Метод Четаева иостроения функции Ляпунова с помощью связки интегралов весьма эффективен.

Прежде чем проиллюстрировать его на примерах (они будут рассмотрены в следующем параграфе), сделаем несколько замечаний: а) один иэ 2т коэффициентов Х~ и хт можно выбрать произвольно, например, положив Ц =.= 1; б) часто функцию У можно построить с помощью линейной свяаки интегралов, положив все х1 .= О. Члены 6 2.6. пРимеРы нА применение теОРемы ляпунОВА 57 й 2.6. Примеры на применение теоремы Ляпунова об устойчивости двюкения При исследовании устойчивости движения (Ве асимп- тотической, а простой устойчивости) одним из наиболее эффективных методоп язляется метод четаева построения связки интегралов.

П этом параграфе будут рассмотрены примеры применения этого метода, Пример 1. Устойчивость дяин енин кониче- с к о г о м а я т н и к а. Рассмотрим стационарное') даижеиие материальной точки М массой з«, подяешенной на незесомой нити длиной 2 и движущейся с постоянной скоростью под дейстяием силы тяжести по горизонтально расположенной окружности (конический маятник (рис. 2Л4, а)). Нить 0 маятника, закрепленная з точке ( О, описывает з стационарном дзиженин круговой конус; обозначим гЩ угол между нитью и зертикалыо 6 и~ ! 00« через а, а углоаую скорость ! о яращения вити вокруг вертикали 00, через сь Между углом и, уг лозой скоростью ы и длиной маят- 1 ника «з стационарном движении д А«д~ сущестзует хорошо иззестное соотношение с«=(з)пп«о юз соя а = УП, тд которое может быть пол а) Р) например, с помощью принципа Рис.

2Л4 Даламбера. Примем стационарное движение маятника по окружности за иезозмущенное движение. Предположим, что иа ато движение пало- к<сны небольшие возмущения. Обозначим угол между нитью и яер- (2.34) учено ') Термин «стационарное движение« будет более подробно разьясиеи я 6 3.4. с квадратами 2«нтегралов следует привлекать только В том случае, если линейная связка недостаточна; в) во многих случаях интегралы уравнений возмущенного движения можно построить из общих соображений (например, с помощью общих теорем механики), не составляя самих уравнений. Этим приемом следует широко пользоваться, избегая лишних преобразований.

Примеры на применение метода связки интегралов будут рассмотрены в 3 2.6. Заметим только, что этот метод был обобщен и послужил основой для построения вектор- функции Ляпунова (12а]. ГЛ. П. 11РЯЗ1011 МЕТОД ЛЯПУНОВА тикалью 00, в яозмущеяном движешш через 0 (рис. 2Л4, б), а угловую скорость вращения плоскости 00гз]1 вокруг вертикали ОО, череа ф. Введем обозначения О=-а+, О:-- з, фз - ю гхз Будем изучать устойчиаость невозмущенвого движения относительно величии О, О и фе Кинетическая Т и потенциальная П энергии маятника определяются равенствами тИ Т = — (О'-';.з1пз01]"), П =- — тг(соей. 2 Так как дсйстяу1оп1ая па маятник сила тязкести потонцизльиа, а координата ф циклическая (кинетическая эяергия Т зависит от обобщенной скорости 61,по пе зависят от координаты ф, и обобщонная сила, соответствующая этой координате, ранна пулю: Ой = =.

— дП)дф =- О), то существувп два ьчпгграла движении (й и и— постоящпзе)1 тП ззП 1' +!! =- —. (Оз й зпй йфз] — их( соз й = — Ь, 2 ' ' * ' ' 2 дТ вЂ” — а, Р „11,г Оф,я(зл дф (множители тй!2 и жИ яведены для удобства). Второе раяеиство представляет интеграл момента количества дяижения маятнина относительно вертикали 001, и его можно залучить из алементариых соображений. Пользуясь равенствами (2.35), запишем зти интегралы в следующей форме: 20 Р, (х„хз, хз) =.

(х'-'+ ззпз(а+.П) (1с -) хз)'] — 1 гон (а (. х1] — — 16 (2.36) Рз (хм хю хз) = зйй (а + х,) (1з + хз) .=- л. Интегралы (2.36) получены из общнх теорем динамики. Конечио, можно было сначала составить дифференциальные уравнения возмущенного движения (1.27), а затем, комбинируя их, найти интегралы (2.36). Как уже было отмечено ранее в $ 2.5, выбранный здесь путь является, как правило, более простым '). Перейдем к исследованию устойчивости стационарного движения маятника относительно величин О, 0 и ф. Ни один иа найдеигрзх интегралов не является знакоопределенноп функцией относительно величин х„х и хз. Пожому составим линейную связку интегралов (2,30), положйв )ч =- ( и Хз =-: )х Г = Є— Р, (О] + й (Рз — Рз (О)):= (ху + ззв (а + хз] (1з + хз)з]— 2д 1 .