Лекции по гидроаэромеханике, страница 12

Коэффициент ц называют коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), Х— вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объемной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости называют не Х, а величину Х =Х+ — и. Наряду с и для несжимае- 2 3 мой жидкости часто рассматривают величину ~, называемую кинематнческим коэффициентом вязкости ~ = —.

Коэффициент и Р может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически. Вообще говоря, и = и(р, Т), но зависимость от давления слабая. Наиболее часто пользуются следующими приближенными формулами для зависимости ц от Т. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость Здесь а берется из эксперимента (для воздуха а = 0,00264); ио — значение коэффициента вязкости при Т = То. Для более широких интервалов температур принимают — =( — ) тали р Г т Ро То воздуха и = 0,76).

Часто пользуются формулой Сюзерленда С+ 273 ~ Т п~аlв С+ Т ~ 273) Постоянная С для воздуха, азота и кислорода соответственно имеет значения 117, 110 и 127. Второй коэффициент вязкости Х исследовать трудно. В случае, если жидкость несжимаема, то Йч ч = 0 и он выпадает из уравнений. Для случая одноатомных газов теоретически показано, что А= — — р, т.

е. А =Х+ — р=О. Коэффициент 2, 2 / существен в задаче о распространении звука. 76 3 а м е ч а и и е. Закон связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, который мы установили исходя из закона трения Ньютона, имеет вид (2.27).

Жидкости, которые подчиняются этому закону, называются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона. Приведем примеры. П р и м е р 1. Для растворов полимеров (например, каучук в бензоле) и некоторых легко деформируемых металлов, которые можно рассматривать как жидкости, часто используется следующая связь между ~~ тд ~~ и ~~ ед ~~ (предполагается, что йч ч = 0): 1~ тд ~! = — р1 + 2р, ~! ад~ ~~ + 25 ~~ свд 1~. Здесь ~з 1 ~ до до, ~ ~Н 1 ~~Р~~Ь ~и 2 ~ д + д 1 Тензор ~~ ад ~~ — тензор второго ранга. Действительно, перемножив тензоры скоростей деформаций ~~ е~ ~~ и )) е~ 1~, получим тензор четвертого порядка с составляющими а~,д = ечеи. Свертывая этот тензор по индексу / = / = и, приходим к тензору 1~ ан ~1.

В выражение для !! ти ~! тензор 1! аи!! входит с коэффициентом 25. Коэффициент 5 — новая физическая характеристика для жидкостей, он находится из эксперимента. П р и м е р 2. Модель вязкой жидкости неприменима для описания течений разреженных газов. Степень разреженности газа и область применимости модели вязкой жидкости к газам определяются величиной числа Кнудсена Кп = 1/1., где 1 — средняя длина свободного пробега молекул, 1. — характерный размер тела.

Для слаборазреженных газов 1/1. (( 1, коэффициенты вязкости ц и теплопроводности Й пропорциональны 1 и закон трения Ньютона верен с точностью до членов порядка Ки'. Следующее приближение на этом пути (приближение Барнетта) дает один из простейших примеров неньютоновской жидкости. В этом приближении т,~ — — ( — р+ А йчч) б;~+ це,~+ Ст;~, причем коэффициент С имеет порядок Кп', а т;~ — линейная комбинация вторых производных и произведений первых производных от гидродинамических величин р, Т, ч. $3.

НЕТЕПЛОПРОВОДНАЯ ЖИДКОСТЬ Жидкость называется нетеплопроводной, если вектор потока тепла 1 равен нулю. Равенство 1 = О в проекциях на оси координат ~ = ~„= ~, = О. Схему нетеплопроводной жидкости используют в случае, когда явления теплопроводности оказывают малое влияние на физический процесс, и обычно принимают одновременно с предположением об идеальности жидкости. Если жидкость идеальная 77 и нетеплопроводная, то уравнение энергии (6.3) гл.

Ч может быть упрощено. Для идеальной жидкости т, = — 1р, т„= — ~р, тг = 1ц3 и дч дч дч 'г ° — + т ° — +т ° — = — рйчч. х дх " ду ~ дг Уравнение энергии для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид р =е — рйчч. с1Е (3.1) 5 4. ЖИДКОСТЬ, ПОДЧИНЯЮЩАЯСЯ ЗАКОНУ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ Для широкого класса изотропных сред справедлив закон теплопроводности Фурье: количество тепла дд, прошедшее внутрь за время Ж через площадку д5 с нормалью и, пропорционально ИЯЖ и производной от температуры по нормали: дт до й ИЯЖ.

Для потока тепла 4, введенного ранее, закон Фурье дает дт дп (4.1) При выводе уравнения энергии было показано, что 1,— проекция на нормаль вектора потока тепла 1, т. е. 1~ =(1.а). Производная = (и ° ргали Т). Таким образом, (4.1) равносильно содт отношению 1= Й угад Т. (4.2) — з апись (4.2) Равенства (4.1), закона теплопроводности Фурье. Коэффициент Й вЂ” коэффициент теплопроводности. Величина Й различна для разных жидкостей и зависит в основном от темРср пературы.

Обычно вводят число Рг —, называемое числом й Прандтля, и коэффициент теплопроводности Й выражают через и и Рг. В некоторых случаях число Рг оказывается постоянным. Для многоатомных газов вычисление й связано со сложными расчетами и экспериментами. Для капельных жидкостей в узких интервалах температур пользуются линейной зависимостью ~ = ~го + а (Т вЂ” То).

3 а м еч а н и я. 1. В смесях газов гам, где существенна диффузия, вектор потока тепла 1 начинает зависеть не только от градиента температуры, но и от градиента концентрации. 2. В неизотропных средах вместо скалярного коэффициента теплопроводности Й приходится вводить тензор теплбпроводности К. 78 $5. Н ЕСЖ И МА ЕМА Я Ж ИД КОСТЬ Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность в частице при движении сохраняется, В переменных Эйлера это означает, что — =0 или др др Н д1 + ~, — + ~„— + о,— = О. (5.1) др др др (2.6) гл. 11 при условии (5.1) прини- Уравнение неразрывности мает вид (5.2) Йчч= О. Уравнение (5.2) — уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Для однородной жидкости р = р0 сопз1 и уравнение (5.1) удовлетворяется тождественно.

Если жидкость неоднородна, то (5.2) надо рассматривать совместно с (5.1). Схему несжимаемой жидкости используют при рассмотрении движений капельных жидкостей (если перепады давлений невелики), а также при рассмотрении движений газов с небольшими скоростями. Воздух при скоростях движения о ( 100 м/с можно считать несжимаемой жидкостью. $ 6. СЖ И МА ЕМАЯ Ж ИД КОСТЬ В общем случае плотность является функцией давления и температуры.

Уравнение, связывающее плотность р, давление р и температуру Т, носит название уравнения состояния и имеет вид р= ~(р, Т) или Ф(р, р, Т) О. (6.1) Я вЂ” й,Т, (6.2) У вЂ” объем одного моля газа; И0 — универсальная газовая пот стоянная. Если т — молекулярный вес, то р= — и уравнение Клапейрона записывается в виде р = — рт. ~0 (6.3) Этому уравнению подчиняются многие газы, если давление р не очень большое и температура Т не слишком низкая.

Часто уравнение состояния пишут в виде р = рйТ, гдето = — ' — газовая ~0 т постоянная. При более высоких давлениях часто используют уравнение Ван дер Ваальса 79 Для идеальных в термодинамическом смысле газов уравнение состояния — уравнение Клапейрона Здесь У= —, а а и Ь вЂ” коэффициенты, причем коэффициент а Р учитывает силы взаимодействия между молекулами, Ь вЂ” собственный объем молекул. Коэффициенты а и Ь зависят от Т. В общем случае в статистической механике строятся так называемые вириальные разложения (6.5) й.т' где В(Т), С(Т) — второй и третий вириальные коэффициенты. В случае идеальных газов все вириальные коэффициенты обращаются в нуль. Часто вводятся полуэмпирические уравнения состояния.

ГЛАВА Н! СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ ф 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ 1. Уравнение неразрывности сохраняет свой вид (1). 2. Уравнения движения сплошной среды — (11) . Так как жидкость идеальна, то (1.1) тх= !Р ту= Зр При условии (1.1) уравнение (11) примет впд ~1ч . др .

др др ~й ! д !д д или Нч 1 — = à — — угад р. И р (1.2) В проекциях па осп координат сЬ, 1 др 3: сй р дх ' Нру 1 др =Р Н У р ду' (1.2') Но~ 1 др Н ' р дг' Уравнения (1.2) — уравнения движения идеальной жидкости— носят название уравнений Эйлера. 81 Уравнения, представляющие собой запись законов сохранения, вместе с дополнительными соотношениями, содержащимися в предыдущей главе, образуют систему уравнений гидромеханики.

В главе Ч1 на с. 70 была выписана система уравнений, представляющая собой запись в дифференциальной форме законов сохранения: закона сохранения массы, закона количества движения, закона момента количества движения и закона сохранения энергии. В этой главе рассматриваем идеальную жидкость. Для нее тензор напряжений имеет вид ~~ тд ~! = — р1. В дальнейшем будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Закон моментов при М = О, П = О, ли = О (учитывая вид ~~ты~~) будет удовлетворяться тождественно, поэтому выписывать его не будем. 3. Уравнение энергии — (1Ч). Так как жидкость нетеплопроводна, то ~д — — ~, О.