книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 11

При исследовании обтекания тела потоком вязкого газа на поверхности тела выполняются граничные условия прилипания вязкой среды к поверхности, т. е. условие равенства нулю скорости потока (о)з = О. Кроме того, на поверхности необходимо задать граничные условия для температуры газа. В зависимости от решаемой задачи эти условия могут быть сформулированы по-разному: а) задана температура поверхности тела (Т)з = Т„; б) в каждой точке поверхности и в лю.

бой момент времени может быть задан удельный тепловой поток д. Поскольку удельный тепловой поток, осуществляемый посредством теплопроводности, согласно закону Фурье, можно представить в виде у = — ) дТ/дп, то в этом случае граничное условие эквивалентно заданным значениям производной температуры по нормали к поверхности тела, дТ/дп.

В случае теплоизолированной стенки дТ/дп = О; в) задана связь между неизвестными значениями Т„и (дТ/дп),: а (Т, — Тг) = — ),дТ/дл, (3.38) где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м' ° К); ҄— температура восстановления, К. При малых скоростях значение Т„близко к Т„, а при больших скоростях движения газа оно может быть значительно выше (см. гл. 12). Следует отметить, что в случае вязкого газа полная система дифференциальных уравнений имеет первый порядок относительно давления и плотности и второй порядок относительно составляющих скорости и температуры.

Поэтому для определения давления и плотности по-прежнему достаточно задать одно условие (на бесконечности), а для нахождения о„, ою и, и Т необходимы два условия— на бесконечности н на поверхности тела. а 3.7. интеГРАлы диФФеРенциАльных УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОГО ГАЗА Интегралы дифференциальных уравнений (3.12') могут быть получены в двух частных случаях — для потенциального течения (уравнение Лагранжа) и для установившегося движения (уравнение Бернулли). Уравнение Лагранжа.

Рассмотрим случай неустановившегося / -Ф потенциального движения газа. При этом г» = го1о/2 = О, га = а„= =э, = О. Огсюда до„/дг = до,/ду, до /дг = до,/дх, до„/дх = до„/ду. Преобразуем левйе части уравнений (3.12'). Используя условие потенциальности течения, получаем: до„/д/ (д/д/) (д~р/дх) = (д/дх) (д<р/д/); о„до„/ду = о„до„/дх = = (д/дх) ( о'„/2 ); и,до„/дг = о,до,/дх = (д/дх) ( 4/2) . Тогда ~Ь„/д/ = (д/дх) (д~р/д/ + оэ/2), где о' = о, + од + о, .

Аналогично, до„/д/ = (д/ду) (д~р/д/ -1- о'/2); до,/д/ = (д/дг) (д~р/д/ + оа/2). (3.39б) Для того чтобы преобразовать правые части уравнений (3.12'), введем функцию давления Р, определяемую из соотношения др/р = = г(Р или )г/р/р = Р. Тогда (1/р) др/дх =* дР/дх; (1/р) др/ду дР/ду: (1/р) др/дг =* дР/дг.

(3.40) Если известна однозначная зависимость между давлением и плот- ностью р(р), функцию давления определить легко. Кроме того, примем, что массовые силы обладают потенциалом. Обозначим потенциал единичной массовой силы 1/. При этом Х = д(//дх, У = д(//ду, Я = д(//дг. (3.41) 53 Для силы тяжести У = — ду.

Подставляя выражения (3.39) — (3.41) в систему уравнений (3.12'), получаем: (д/дх) (д~р/д/+ ох/2+ [ др/р — У) = О; (д/ду) (д~р/д/+ ох/2+ + ) г/р/р — У) = О; (д/дг) (д~р/д/+ ох/2+ ) г/р/р — У) = О. Отсюда следует, что выражение д~р/д/+ оз/2+ ) Нр/р не зависит от координат, т. е. имеет одинаковые значения для любых точек потенциального потока. В случае неустановившегося движения оно является функцией только времени: д~р/д/+ о'/2+ ) г/р/р — У С(/). (3.42) Уравнение (3.42) называется уравнением Лагранжа. В случае установившегося потенциального течения д~р/д1 = О величина С не зависит от времени.

Тогда интеграл (3.42) приобретет вид ох/2 + ~'Нр/р' — У сопз[. (3.43) Интеграл (3.43) называется уравнением Лагранжа — Бернулли. Уравнение Бернулли. Рассмотрим установившееся движение газа. При этом <Ъ„/д/ = до„/д/ = до,/д/ = О, р = р(х, у, г). Преобразуем левую часть первого уравнения системы уравнений (3.12): двх д"х дох дох д ох + оу + ог Ж дх " ду ' дх дх 2 дх 2 +о — — — + — — +о дох д Г сР ~ х — г ~+2(ов ов) Ж дх [2/ -Ф вЂ” > .Де выРажение (о,ву — о„в,) — пРоекциЯ вектоРа [во] на напРавление оси х. Тогда Но„/Ж = (д/дх) (ох/2) + 2 [в о ]х.

Аналогично, для производных до„/г[1 и Но,/Ж сЬх/Ж = (д/ду) (ох/2) + [в о]х] ~Ь,/Ж = (д/дг) (о'/2) + [ в о],. (3.45) — — +-+ -+ — > -+ — ~ Здесь [во)„[во)ю [во], — проекции вектора [во] по осям координат. Подставим выражения (3.44) и (3.45) в уравнения (3.12). Кроме того, введем функцию давления (3.40) и потенциал единичной массовой силы У (3.41). Тогда (д/дх) [о»/2+ ) Нр(р — У) = — 2[а о]; (д/ду) [о»(2+ + ) г/р(р — У) = — 2 ~ м о]„; (д/дг) [о~/2+ ] г(р/р — У) = = — 2[и о],. Умножим первое уравнение на е[х, второе — на »[у, третье — на »[г и почленно сложим.

В результате для установившегося движения Н(о»/2+ ) Нр/» — У) = — 2([м о]аЪ), — > где »Ь вЂ” вектор элементарной дуги с проекциями е[х, »(у, »[г. Скалярное произведение ([гао]»Ь) = 0 вдоль линии тока и вдоль вихревой линии, так как векторы [ео] и де перпендикулярны. Таким образом, вдоль линий тока и вихревых линий а' '[о»/2+ ) Нр(р — У)»=- 0; о»/2[+]] е[р/р — У = сопз1, (3.46) где значение постоянной различно для разных линий тока и вихревых линий.

Уравнение (3.46) называется уравнением или интегралом Бернулли. Это уравнение имеет фундаментальное значение в теории движения невязких жидкостей и газов и является теоретической основой для практических расчетов. Рассмотрим уравнения Бернулли для различных частных случаев движения жидкости и газа. Для несжимаемой среды (р = сопз1) функция давления равна Р = р/р. Примем У = — ду. Тогда уравнение (3.46) приобретет вид о»(2 + р/р + ду = сопз[.

(3.47) Если пренебречь массовыми силами, то (3.47) примет,'вид р + ро»/2 = сопз1. (3.48) Из уравнения (3.48) следует, что при установившемся движении несжимаемой среды полное давление, равное р + ро»/2, вдоль линии тока или вихревой линии остается неизменным. Для сжимаемого газа без учета массовых сил о»/2+ ) Нр(р = сопз1.

(3.49) Допустим, что течение газа является изэнтропическим. Тогда р/р' = С. Отсюда е[р = Сяо» Мо и г(р(р = С/»р»»др, ) г(р(р = С[Щй — 1)]»»-» = = Ф/(й — 1)1 р/р. Подставляя выражение интеграла в (3.49), получаем: о92+ [й/(й — 1)) р/р = сопз(; (3.50) о'/уь+ [й/(й',— 1)1 КТ = сопз1. (3.51) Учитывая, что Щ~ — 1)1р/р = Яф — 1)]КТ = Е, имеем ой/2 -[- 1 = сопз1. (3.52) (3.53) Определим теперь давление в критической точке с учетом сжимаемости. Для этого найдем постоянную С в уравнении (3.50) из условий на бесконечности: С = [й/(й — 1)1 р /р + оэ /х. Подставляя найденное значение С в уравнение (3.50) и используя выражение р/р"= р„/р„', получаем [ь/(ь 1)1 (р /р ) (р/р ) <ь Пгь [ ой/2 [ь/(ь 1)[р /р [ оэ /2 Положив в этом уравнении о = О, что соответствует критической точке, будем иметь [а/(а — 1)1 (р /р ) (р0/р )~~пм = [а/(а — 1)[ р /р + о~ /2 или, учитывая, что Йр /р = аз, о /а = М, после несложных преобразований получаем р./р-=(1+Ф вЂ” 1)/21М ) и (3.54) Уравнение Бернулли в форме (3.52) совпадает с уравнением энергии для невязкого и нетеплопроводного газа (3.32).

Выясним, какова ошибка в определении давления прн использовании уравнения Бернулли (3.48), полученного без учета сжимаемости. Допустим, что поток воздуха обтекает какое-либо тело. Пусть на достаточно большом удалении от тела скорость потока о и давле. ние р„. В критической точке на поверхности скорость равна нулю, а давление равно давлению торможения р,. Используем уравнение Бернулли для несжимаемой среды (3.48). Постоянную С определим из условий на бесконечности: С=р + ро'/2.

Подставляя найденное значение в уравнение (3.48), находим р,'= р + ро~ /2 — ро'/2. Для определения давления в критической точке положим о = О. В результате Ро=р +Ро' /2. Формулой (3.54) можно пользоваться для определения давления в критической точке ро с учетом сжимаемости. Поскольку влиянием сжимаемости потока можно пренебречь только при малых значениях числа М, то, для того чтобы выяснить пределы применимости формулы (3.53), полученной без учета сжимаемости, в формуле (3.54) примем М„« 1.

При этом условии разложим правую часть выражения (3.54) в ряд по степеням 1(/о — 1)/21 Мо « « 1 по формуле бинома Ньютона: + — — ( — — 1) ( — — 2) ( — М ) + . или р,/р,. = 1+ (/о/2)М~ (1+ М~/4+ [(2 — /о)/24[М~ + ° ). Отсюда, учитывая, что (л/2)р М' = р о' /2, имеем ро = р + р р~ /2 (1 + М~,/4+ [(2 — /г)/24! Мо + ) Представим это выражение в виде ро=/г + НР о )/21(1+ор) где ор — — 1 + Мфц/4+ [(2 — й)/24] М~ +.

(3.56) Сравнивая формулы (3.55) и (3.53), замечаем, что величина е, в формуле (3.55) представляет собой погрешность, отнесенную к скоростному напору при определении давления в критической точке без учета сжимаемости. Величину е, можно трактовать также как относительную поправку, учитывающую влияние сжимаемостн. Из формулы (3.56) следует, что величина е, зависит от числа М . Ниже приведены значения з, в зависимости от М при /о = 1,4: М..... О,1 0,2 О,З 0.4 0.5 0,6 ор . . . . 0,25 1,0 2,25 4,0 6 2 9 0 Отсюда следует, что. допуская ошибку не более 2%, при определении давления ро можно пользоваться уравнением Бернулли, полученным без учета сжимаемостн воздуха при М < 0,3. При больших скоростях (М )0,3) ошибка в определении р возрастает.