книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 6

Проекции скорости о, о, в наиболее общем случае неустановившегося движения жидкости (газа) являются функциями координат х, у, г и времени и о„= ~,(х, у, г, 1); Ъу — — ~,(х, у, г, 1); о, = ~,(х, у, г, 1). (2.6) Если в иксу ов " очке вел ны о о о, Р '""" " " д у мс а 25 о„ = 1,(х, у, з); ов —— 1, (х, у, з); о, = 1з (х, у, з). (2.7) я д ( ) ю, нек- то ой икс скости движ тся л ьн лоско- сти с одинаковыми око остями. плоскопараллельном о, =О не- станов емся п о = х 1 а в становив- шемся потоке Если движение жидкости (газа) симметрично относительно некоторой оси, т.

е. одинаково во всех плоскостях, проходящих через ось симметрии, то такое течение называется осесимметричным. Осесимметричными являются движения жидкости и газа в соплах и днффузорах круглого сечения, а также течение, возникающее при обтекании любого тела вращения потоком, направленным вдоль его оси. В некоторых случаях, например при обтекании конуса под углом атаки, скорость сохраняет постоянное значение вдоль прямых, проведенных из некоторой фиксированной точки. Такое течение называется коническим, а фиксированная точка — полюсом конического течения.

й 2.2. ЛИНИЯ 70КА Рассмотрим в момент времени 1 какую-либо точку пространства, заполненного жидкостью. Пусть скорость находящейся в ней частицы жидкости изображается вектором о, (рис. 2.1). В этот же момент времени 1 возьмем на векторе скорости о, точку 2, бесконечно близкую к точке 1. В этой точке находится другая частица жидкости. Так как точка 2 имеет другие координаты, чем точка 1, то и скорость в ней другая, изображаемая вектором о,. В тот же момент времени 1 возьмем на векторе скорости о, точку 3, бесконечно близкую к точке 2. В ней вектор скорости о, и т.

д. В результате такого построения (в данный момент времени) получается ломаная 1-2-3-4-5-..., обладающая тем свойством, что вектор скорости, соответствующий начальной точке любого ее звена, направлен вдоль этого звена. Будем неограниченно увеличивать число звеньев ломаной, устремляя к нулю длину каждого ее звена.

Тогда в пределе (рис. 2.2) получится кривая, называемая линией тока, Следовательно, линия тока обладает тем свойством, что каждая частица жидкости (газа), находящаяся на ней в данный момент времени, имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной к втой линии. Рассмотрим распределение скоростей в момент времени Если движение неустановившееся, то в момент 1' в точке 1 скорость о, отлична от вектора о,. Следовательно, для того чтобы передвинуться в соседнюю бесконечно близкую точку, нужно двигаться по новому направлению, изображенному на рис. 2.1 пунктиром. Отсюда следует, что для момента у линия тока иная.

Это означает, что при не- Рис. 2.1. Построение линии тока Рис, 2.2. Линия тока (а) и трубка тока (б) э 2.3. ЦИРКаЛЯЦИЯ СКОРОСТИ В аэродинамике, как теоретической, так и прикладной, исключительно большое значение имеет понятие о циркуляции скорости. С величиной циркуляции связывается понятие интенсивности (напряжения) вихрей. От закона распределения циркуляции по размаху крыла зависят значения снл и моментов, действующих на это крыло, Выделим в движущейся жидкости произвольный фиксированный в пространстве замкнутый контур С (рис. 2.3). Пусть в некоторой его Р точке М скорость изображается вектором о.

Составим произведение о,йа, где о, — проекция вектора скорости на направление касательной к контуру в точке М. Возьмем от этого выражения криволинейный интеграл по дуге АВ. Тогда 27 . становившемся движении совокупность линий тока изменяется по .вре сл е е ст в ееся, т. е. скорости в точках 1, 2 " РРУ "" ' " "" " " Р не т а у-.у.я'--л . °,- .. иня линии тока и траектории совпадают. Составим дифференциальное уравнение линий тока. Из условия совпадения в данной точке линии Р + тока вектора скорости о(о„, о„о,) с касательной к этой линии йз(йх, йу, йг) следует, что Нх)[оа(х, у, г, 1)[ = йуУ'[оа(х, у, г, 1)[ = йг/[о,(х, у, г, 1)[. (2.8) Выражение (2.8) представляет собой дифференциальное уравнение линий тока.

Введем понятие о трубке тока. Для этого проведем в жидкости некоторый малый замкнутый контур С, не являющийся линией тока, и через каждую точку этого контура проведем линию тока. Совокупность проведенных таким образом линий тока образует поверхность, называемую трубкой тока. Жидкость, протекающую внутри трубки тока, принято называть струйкой. Г = ~ с,с(з. АВ (2.9) Зто выражение называется циркуляцией скорости по дуге АВ.

Обычно циркуляцию Г определяют по всему замкнутому контуру С: Г=ф ойг. (2.10) Направление обхода контура С будем считать положительным, если охватываемая контуром С область остается при этом слева. Заменяя в выражении (2.10) вх на в сова, получаем Рис. 2.3. Определение циркуляции скорости Г = фсо сов и из. (2.11) Замечая, что подынтегральное выражение в формуле (2.10)' является скалярным произведением векторов о и сЬ, циркуляцию представим в следующем виде: Г = ф схйх+ с„йу+ о,йг, (2.

12) где сх, о, о, — составляющие скорости потока. й 2А. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОИ ЧАСТИЦЫ 28 В кинематике твердого тела доказывается, что в общем случае движение твердого тела в каждый момент времени складывается из поступательного перемещения и вращения вокруг некоторой оси, называемой мгновенной осью вращения. Движение жидкости гораздо сложнее, так как всякая жидкая частица при своем движении не только перемещается поступательно н вращательно, но н деформируется. Рассмотрим в какой-либо момент времени г' движение бесконечно малой жидкой частицы. Пусть в некоторой точке М(х, у, г) внутри частицы (рис.

2.4) проекции скорости сутьо„(х,у,г),н(х,у,г),с(х, у, г). Тогда пРоекции скоРости в некото- У "~ м,1х,+хоУ+Усг+г,) рой точке М,(х+ хь у + уо г+ гД на поверхности частицы можно представить в виде сы = о (х + х„у + у„г + г,); х х м 1х,у,г) сн, = ви (х+ х„У + У„г+г,); х Скт Ве (Х+ Хт У+ УЫ г + гт)" г Воспользовавшись разложением в рис. 2А. дннжение частицы жид- ряд Тейлора и удерживая в нем кос~и только величины первого порядка малости, т.

е. члены, содержа- щие хо уо г, в степени не выше первой, получим следующее выраже- ние для скоростей; дох дох о„, = о„+ —" х, + —" у, + — ' г; дх ду дх до„до до оог — — о„+ —" х + — "у,+ — ох,; дх ду дх (2.13) до, до до оы = оо + — х1 + — ух + — зо дх ду дх до„ ! / до„ до„ ! ! ~ до о„! = о„+ — "х, + — —" + —" у, + — — ' + — ' з, + дх 2 ~ ду дх ) 2 ~ дх дх ) Аналогичными преобразованиями нз второго и третьего уравнений (2.13) можно получить: о„, = о„+ —" у, + — ~ —" + — ") х, + — ~ — ' + —" ~ г, + ду 2 дх ду ) 2 ~ ду дг ) 2 ~ дх ду ) 2 ~ ду дг ) до, ! У до„ до '! ! / дох до о„=о,+ — 'х,+ — — *+ — ' х,+ — — '+ — о у,+ дх 2 ~ дг дх/ 2 ! ду дх) Введем обозначения: до„д „) 2 ~ дх ду ! (2.14) (2.15) 29 где для краткости положено о„= о„(х, у, г), о = о (х у ) = о,(х, у, 2).

Преобразуем этн выражения, для чего прибавим к правой части до„ 1 до первого уравнения (2.13) величины ~ — —" у и ~ — — ' х,и пе- 2 дх х 2 дх регруппируем члены. В результате будем иметь е„= до„/дх, еи — — дои/ду, е, = до,/дг. (2. 16) Тогда полученные выше выражения для ои„о,„о„можно представить в виде о„ = о„ + (вег, — в,у,) + еехт + (еиг, + е,у,); ои, — — ои + (в,х, — а г,) + еиу, + (е,х, + е„гт); о„= о,+ (в„у,— вях,)+ е,г,+ (еех,+ е„у,). Рассмотрим вспомогательную квадратичную функцию Ф .= (1/2) (е„х~ + еиу~~ + е,г1 + 2е„у,г, + 2е„х,г, -1- 2е,х,у,), (2. 17) (2.18) Выясним смысл слагаемых дФ/дх„ дФ/ду,, дФ/дг,. Прежде всего из физических соображений ясно, что жидкая частица при движении деформируется.

Члены дФ/дх„дФ/ду„дФ/дг, представляют собой компоненты скорости деформации частицы. Покажем это на простом примере. Рис. 2.5. Деформация частицы жидкости 30 производные которой по координатам хп у„ г, имеют вид дФ/дх, =е„х,+еиг,+ е,у,; дФ/ду, = еиу, + е„г, + е,х,; дФ/дгт = ег, + е„у, + еих,. С помощью функции Ф выражения для проекций скоростей можно представить в следующем компактном виде: о„, = о„+ (аиг, — е,ут) + дФ/дх,; (2.20) о„ = о, + (в„у — в„х,) + дФ/дг,. Выясним физический смысл выражений (2.20).

Члены о„, о, о, представляют собой, очевидно, проекции скорости поступательного перемещения рассматриваемой частицы в пространстве твердого тела; члены (а,г, — а,у,), (а,х, — а„г,), (а„у, — а„х,) — проекции угловой скорости частицы жидкости (так же как твердого тела) вокруг мгновенной оси, проходящей через точку М.

Такое вращательное движение частиц жидкости называется вихревым движением, а компоненты угловой скорости а, аю а,— компонентами вихря. 9 Как следует из равенств (2.14), в = — го1 о. (2. 21) 2 Пусть бесконечно малая жидкая частица имеет в момент времени / форму прямоугольного параллелепипеда. Для упрощения рассмотрим проекцию этой частицы на плоскость х, у, т.

е. бесконечно малый прямоугольник МВРС (рис. 2.5). Если компоненты скорости в точке М(х, у) прямоугольника обозначить о„, о„, то составляющие скорости в точках С(х+ х,, у) и В(х, у + у,) можно представить в виде. (с точностью до малых первого порядка) оьс = ох+ (доь/дх) хг оьс = оэ+ (доя/дх) хй ояв = ол+ (доя/ду) уг оьв = од+ (дог/ду) уь. (2.22~ Поскольку рассматривается относительное перемещение точек С и В (относительно точки М), приведем равенства (2.22) в следующем виде: о„с — о„= (др„/дх) хо оьс — оь — — (до„/дх) х,; о„— о, = (до„/ду) уо оьв — о„= (доя/ду) у,. 3! Очевидно, что скорости (до /дх)х, = е„хо(доя/ду)у, = еьу, являются скоростями линейной деформации ребер прямоугольника МВРС„ скорости (до„/дх)хо (й~„/ду)у, указывают на поворот ребер МС и МВ (рис. 2.5), т. е.

являются скоростями деформации скашивания прямоугольника МВРС в некоторый косоугольник (пунктир на рис. 2.5). Очевидно, что ребро МС поворачивается с угловой скоростью до„/дх„ а ребро М — с угловой скоростью до /ду. Так как скорость изменения прямого угла ВМС складывается из угловых скоростей вращения ребер МС и МВ, то, следовательно, она представляет собой сумму: до„/дх + до,/ду = 2з,. Проводя аналогичные рассуждения для других граней параллелепипеда (или нх проекций на координатные плоскости), можно так же просто показать, что величина (до,/дг)г, = е,г, является скоростью линейной деформации вдоль оси г и что значения угловых скоростей скашивания остальных прямых углов параллелепипеда выражаются соотношениями до,/ду + до„/дг = 2з„и до,/дх + до /дг= = 2зь. Из изложенного следует, что величины дФ/дх„дФ/ду„дФ/дг, действительно представляют собой компоненты скорости деформации жидкой частицы, причем величины з, ею е, характеризуют деформацию скашивания, а величины е„, ею е, — линейную деформацию (растяжение или сжатие).