книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 4

Молекулярное строение жидкостей и газов при этом учитывается косвенно — через физические свойства среды — плотность, вязкость, теплопроводность и др. Гипотеза сплошности среды неприменима для сильно разреженных газов, когда длина свободного пробега молекул становится соизмеримой с линейными размерами обтекаемого тела. В рамках гипотезы сплошности основными параметрами, характеризующими среду, являются плотность р, давление р и температура Т. В термодинамике часто вместо плотности р используется удельный объем У = 1/р. Уравнение состояния газа. Рассмотрим некоторые сведения из термодинамики, которые необходимы для изучения свойств потоков газа.

К ним прежде всего относится уравнение состояния газа. Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давлением, плотностью и температурой), существует определенная зависимость. Уравнение )1р, р, Т) = О, устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния. Поэтому состояние любого газа определяется дву- 16 мя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния. Для идеального газа уравнение состояния можно представить в виде р=Д2Т, (1.1) где )с = 8314/т — газовая постоянная, зависящая от относительной молекулярной массы газа т.

Для воздуха т = 29, )с = = 287 Дж/(кг К). Под идеальныи газом принято понимать газ, в котором взаимодействие молекул между собой осуществляется посредством упругих столкновений, а линейный размер молекул по сравнению со средним молекулярным расстоянием мал. Многочисленные эксперименты подтверждают справедливость уравнения (1.1) и для реальных газов в широком диапазоне изменения давления и температуры. Существенное отклонение свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давлениях и низких температурах.

При высокой температуре термодинамические свойства воздуха могут также существенно отличаться от свойств идеального газа. В этом случае в молекулах возбуждаются колебательные (внутренние) степени свободы. При более высокой температуре (Т ~ 2000 К) происходит диссоциация молекул, а при дальнейшем увеличении температуры (Т ) 5000 К) — ионизация газа. Степени диссоциации и ионизации зависят от температуры и давления. Повышение температуры и снижение давления приводят к увеличению степеней диссоциации и ионизации. До наступления диссоциации относительная молекулярная масса т и соответственно газовая постоянная не изменяются.

Уравнение состояния для воздуха в этих условиях совпадает с уравнением (1.!), где )с = сопз!. Для диссоциированного и ионизированного воздуха относительная молекулярная масса уменьшается и зависит от температуры н давления т = т(Т, р), а газовая постоянная !с соответственно возрастает: )т = Р(Т, р). Например, при Т = 10000 К и р = !О Па газовая постоянная /! = 614, 2 Дж/(кг К). В тех случаях, когда Я = ЦТ, р), уравнение, устанавливающее связь между параметрами состояния газа, усложняется !21). При этом вместо уравнения состояния можно пользоваться соответствующими таблицами термодинамических функций !30) или диаграммами состояния газа (12).

Е Е2. УДЕЛБНЫЕ ТЕЕЛОЕМКОСТИ ГАЗА Рассмотрим некоторый произвольный термодинамический процесс Количество теплоты дд, подведенное к 1 кг газа в этом процессе, выразим через приращение температуры газа АТ: дд = сдТ. (!.2) Множитель с, представляющий собой количество теплоты, необхо- ГГ ср,хДгяхгх оа га о таас иола гаао гаага т,л В термодинамике и газодинамике важное значение имеет отношение теплоемкостей и = ср!с,. Величина й зависит прежде всего от структуры молекулы газа. Так, для идеальных одноатомных газов А = 1,66, для двухатомиых газов, в том числе и для воздуха, /г = — 1,4, для многоатомных газов й = 1,33.

Удельные теплоемкости реальных газов с„ср зависят от температуры — прн ее увеличении удельные теплоемкости возрастают. Как указывалось выше, прн высокой температуре свойства воздуха существенно отличаются от свойств идеального газа с постоянными тепло- емкостями. При возбуждении внутренних степеней свободы молекул, диссоциации молекул компонентов воздуха и ионизации атомов подводимая к воздуху теплота идет не только на увеличение энергии поступательного движения молекул, но и на увеличение энергии вращательного, колебательного движения атомов, преодоление сил взаимодействия между атомами при диссоциации и отрыв электронов от атома при ионизации. Вследствие этого теплоемкость воздуха при высокой температуре значительно возрастает.

Ввиду того что теплоемкости с„ср зависят от температуры, их отношение й также изменяется с температурой — при ее увеличении оно уменьшается. Поскольку при одной и той же температуре понижение давления приводит к усилению эффектов диссоцнацни и ионивации, то удельные теплоемкости с„ср и их отношение зависят также от давления: с,(Т, р), ср(Т, р), ЦТ, р).

Зависимость ср от температуры при различных давлениях воздуха показана на рис. 1.1. А ал, пеРВыи зАкОн тяРИОдинАмики. Фагнкции сОстОяния ГАВА Первый закон термодинамики. Пусть некоторое количество газа находится в равновесном состоянии. Обозначим йЯ количество подведенной к газу извне теплоты. В общем случае подвод теплоты приво- Рнс. 1.1. Изменение удельной теплоемносгн воздуха в завнснмостн от температуры н давления: г — с = С г — р-мо хпм г — р-~ою пе р= димое для подогрева 1 кг газа на 1 град в данном процессе, называется удельной теплоемкостью.

Удельная теплоемкость существенно зависит от характера процесса. Рассмотрим теплоемкости, соответствующие процессам, происходящим при постоянных объеме с, и давлении ср. Зависимость между удельными теплоемкостями идеального газа с, и ср определяется следующим соотношением: ср — с„= )с. <1.3) дит к изменению внутренней энергии газа Н/ и объема.

При изменении объема газ совершает внешнюю работу, равную Ж = рс(У. Поэтому ,Ц = й(/+ рдУ (1. 4) или, относя все величины к 1 кг массы газа, получим (1.5) Нд = с!и + рй (1/р), где с(д — суммарная теплота, подведенная к 1 кг массы газа извне-„ йи — изменение внутренней энергии 1 кг массы газа; рй(1/р) — работа, затрачиваемая на расширение (1/р — объем, занимаемый 1 кг массы газа).

При постоянном объеме йУ = О, йЯ = а(/ или с(а = йи, т. е. вся теплота, подводимая извне к газу, целиком тратится на увеличение его внутренней энергии. Поэтому аи = с,аТ. (1.6) Пренебрегая зависимостью с, от температуры и имея в виду, что при Т = — 0 и = О, имеем и=с,Т. (1.7) Внутренняя энергия является одной из функций состояния газа. Используя формулу (1.6), уравнение (1.5) можно представить в виде Ыд =с„ЫТ+ рй(1!р). (1.8) Уравнения (!.5) и (1.8) являются математическим выражением первого закона термодинамики. Энтальпия, Введем еще одну функцию состояния г, определяемую соотношением (1.9) с(! = сейТ или, пренебрегая изменением с, представим (1.9) в виде 1 =.

с,Т. (1.10) Эта функция называется энтальпией. Из определения энтальпин (1.9) следует, что ее приращение а! представляет собой приращение теплоты йд в процессе р = сопз!. Имея это в виду, из уравнения (1.8), интегрируя его в предположении р = сопз(, получим ! = и+ р!р. (!.11), Используя уравнение (1.1), а также выражения (1.3) и (1.10), имеем ' = (а/(и — 1)! ~Т1= (й!(и — 1Н р!р. (1.12) Из формулы (!.12) следует, что для идеального газа энтальпия зависит только от температуры и пропорциональна ей. Отметим, что для реальных газов энтальпия является функцией двух любых параметров состояния, например температуры и давления: ! = (Т, р).

Энтропия. При изучении течения газа часто пользуются еще од- !9 ной функцией состояния газа г, которая называется энтропией. Эта функция определяется дифференциальным соотношением йз = й01Т. (1.13) Найдем выражение для энтропии в конечной форме, предварительно установив связь между энтальпией и энтропией. Так как из (1.13) Тоз = йа и, как следует из уравнения (1.5), йд = йи + рй(1/р) = = й(и + р/р) — йр/р = Ж вЂ” др/р, то Тйз = й( — йрl р. (1.14) Заменяя Ж на с»йТ и учитывая, что на основании уравнения состояния (1.1) йр/р=РАТ вЂ” рй(1/р), получаем йз = с»йТ/Т вЂ” ~Яз†— рй(1/р))/Т, откуда после простых преобразований имеем сЬ = Й ([1/(й — 1) [ ЙТ~Т + й (1![) (1Iр)).

(1.15) Интегрируя дифференциальное уравнение (!.15), находим выражение для энтропии: з = )с 1п (Тп'» "/ р) + сопз1. (1.16) Из формулы (1.16) следует, что энтропия з является функцией состояния газа, зависящей от двух независимых параметров состояния (в данном случае Т и р). Пользуясь уравнением состояния (1.1), нетрудно выразить энтропию через другие параметры, например через' Р Р: 3 = с»!и (р/[~ ) + соп51. (1.

17) Реальные течения сопровождаются необратимыми потерями энергии и теплообменом с окружающей средой. В необратимых термодниамических процессах энтропия растет (йз) О), а в обратимых процессах она остается неизменной (йз = О). Из выражения (1.17) следует, что если энтропия з = сопз1, то р!с» = сопя!. (1.18) Процессы, протекающие с поспюянной энтропией, называют изэнтропическими. Используя выражения (1.18) и уравнение (1.1), для изэнтропнческих течений получим следующие соотношения: р»Iр, =(р»lр,)', р,lр, = (Т»1Т,))н" и; р,Iр, =(Т,/Т,) и» и, (1.19) где индексы 1 и 2 относятся к каким-либо двум состояниям газа в изэнтропическом процессе. .а 1А.

сжВмлемОсть ГАВА. скОРОстБ зВуГ»А Важным свойством газа является сжимаемость — свойство газа изменять объем, а следовательно, и плотность при изменении давления и температуры. Предположим, что изменение давления на величину Ьр вызывает изменение плотности на величину Ьр. При этом сжимаемость газа характеризуется отношением йр/Ьр. Чем больше Ьр при яо заданном сзр (чем меньше отношение Лр/Лр), тем сжимаемость газа больше. Это отношение при Лр — 0 и Ьр — 0 определяет скорость распространения малых возмущений — скорость звука: а = ) с(р/с/р. (1.20) В несжимаемой среде а = оо.

Эту формулу легко получить, пользуясь известной формулой распространения звука в упругой среде а=) Е/р, а,м/е лапа 2паа /апа а /апп аппп рппа спера т, и Рис. 1.2. Зависимости скорости звука от температуры и давления: с-а- У аяг; з — р-соо па; з — р-соо «па; л=соо мп« (1. 21) где Š— модуль объемной упругой деформации. Изменение давления на малую величину с(р в сжимаемой среде вызывает изменение объема на с(У, причем с(р = — Ес(У/У. Здесь с/У/У = = — с(р/р.