книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 14

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ОДНОМЕРНЫХ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ ПОТОКОВ ГАЗА Рассмотрим изэнтропическое течение газа вдоль трубки тока (рис. 4.1). Установим связь между основными параметрами — скоростью, давлением, плотностью, температурой, скоростью звука. Обозначим ао („То р„р,, а, параметры потока в сечении А„В,; о, 1, Т, р, р, а — эти же параметры в сечении АВ. При изэнтропическом течении газа энтропия вдоль линии тока не изменяется: з = сопз[. Энтропия является функцией состояния и для идеального газа определяется по формуле (1.17) з = с,1п(р/р»).

Еслч з = сопз1, то р/р' = сопз1. Тогда, рассматривая два сечения трубки тока А,, В, и АВ, получим (р/р,) = (р/р,)». Для тех же сечений на основании уравнения состояния идеального газа р/р, = = (Т/Т~йр/Р~) Используя это выражение для нзэнтропических течений, получаем связь между давлением и температурой газа р/р, = = (Т/Т,)»~» — ' а также между плотностью и температурой газа р!р,= = (Т/Т,) «»-~. На основании уравнения (3.52) для сечений А,В, и АВ можно написать (+ о'/2 = 1, + о',/2. Если положить о, = 0 и при этом 1 обозначить 1„ то (4.1) 1+ ог!2 =- (о или ое(2+ [й!(й — 1)] КТ = [й](й — 1)] РТо. (4. 1') Из этих выражений следует, что при 1» = сопз[ с изменением скорости течения газа изменяется н значение энтальпии (температура газа). Это одно из А характерных отличий течения газа от тече- А ния несжимаемой среды, температура ко- 1, тс торой изменяется только при подводе теп- 1 р, =т лоты извне или при отводе ее наружу.

р, В Условия движения жидкости, например сужение или расширение струи, не могут 1 вызвать изменения ее температуры (если Рне. 4,1 Одномерное тече- пренебречь трением). В газе же темпера- нне ганн 61 тура изменяется в зависимости от условий его движения; с уменьшением скорости течения температура газа возрастает.

Наибольшая температура достигается при о = О. С другой стороны, из уравнения (4.1) видно, что скорость газа, обладающего в состоянии покоя определенной энтальпией, не может превышать некоторого максимального значения о,„, при приближении к которому величины «, Т, р, а стремятся к нулю.

Скорость потока достигает максимального значения при расширении газа до абсолютного вакуума. В этом случае « = птах 2, откуда птах = У2«о ° (4.2) Из выражения (4.2) можно сделать вывод, что максимальная скорость п,„является функцией только энтальпии «,. Используя формулу «, = [А/(lг — 1ЦРТо и уравнение состояния р, = РроТ„а также формулу скорости звука а', = 7«УТ„выражение (4.2) для о,„представим в виде — / 2о / 2Ь ро / 2 ошах = )' 2«о = иТо = ~ = ао' ~/ь 1 ~/ь — «г, 1/ь — 1 (4. 3) Параметры газа, соответствующие о = О, называются параметрами торможения.

В частности, давление, плотность, температура и энтальпия, соответствующие этому состоянию, называются давлением, плотностью, температурой и энпюльпией торможения и обозначаются р„р, Т„«,. Как видим, формула (4.3) отражает связь между максимальной скоростью потока и значениями параметров торможения. Отметим, что давление р, не влияет на величину о,„, а только лишь на величину расхода газа. Определим, в какой мере повышается температура газа при его торможении от некоторой скорости о до нуля. Из уравнения (4.1') ЬТ = То — Т = ((й — 1)l(2й)1 оНй. При й = 1,4 и )х = 287 Дж/(кг К) имеем /хТ с'/2000. Чтобы вывести формулы для определения давления, плотности, температуры и скорости звука в зависимости от скорости потока, надо воспользоваться уравнением (4.1), приводя его в виде «У«о — Т1 То —— 1 — о / Ртах (4.4) Считая течение газа изэнтропическим и подставляя выражение (4.4) в формулы р/р, = (Т/Т,)'«' — г«, р/р, = (Т/То) "«' — ««, получаем: рlр (1 о /п,„) (4.5) «о«Ро (1 о /оеах) 1 (4.6) Т(То = 1 — о'/и„оо.

(4.7) а аз о и=пар пмяк т" Рис. 4.2, Зависимости давления, плотностк и температуры от скорости потока Рис. 4.3. Изменение скорости звука в зависимости от скорости потока (4. 8) 69 Пользуясь формулой (4.6), можно установить, что при малых скоростях течения плотность изменяется весьма незначительно. Действительно, разлагая р/р, в ряд, получаем р(ра = 1 — [1!(й — !)! оз/ пз„,„+ ((2 — А) /(2(А — 1)з)) о'/о'ак— Отсюда, отбрасывая малые величины выше второго порядка, находим (Р РО)(ро= (1'((е 1)) о /Йак ° Если принять Т, = 288 К (о „= 756 м/с), то при скоростях а(?5 м/с плотность будет изменяться в пределах 2%.

В этом случае для давления, используя формулу (4.5), находим (кс1(кс 1)) а/ з; + Подставляя сюда выражение (4.3) в виде а „= '12й/((е — 1))р,/р, и отбрасывая малые члены выше второго порядка, имеем р = р,— — ро'/2, т. е. при малых скоростях движения газа давление определяется из уравнения Бернулли для несжимаемой среды. Зависимости давления, плотности и температуры от скорости течения газа (в безразмерных величинах) представлены на рис.

4.2. Полученным зависимостям нетрудно дать простое физическое толкование. При изэнтропическом течении газа возрастание его кинетической энергии может происходить только прн условии понижения потенциальной энергии газа. Поэтому увеличение скорости потока при изэнтропическом течении газа связано с падением его температуры и давления. Но так как при этом давление падает интенсивнее, чем температура, то плотность газа с ростом скорости течения уменьшается.

Так как скорость звука в потоке газа зависит от температуры ~см. (1.24)], то аз/а3= Т(ТО = 1 — о'/о',„, где а, — скорость звука при и = О. Используя формулы (4.3), получаем а = [(й 1)/2[ (о~пах о ) ° (4. 9) Из формулы (4.9) следует, что с увеличением скорости потока скорость звука уменьшается и при некоторой скорости потока становится равной ей (рис.

4.3). Эта местная скорость потока, равная местной скорости звука, называется критической скоростью и обозначается а„р. Сечение трубки тока, в котором местная скорость потока равна местной скорости звука, называется критическим. Все остальные параметры потока — давление, плотность, температура — при о =- а„р тоже называются критическими и обозначаются соответственно р„р, Рор 7 ор. Если в фэрмуле (4.9) скорости и и а считать равными а„р, то ад = [(й — 1)Яй+ 1)[ о',„.

(4. 10) Для воздуха (й = 1,4) критическая скорость а„р — — 0,408 п,„. Из выражения (4.10) следует, что критическая скорость зависит только от температуры торможения Т,. Действительно, подставляя в (4.10) значение ц„„по формуле (4.3), имеем аор [(й — 1)l(й + 1)[ 2го — — [2йl(й + 1)[ ЙТо = [2й7(й + )[ роли[о (4.11) В частности, по формуле (4.11) для воздуха [й = 1,4, = 287 Дж/(кг ° К)) а„р — — 18,3 УТо.

(4.12) Если критическую скорость аор выразить через критическую температуру Т„р, то на основании формулы а„р —— [/ййТ„р а„= 20,1)' Т„р . (4.13) Для температуры газа Т„р, соответствующей критической скорости, по формуле (4.7) 2 2 Тор(То = 1 акр! оеао ~ откуда, используя формулу (4.10), получаем Т„р — — [21(й+ 1)! Т, (4. 14) Так как для изэнгропического течения р„р/ро = (Тор/То)ьчо р/р„~ = (Т„р7То)ю<о — '~, то ., = [27(й+ 1)["'"-н р.; (4.15) [21(й [ 1)[опо — и (4.16) Таким образом, все параметры газа в сечении, где скорость пото- 70 ка достигает скорости звука, являются функцвями только параметров торможения Т„р„рь.

Формулы (4.14) — (4.16) при /ь = 1,4 принимают вид Т„= 0,831То) ркр = 0 636ро' ркр = 0*528ро. о'/о„,„=(а'/ао)(ао/о ) (оь/а') =(1 — о'/о,„)](й — 1)/2]Мь, откуда а 1 [(ь — 1))21 м' ьз ! + [(Ь вЂ” 1)!2[Мь 1 + [(ь — 1)/21 мь С другой стороны, учитывая равенства (4.10) и (4.18), имеем оь/о „= (а,р/о,„)о'/а„р — — [(й — 1)/(/ь+ 1)] Ль. Следовательно, 02 ь — 1 (4.19) ьь 1+ (Ь вЂ” 1) М'/2 Ь+ 1 откуда М 2 )' 1+ (ь — В м 12 (4.20) Используя выражения (4.19), формулы (4.5) — (4,7) ти к виду р /р = [1 + (/г — 1) Мз/2] р,/р = [1+ (й — 1) Мь/2]" ('-'>; Т,/Т=[+(й — 1)М/2 можно привес- (4.21) (4.22) (4.