книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 12

Я 8.8. АЭРОДИНАМИЧЕСХОЕ ПОДОБИИ Методы теории подобия используются как при теоретических, так и при экспериментальных исследованиях аэродинамических характеристик летательных аппаратов и их элементов. Важное значение теория подобия имеет в экспериментальной аэродинамике. Она позво- ляет установить требования к моделям, к условиям проведения эксперимента в аэродинамических трубах и к обработке результатов испытаний моделей, которые обеспечивают возможность перенесения данных эксперимента на натурные объекты. Понятие о подобии потоков.

Рассмотрим два потока, обтекающих натурный объект и его модель. Назовем сходственными такие точки этих потоков, которые геометрически подобно расположены относительно рассматриваемых тел, т. е. координаты таких точек удовлетворяют условию х, = К,х„у, = К,у„г, = К,гь где К, — линейный масштаб. Аналогично можно ввести понятие о сходственных моментах времени: 1, = К,1,. Здесь К, — масштаб времени. Два потока называются подобными, если все физические величины для любых сходственных точек и в любые сходственные моменты времени пропорциональны друг другу, т. е. два подобных потока в сходственных пространственно-временнйх точках различаются между собой только масштабами характерных величин. Подобие потоков предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобия.

Кннематическое подобие означает, что в сходственных точках геометрически подобных потоков в сходственные моменты времени отношение скоростей о,/о, = К„ одинаково. Здесь К, = К,К~~— масштаб скорости. При геометрическом и кинематическом подобии отношение ускорений движения в сходственных точках К„= ш,/ш, = = К,К,з также одинаково.

Потоки называются динамически подобными, если силы, действующие на их сходственные элементы в сходственные моменты времени, пропорциональны, т. е. при этом должно соблюдаться подобие сил— инерционной силы, сил давления, вязкости и массовой силы соответственно. Критерии подобия. Рассмотрим условия динамического подобия при обтекании тел потоком вязкого сжимаемого газа. Для этого составим систему уравнений — уравнения Навье — Стокса, неразрывности, уравнения энергии и состояния газа, а также соответствующие граничные и начальные условия в безразмерной форме, Прн этом будем считать ц = сопз), Х = сопз1, с„= сопз1.

Примем за характерную длину некоторый линейный размер (например, хорду крыла или длину корпуса). Другие характерные величины — нх значения в невозмущенном потоке: скорость о, давление р, плотность р„, температура Т„, энтальпия 1, кинематическая вязкость ч, характерное время процесса 1 = 1/о . Введем следующие безразмерные величины: х'= х/1, у' = у/1, г' = г/1, 1' = 1/1, о' = о/о, р' = р(р, р' = р/р .

Т' = Т/Т„, у ' = = т/т, 1' = //д. Здесь 1 — вектор единичной массовой силы. Преобразуем сначала уравнения Навье — Стокса (3.24) и уравнение неразрывности (3.4). Выражая в них все размерные величины через безразмерные, получаем: "сю до' '~ ( ~ до' ~ до' ~ ди' дк 1 )," дх' У ду' * дг' 58 йгад р 1 '~- ~чЛ'о'+ (~'/3) Ягад'(б!ч'о') ~; (3.57) р„с р' — — + — б!ч' (р'о') = О. (3.58) Здесь символы б!ч',ягаб', Л' означают, что дифференцирование производится в безразмерных координатах.

Уравнения (3.57) и (3.58) являются размерными. Однако в них размерные величины представлены в виде коэффициентов с одинаковыми размерностями. В уравнении (3.57) такими размерными множителями являются о' /1, р„/(р !), ч„о„/Р, о //, д (м/с'), а в уравнении (3.58) — р„/г„, р„о /! [кг/(м' с)1. Поделив на любой из указанных размерных множителей, получим уравнения в безразмерной форме.

Для того чтобы получить принятые критерии подобия, разделим обе части уравнения (3.57) иа величину о' /1, а уравнения неразрывности (3.58) — на р„о /1. Тогда лн дх' " ду' ' дг' с2 1 — — — — кгаб' р' + — ~ч'К и'+ — ягаб'(б!ч' и')); (3.59) Р... "„Р ч Г Х/(о / ) др'/д/'+ б!ч' (р'о') = О.

(3.60) Здесь р„/р = а' /й и (р /р )(1/о' ) = 1/(/гМ ). В этих уравнениях содержится ряд безразмерных параметров, составленных из размерных величин: о //д = Ке — число Рейнольдса; о /а = ̄— число Маха; о' /д1 = Гг — число Фруда; о 1 /1 = Ят — число Струхаля. Число Ке равно отношению размерных величин о„/1 и ч о /12, характеризуюцих соответственно инерционные силы и силы вязкости, и представляет собой критерий вязкости. Если для двух геометрически подобных потоков числа Ке одинаковы ((хе = 1беш), то в них одинаково проявляется влияние вязкости. Число М вЂ” критерий сжимаемости и характеризует отношение инерционной силы к силе давления. Если для двух геометрически подобных потоков одинаковы числа М (М =!беш), то в них влияние сжимаемости проявляется одинаково.

Число Рг определяет отношение инерционной силы к силе тяжести и является критерием подобия, учитывающим влияние силы тяжести газа. В задачах аэродинамики в большинстве случаев число Гг не имеет существенного значения, поскольку, как правило, влиянием тяжести воздуха в этих задачах можно пренебречь. Число 8Ь характеризует отношение конвективного ускорения движения частицы к локальному ускорению и учитывает нестационарность движения. Используя безразмерные числа 1ге, М, Гг, %, уравнения (3.59) и (3.60) представим в следующем виде: 1 до' БЬ дп дх' " ду' де' Рг + > — — —, йгаг]' р' + — ]х'Л' о'+ (~'!3) йгаб' (йч' о')]; (3.61) р йе (1/Яг) др'/др'+ г]!ч'(р'о') = О. (3.62) Аналогично, в безразмерном виде можно представить уравнение энергии (3.28), заменяя в нем полную производную выражением дТ дТ дТ дТ дТ вЂ” = — +о„— +о„— +о,—; Ж дГ " дх "ду * дг ду 1 (, х дх' Г ду' * дх' ) — У, + Х вЂ”" г]!ч'(ягаб'Т') + "— '"" Ф', ду Р 12 где Ф' — диссипативная функция, определяемая по формуле (3.27), в которой размерные величины составляющих скорости и координат заменены соответствующими безразмерными параметрами.

Поделим все члены уравнения на величину р„с,Т о 71. Кроме того, учтем, что на основании уравнения состояния идеального газа р !р = гсТ,где газоваяпостоянная Я = ср — с„ср/с„= й. Тсгда 1, дТ', Г ' дТ' ' дТ' ' дТ'1 Я ду ~ е дх' у ду' г дг') — — — — + — г]!ч'(йгагУ Т') + (й — 1) — Ф'. (3.63) х ЗЬ др ке Рг атее Здесь Рг = срр/Х вЂ” число Прандтля, являющееся мерой относительной значимости влияния вязкости и теплопроводности (Рг ~ 1; для воздуха прн Т < 1300 К число Рг ( 0,72).

Таким образом, число Рг является критерием подобия, учитывающим одновременно влияние вязкости н теплопроводности. Уравнение состояния газа в безразмерной форме имеет вид р =Р7 ° (3.64) К системе уравнений (3.61) — (3.64) необходимо добавить безразмерные начальные и граничные условия. К граничным условиям относятся безразмерные значения скорости, давления, температуры в невозмущенном потоке. Согласно выбранным характерным величинам, их значения равны единице.

На поверхности тела, уравнение которой должно быть в безразмерных координатах, граничными условиями являются равенство нулю безразмерной скорости (о' = 0), 60 а также условие, накладываемое на температуру. Граничные условия для скорости и давления нового критерия подобия не дают, а требование выполнения граничных условий для температуры приводит к дополнительным условиям подобия.

Это следует из граничного условия для температуры (3.38), приведенного в безразмерной форме: (а1/Л) (҄— Т,) = — дТ'/дп'. Здесь а1/Л = Кп — число Нуссельта. Безразмерное отношение Т„/Т = Т„'принято называть температурным фактором, Т; = Т,/Т„зависит от числа М (см. гл. 12). Число [Чп можно выразить через числа Стантона $1 = и/(срр о ), Це и Рг: [Чп =(срр/Л)(р о 1/Р) [а/(срр о ) = Ргйе$1.

Система уравнений в безразмерной форме позволяет установить условия, необходимые для подобия двух потоков. Рассмотрим два подобных потока. Из условия подобия следует, что безразмерные величины о', р', р', Т' в сходственных точках потоков и в сходственные моменты времени должны быть одинаковы. С другой стороны, параметры о', р', р, Т' являются решениями безразмерной системы уравнений (3.61) — (3.64) с безразмерными граничными условиями. Следовательно, для обоих потоков должны быть одинаковыми и уравнения с соответствующими граничными условиями. Отсюда следует, что если два потока вязкого газа подобны, то числа ме, М, Рг, 3п, Рг, Я и отношение с /с„а также температурный фактор Т„/Т для этих потоков должны быть соответственно одинаковыми.

В этом случае подобие потоков называется полным. Однако во многих случаях можно ограничиться условиями частичного подобия. Например, как отмечалось выше, в большинстве задач аэродинамики влиянием числа Рг можно пренебречь. При малых скоростях потока М(( 1 можно пренебречь и влиянием сжимаемости, т. е. числа М. Тогда в случае установившегося движения для подобия таких потоков требуется только равенство чисел Ке. При дозвуковых и умеренных сверхзвуковых скоростях основными критериями подобия являются числа Ке, М, 8п (в случае неустановившегося движения), Ы, в гиперзвуковом потоке неднссоциированного газа, кроме того, должны сохраняться величины температурного фактора, числа Рг и отношения удельных теплоемкостей л = с /с,.

Е ЗЭ. ЛОНЯтНЕ ОБ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ. ПРОИЗВОДНЫЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Аэродинамические коэффициенты. Рассмотрим два подобных потока: один — обтекающий натурный объект, а другой — обтекающий его модель. Выделив в потоках два сходственных бесконечно малых эле- 61 мента. Пусть на эти элементы действуют силы йЯ и й/~о создающие ускорения ир и шо Очевидно, можно составить следующие равенства: .сЯ = ирйт, й/гр — — ир,йт„где йт, йт, — массы этих элементов.