Бакулев (П. А. Бакулев. - Радиолокационные системы), страница 9

Отраженные объектами сигналы обнаруживаются на выходе приемника специальным устройством — обнаружителем. Так как отраженные сигналы маскируются собственными шумами приемника и внешними помехами и искажаются приемным трактом, а на процедуру обнаружения обычно отводится ограниченное время, решение этой задачи требует использования теории статистических решений.

Шумы и помехи являются случайными процессами, поэтому задача обнаружения ставится следующим образом: пусть наблюдаемый процесс 3(1) может быть либо помехой (шумом) э(1)=п(1), либо смесью сигнала с шумом у(1)=н(1)+п(1). По результатам наблюдения реализации Я1) в течение заданного времени 3;и требуется выяснить, какая из ситуаций имеет место, и сделать это следует наилучшим (оптимальным) образом. Следова- тельно, обнаружитель рис, зл. Сиама присна сипвлоа лч — линсйиаа часть присм(устройство обнару- ника, нэ-н«линейный элемент; ру-рсщмннкс усчрайстаа жения) за фиксированное время выносит одно из двух взаимоисключающих (альтернативных) решений: "есть сигнал"-"нет сигнала", поэтому при поиске (синтезе) структуры оптимального обнаружителя необходимо использовать методы теории статистических решений.

Рассмотрим схему устройства приема отраженных сигналов, изображенную на рис. ЗЛ. При согласовании полосы пропускания ЛЧ приемника (УПЧ) оУ'с длительностью импульса т„выбирают оГ=!/та. Такой выбор полосы максимизирует отношение сигнала к шуму, но при этом и сигнал искажается, вследствие чего возможны ошибки обнаружения, показанные на рис. 3.2. Видно, что при обнаружении сигнала путем сравнения Дг) с порогом в РУ возможны две ошибки. Ошибка первого рода — происходит ложное обнаружение шумового выброса п(г)~ лослсная тревога (ЛТ). Ошибка второго рода — за счет подавления шумом сигнал и()) не обнаруживается =ь пропуск цели (ПЦ).

Очевидно выбор оптимального правила (критерия) обнаружения связан с проблемой минимизации вероятностей (интенсивности или уровня) ошибок первого и второго рода. Пусть процесс у(г)=и(60) + ьп(1) протекает в непрерывном 1'ис. 3.2. Ошибки наи обнавужснии сигнала. у у()) или дискретном у=у(б)=у, х(~) — огибаошал смеси сигнала с шумом на входа РУ;уй) — смесь сипкша и шума иа выхо- Р лс УПЧ: в(г) — сигнал на выходе УПЧ, вр) Пространство входных реализашум на выхолс УПЧ ций обозначим Г, а пространство параметра 6 обозначим й.

Распределение вероятностей у = у(Г) зависит от 9, значение которого неизвестно. Последовательность величин у(г;) имеет п-мерную плотность распределения вероятностей зе(уЯ) при заданном значении.6. Введем множество решений Д с элементами ф и пространство решающих правил Ь с решениями ба Таким образом, решающее правило Ь(у) = с( отображает пространство реализаций Г в пространство решений Д.

При принятии решений возможны и неизбежны ошибки, приводящие к потерям, для учета которых вводится функция потерь или штрафов С(0,4, определяющая величину потерь С' при принятии решения с( в случае истинности ситуации 6. С помощью С(6,сс) можно оценивать качество выбранных правил решений, но с учетом специфичности этой функции. Наиболее часто для этого используют математическое ожидание функции потерь при известном 6 — так называемую функцию риска (условный риск): (е,б) = М(С(Е,б(у)) У0~ = )С(0б(у)) (уУ9) () .

(3.)) г Однако использование г(6,5) для выбора оптимального 5 затруднительно, поскольку его нужно знать для всех О, а функция С(0,5) сама зависит от О. При байесовом подходе 0 считают величиной случайной с априорной плотностью распределения вероятностей ига(8), которая из- вестна. Тогда можно вычислить средний риск: г(и(0) д) = ММ(С(0 Ю(у)/0) = )г(0 б)сйг(0) . ! (3.2) Байесово решение 6* минимизирует г . Оптимальное правило решений разбивает область Г на две области Г, и Г„, в которых справедливы альтернативные гипотезы Н, и Н„о на- личии или отсутствии ву(/) сигнала и(/).

Условная вероятность ошибки первого рода (ложной тревоги) Р= Р(а~, !Н ) = Р(уе Г~/О) = ~и(у!О)г/у г, Условная вероятность правильного необнаружения Р = ! — Р= Р(г/! Нв) = Р(уе Га/О), при атом условная вероятность ошибки второго рода (пропуска цели) 0= Р(г//Н,) = Р(уе Г„/0) = ) н(у/0)ду. г„ Условная вероятность правильного обнаружения 0= ! — 0= Р(г/ /Н>) = Р(уе Г, /0) . Здесь /) — мощность правила решений; Р— уровень значимости правила решений. Что касается априорных вероятностей состояний зг „то, например, при простом обнаружении и,(О)+1ге(!)= ! или р(0) + р(1)=!.

Если обозначить Р( ! ) = р, а р(О) = г/, то Р + д = 1. 3.2.Критерии оптиаяапьного обнаружения реходит в квадратную матрицу С, С„, С= С, Сп Можно положить Сев = С(О,г/е) = Сп = С(1,4) = О (потерь нет), и Си=С(О,</,) >О, С„= С(1,/„) >О, Критерий Байеса. Пусть О =! соответствует наличию сигнала в у(/), а 8 = Π— его отсутствию.

Множество решений Ие Д вырождается в два: д,— +8 = ! и 4-+8 = 0. ((! При простом бинарном обнаружении О =(, и функция потерь пе- (О' Задача обнаружения эквивалентна проверке гипотезы Н, о том, что 9 = 1, при альтернативной гипотезе Но о том, что 9 = О. По результатам наблюдения)н Г нужно выбрать одно из двух решений: 4 или 4. Класс решений Ьв 6 состоит из правил разбиения области Г иа две подобласти: Г~ и Го. Отыскание байесова решения сводится к выбору подобластей таким образом, чтобы средний риск был минимален: 5(у)= е/о при ув Г„ Ыу)=4 приув Го В случае простого обнаружения (9 1=1,9,=0) средний риск "=г/го+ рй где го=Свор(г/о/Но)+Со,Р(гЛ/НД=Соо(1 — Р)+фР— условный риск при 9=9; г~=С,ор(4/Н~)+Сир(А/Н~)=С~о(! — /))оСп/3 — условный риск при 9=1; р — априорная вероятность присутствия сигнала в у; д — априорная вероятность отсутствия сигнала в у; 0 — вероятность правильного обнаружения; р — вероятность ложной тревоги.

Тогда средний риск г =дС,+РСш+д(Со,— С, )Р= р(См — Сп)0=дС +РСм+ + ~~р(С1о — Сп)ш(у/!)-г/(ф— С, )ж(у/О))г/у. г, Поскольку о/Соо+рС,о — постоянная положительная величина, минимум У будет получен при р(С~о-Сн)зе(у/! ) е ц(Со ~-Соо)зе(у/О) или ри'(у/ 1) Со~ С о г/в(у/О) С,о — Сп (3.3) 48 Величина ш(у/1)Ло(у/1)=Л(у) называется отиошеииело приедоподо- / С„-Соо бия, а — " " =Тявляется порогом решения. Р С„-Смж Таким образом, алгоритм обнаружения состоит в следующем: если ЛеТ, то принимается решение б(у)=4, справедлива гипотеза Н„ у принадлежит области Го а если Л< Т, то принимается решение 6(у)= Ио, справедлива гипотеза Н„у принадлежит области Г„как это показано на рис.

З.З, при этом область Г разделена границей Т иа две области Г~ и Го. Рис. 3.3. Области гииагсл Недостаток этого критерия — необходимость знать априорные сведения о величинах р и с/. Один из выходов при неизвестных р и с/- принятие гипотезы их равенства: р = г/ = 0,5, тогда Т ~о~ ~со с„-с„' и алгоритм обнаружения имеет вид ГЛ,'. Т. (3.4) Критерий максимума апостериорной вероятности и максимума правдоподобия.

Известно, что согласно теореме Байеса формулы условных плотностей распределения вероятностей состояний О = 0 и 0 =1 имеют вид ж(0/у) = дв(у/О) /(он(у/О)+ /лг(у/1)), ж(1/у) = /ло(у/1)/(озг(у/0)+ /ло(у/1)] . Очевидно, что та ситуация правдоподобней, вероятность которой больше.

Если и/(О/у)>ля(1/у), то правдоподобней Н,, и нужно принять решение с!о. Если и(0/у)<то(1/у), то правдоподобней Н ь и таким образом, если /ли(у/1) г/н(у/0) то принимается решение г/ь справедлива гипотеза Ни у принадлежит области Ги /лг(у/1) е (у/о) то принимается решение г/о, справедлива гипотеза Но, у принадлежит области Го, т.е., как и в критерии Байеса, н(у/1)/ж(у/0) =Л(у), Т=р/г/. Это соответствует случаю, когда Сн= См= О, а См= См= С, причем средний риск « =(г/гьо(1-0)1С, а алгоритм обнаружения остается прежним: Л(у) > Т.

(3.5) Если априорные сведения о р и а отсутствуют, то их считают равновероятнымн р = а =1/2, и тогда Л(у); 1. Это так называемь<й критерий праадоподобия, или критерий идеального наблюдателя (Зигерта). Критерий Неймана — Пирсона. При критерии Неймана — Пирсона фиксируется вероятность ложной тревоги Г = сопяг, время обнаружения Т ь, и максимизируется вероятность правильного обнаружения /3, т.е. ищется такое правило решений 6(у), которое обеспечивает при заданном Г среди всех прочих решений максимальное /3.

Порог решения выбирается нз соотношения Р(Л(у)>7) = ~ ж(Л(у)/О)йЛ = « . г Доказывается, что для максимизации /3 необходимо использовать правило принятия решений Л(у~ "( ' ), Т. (3.6) ге(у / О) Ввиду того, что критерий Неймана — Пирсона не требует знания априорных вероятностей ситуаций О, в радиолокации он является основным. Мннимаксный критерий. Если априорное распределение и,(О) неизвестно, то байесово решение использовать нельзя, так как не удается найти г. При минимаксном критерии в классе решающих правил 6 ищут максимальные значения условных рисков г(0/6) при вариации Ь, т.е. находят «,„„„(0,6). Затем выбирают правило решений Ь*, обеспечивающее наименьшее значение риска среди полученных максимальных: шахе«( О, 6* ) < шахе«(0,5). (3.7) Здесь г(0б )-минимальный риск, причем пяп,пах„г(05)=ппх г(0 5).

Вальдом получена связь между минимаксным и байесовым решениями: минимаксное решение является байесовым относительно наименее благоприятного априорного распределения параметров Ое, максимизируюших байесов риск; пз)пь шахе «(0,6) = пиль г(й /5) . Функция «(О Ь ) не зависит от значений О. Таким образом, если байесов риск Е(1«е, Ь ) для некоторого не не зависит от О, то наиболее 60 неблагоприятно распределение»я, = »г„а байесово решение 6 — минимаксное.

Это позволяет облегчить отыскание миннмаксных значений и наименее благоприятных априорных распределений, которые часто оказываются равномерными. Критерий последовательной проверки гипотез Вальда. В рассмотренных критериях ограничивалось (фнксировалось) время принятия решений Т„„м или объем выборки у», уз,...,уь Однако можно заранее объем выборки не фиксировать.

При критерии Вальда область Г делится на три подобласти Гь Г, и Г, нижним Т„и верхним Т, порогами, как показано на рнс. 3.3,б: 6(у) = 4, если Л„<҄— в этом случае справедлива гипотеза Н„и у принадлежит области Г,; 6(у) = »»»,если Л,~Т, — в этом случае справедлива гипотеза Н, и у принадлежит области Г,; 6(у) = 4, если Т„<Л,<Т, — в этом случае принимается решение продолжить наблюдение. .(уг..у»(в () Здесь Л„=Л(у ну,,... р„.)= (Уг..У» ~ В = О) ' Таким образом критерий Вальда двухпороговый: Т„,'Л, ,'Т,.