rtc_tut_01 (Методы с сайта), страница 5

9 2 Расчет наименьшей аз я ности вхо ого сигнала и выхо ных егис ов множителей ов ого иль В качестве исходных данных для расчета наименьшего количества двоичных разрядов, отводимых для представления отсчетов входного сигнала цифрового фильтра, используются динамический диапазон сигнала =20~~(А „/А ) [дБ], где А, и А — максимальная и минимальная амплитуды входного сигнала, и отношение сигнал/шум квантования на выходе фильтра где Р, — минимальная мощность сигнала (в случае синусоидального сигнала 2 2 Р,=А,/2), Р =о, — допустимая мощность (дисперсия) шума квантования на выходе фильтра.

Примем, что разрядность входного сигнала и разрядность умножителей цифрового фильтра одинаковы. Кроме того, будем полагать, что входной сигнал масштабирован, и его максимальная амплитуда А = 1. Масштабированы пусть будут и коэффициенты фильтра, так что максимальное значение коэффициента передачи в полосе пропускания равно единице. В этом случае можно считать, что Р Аг ~2 10 — (БмэУш (б) -26- В соответствии с линейной шумовой моделью фильтра на входе фильтра и на выходе каждого умножителя «точно» представленные отсчеты сигналов суммируются с шумом квантования: Схема фильтра, таким образом, включает в себя несколько источников шума квантования. Их количество равно числу умножителей плюс единица (учитывается шум квантования входного сигнала).

Все источники шума считаются независимыми. В случае округления результатов умножений дисперсия шума квантования равна о =2 г/12, (7) где р — количество разрядов сигнала на выходе умножителя (без учета знакового). На выходе фильтра каждый источник шума квантования создает шум с дисперсией с; =с Хф;[и]), где я;[п] — импульсная характеристика части фильтра от 1-го источника шума до выхода. Суммирование квадратов отсчетов импульсной характеристики ведется для всех номеров и, при которых значения я;[п] существенны (не являются пренебрежимо малыми).В силу независимости источников шума полная дисперсия шума квантования на выходе фильтра равна сумме дисперсий отдельных источников: с, =~с,; . В результате анализа, основанного на изложенном подходе, 2 ~~Г 2 1 можно определить, как связаны дисперсии шума квантования на входе и выходе цифрового фильтра для различных структур фильтра.

1) Прямая и транспонированная структуры. =~' (ХЬИ)'+0~+ )~Ь М') где Š— количество умножителей в обратных связях (с коэффициентами а), т — количество умножителей в прямых связях (с коэффициентами Ь), я „[и] — импульсная характеристика рекурсивной части фильтра. -27- 2) Каноническая структура. о' =о' (([~+1)Х(у[п])'+ пт) Анализ канонической структуры (см. подраздел 6.2) показывает, что входной шум и шум умножителей рекурсивной части (коэффициенты а) проходят через весь фильтр, а шум умножителей с коэффициентами Ь непосредственно проходит на выход.

3) Каскадная структура со звеньями в виде прямых или транспонированных структур. о =о, С1сг...сь, г (10) где с;= Х(~;[и]) + ([~;+пт»)Х(~г,„; [п])~, 1=1,2,..., 1., (11) 1. — количество каскадов. Шум квантования, прошедший через первый каскад, характеризуется дисперсией с сь Этот шум является входным для следующего каскада, поэтому дисперсия шума на выходе второго каскада с, с1сг и т.д. Из этого рассуждения становится понятным, каким образом составлено выражение (10).

4) Каскадная структура со звеньями в виде канонических структур. г г О вых О вх С]Сг Сь р где с;= ([~;+1) ХЩ[п]) +гп;, 1=1,2,...,1. (12) 5) Параллельная структура со звеньями в виде прямых или транспонированных структур. ~ вых С~ вх 'хС1+Сг+. ° ° +СЬ) ~ (13) В случае прямой структуры, как видно из ее схемы (см. подраздел 6.1), шум всех умножителей проходит только через рекурсивную часть (умножители с коэффициентами а), в то время как входной шум проходит через весь фильтр. То же самое можно сказать и о транспонированной структуре (см.

подраздел 6.3). Дисперсия шума умножителей равна дисперсии входного шума с, поскольку, как указывалось выше, отсчеты сигнала везде 2 представлены одинаковым количеством разрядов р. Следует отметить, что числа К и т необязательно равны количеству коэффициентов а~ и Ьх, т.е. числам М и М+1 соответственно, так как некоторые из коэффициентов могут быть нулевыми или равняться единице.

В этих случаях умножители не применяются. где с, определяются выражением (11), 1. — количество параллельно включенных звеньев. 6) Параллельная структура со звеньями в виде канонических структур. о, =о, (с,+с,+...+сь), где с, определяются выражением (12), 1. — количество параллельно включенных звеньев.

7) Нерекурсивный фильтр. о', =о'„(Х(у[п])'+ гп) =о', (ХЬ|,'+ гп) (14) (см. рис. на с.19) . Допустимую дисперсию (среднюю мощность ) шума квантования на выходе можно рассчитать по формуле (б), в которой положить А =1. Затем из формул (8) — (14) выразить дисперсию входного шума квантования с, предварительно рассчитав отношение дисперсий для нужной структуры в соответствии с приведенными выражениями. Далее на основании выражения (7) получаем наименьшее количество двоичных разрядов: р= ш~ [ 0.5 шоу~ (1/(12о2, )) ] +1, (15) где т/ [ ] — операция взятия целой части. С учетом знакового разряда нужно полученное по формуле (15) значение увеличить еще на единицу.

При работе в среде Ма11.аЬ для расчета наименьшей разрядности сигнала и выходных регистров умножителей цифрового фильтра можно применить программу п~~ппЬ|1. Она вызывается следующим образом: » т~ппЬ|1 (Ь, а, О, й) Здесь Ь и а — векторы коэффициентов передаточной функции фильтра, 0— динамический диапазон входного сигнала [дБ], Й вЂ” допустимое отношение сигнал/ шум квантования на выходе фильтра [дБ]. Программа рассчитывает наименьшее количество разрядов (с учетом знакового) для структур перечисленных выше типов. Если фильтр рекурсивный, то производится расчет для девяти структур (см. с.

2б — 28). Если фильтр нерекурсивный, то для одной структуры (см. с.28 и рис. на с.19). Результаты расчетов выводятся в командное окно по завершении работы программы. Кроме наименьшей разрядности приводятся также значения дисперсии шума квантования на входе и выходе фильтра. Анализируя полученные результаты, можно выбрать оптимальную структуру, обеспечивающую заданное отношение сигнал/ шум квантования на выходе фильтра при заданном динамическом диапазоне и позволяющую установить самую маленькую разрядность отсчетов сигнала по сравнению с другими структурами. 9 3 Расчет испе сии а квантования на выхо е иль а п и за анной аз я ости отсчетов сигнала Поставим теперь задачу несколько иначе. Пусть разрядность входного сигнала, а также разрядность сигналов на выходах умножителей известна.

Нужно рассчитать дисперсию шума квантования на выходах различных структур цифрового фильтра, обладающих одной и той же передаточной функцией К(к). Поскольку дисперсия входного шума однозначно определяется количеством разрядов (см. (7)), то она одинакова для всех структур, а так как выражения (8) — (14), связывающие дисперсии шума квантования на входе и выходе различны, получается, что разные структуры будут давать на выходе шум квантования различной средней мощности.

Чтобы произвести расчет, вызовите программу с~иапос1: » циапос1 (Ь, а, р) Здесь Ь, а — векторы коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра; р — разрядность сигнала. Программа рассчитывает и выводит в командное окно дисперсию шума квантования на выходе фильтра для девяти перечисленных выше структур рекурсивного фильтра или для нерекурсивного фильтра, если задан именно он. Выводится также и значение дисперсии шума квантования входного сигнала. На основании анализа полученных результатов можно выбрать оптимальную структуру, обеспечивающую наименьшую дисперсию шума квантования на выходе. 10.

Моделирование работы цифрового фильтра Моделирование работы цифрового фильтра предполагает задание тестового сигнала, использование его отсчетов в качестве входных в алгоритме цифровой фильтрации, нахождение выходного сигнала и сравнение его с входным. Кроме того, полезно рассмотреть спектры входного и выходного сигналов и сопоставить их с частотной характеристикой фильтра. 10 1 За ание тестовых сигналов Данная процедура осуществляется в рабочей области Ма11.аЬ. Сигнал задается в виде вектора, сопоставленного с вектором моментов времени.

Перед вводом непосредственно модели сигнала нужно указать частоту дискретизации и сформировать вектор-столбец моментов времени. Например, В данном случае введена частота дискретизации 1кГц. Сигнал будет задан на интервале времени 1с (1001 отсчет). Последний оператор означает преобразование вектора-строки в вектор-столбец ~ ' — операция транспонирования матрицы).

Не следует забывать ставить точку с запятой в конце каждого оператора, чтобы подавить вывод значений на экран монитора. Рассмотрим некоторые из возможных сигналов. а) Прямоугольный импульс. » а=А' гес1рп!а (1 — 1аи/2, 1аи); При вводе этого оператора либо нужно предварительно задать значения амплитуды А и длительности чаи, либо в самом операторе вместо идентификаторов А и 1аи поставить численные значения.

б) Треугольный импульс. » а= А * 1при!а (1 — 1аи/2, 1аи); в) Экспоненциальный импульс. » в = А' ехр(-ТУ1аи); Подразумевается, что вектор 1 задан для моментов времени 1 > О. г) Синусоидальный импульс. » Я = А * з~п (Р~ * 17 чаи) .* (1>=0) .* 11<=1аи); Здесь используется тот факт, что операции сравнения возвращают 1, если неравенство выполняется, или 0 в противном случае.

д) Радиоимпульсы. Они получаются при умножении видеоимпульса в на гармоническое колебание: » в1 = в .* сов (2*р1*Й)*1 + рЫ); Предварительно нужно задать значение несущей частоты й) и начальной фазы рЫ. Обратите внимание, что операция умножения представлена здесь как .* (точка перед знаком *). Это означает поэлементное умножение векторов (в противном случае производились бы операция матричного умножения). В тех случаях, когда осуществляется умножение скаляров или матрицы (вектора) на скаляр, можно использовать символ *. То же самое относится к операции деления и возведения в степень. Ноэлементное деление матриц задается оператором . /, поэлементное возведение в степень . ~. Число тг задается в Май,аЬ как р1. е) Пачки импульсов. Для генерации конечной последовательности (пачки) импульсов одинаковой формы с произвольно задаваемыми задержками и амплитудами используется функция рййгаг1.

Она вызывается следующим образом: а= ри1е1гап (1, с1, Типе', р„, р2 ...) Здесь 1 — вектор значений моментов времени, с1 — вектор задержек и амплитуд импульсов, ГОПс'- имя функции, задающей одиночный импульс, например, 'гес1рЫе' или '1г1рп1е'; рь р2 ... — параметры одиночного импульса, передаваемые функции Гипс. Например, нужно задать прямоугольных импульсов: Вводится набор операторов: » Ре= 1еЗ; 1= 0:1/Ре:1; 1= 1'; » Тай= 0.1; » с1(:,1)= [0.05 0.25 0.55]'; » с1(.,2)= ~2 3 -1]', » а= ри1а1гап (г, с1, 'гес1ри1е', чаи); Если нужно построить последовательность импульсов произвольной формы причем отсчеты одиночного импульса записаны в векторе М, то используют следующую форму задания функции ри 1Мгап: е= ры1е1гап (1, с1, е1, Ре); Например, нужно задать пачку из четырех синусоидальных импульсов: Вводятся следующие операторы: » Ре=1е4; » 1= О:1/Ре:2е-2; 1=1', »1аи=2е-3; А=2; » М = а1п (р1 * 1 / чаи) .' (1<=1ап); » с1(:,1)= (О:3)' * бе-3; » с1(:,2)= А*спев(4,1); » а= рЫа|гап (К, с1, е1, Ра); ж) Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.