rtc_tut_01 (557476), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Достаточно в передаточной функции аналогового прототипа сделать подстановку (2), и будет найдена передаточная функция цифрового фильтра К(к): — 1 — 2 -М ЬО+Ь1~ +Ь2к +....+Ьмк К(х):— — 1 — 2 — Ь1 йО+ й 1 х + а2х + ....+ а1Ч.х Если ао ~1, то нужно разделить все коэффициенты числителя и знаменателя на ао, чтобы знаменатель записывался в виде: — 1 — 2 — Ь 1+ а 1.к + а2к +....+ а~~~ Альтернативным способом нахождения передаточной функции К(к) методом билинейного к-преобразования является пересчет полюсов и нулей аналогового прототипа в полюсы и нули цифрового фильтра по формуле: 2 -~- р т 2 = 2 — — Р т Затем осуществляется преобразование нулей и полюсов в коэффициенты фильтра (см.
разд.З; функции Ма11.аЬ, описанные здесь для аналоговых фильтров, годятся и для цифровых фильтров). Если количество полюсов аналогового ФНЧ-прототипа превышает количество его нулей, то возникают также дополнительные нули, так что общее количество нулей и полюсов цифрового фильтра, синтезированного по методу билинейного кпреобразования, оказывается равным (об этом см. в специальной литературе).
Указанные преобразования применимы, если аналоговый фильтр-прототип и цифровой фильтр — это фильтры одинакового типа (оба ФНЧ или оба ФВЧ и т.д.). Значит, если задан ФНЧ-прототип, а его нужно преобразовать в цифровой фильтр другого типа (ФВЧ, ППФ, ПЗФ), то нужно прежде найти передаточную функцию аналогового фильтра этого типа, а затем применить билинейное к-преобразование. Соответствующее преобразование типов фильтра осуществляется в Ма11.аЬ операторами: » [Ь'1,а1]=1р2Ьр (Ь, а, мО); — преобразование ФНЧ в ФВЧ; ъъ0 — граничная частота ФВЧ (рад/с). » [Ь'1,а1]=1р2Ьр (Ь, а, яО, Ви); — преобразование ФНЧ в ППФ; ж0~~зелняя геометрическая частота полосы пропускания (рад/с) (ж0=й 1 ~ж2); Вж — полоса пропускания (рад/с) (Вя — и1-я 2). » [Ь'1,а1]=1р2Ье (Ь, а, ч~О, Вя); — преобразование ФНЧ в ПЗФ; ъъ0 — средняя геометрическая частота полосы задерживания (рад/с) (в0=~~1 *ж2 ); Вж — ширина полосы задерживания (рад/с) (Вм — ж1-я 2).
Само билинейное преобразование в Ма11.аЬ осуществляется следующими операторами: » [Ьл, ая]= Ь111пеаг(Ь, а, Ра); или » [лг, рл, Кл]= Ь111пеаг [г, р, К Ре); Здесь Ь, а, ~, р, К вЂ” коэффициенты передаточной функции, нули, полюсы и масштабный коэффициент передаточной функции аналогового фильтра- прототипа.
Ьг, а~, ~~, рг, К~ — соответствующие параметры цифрового фильтра. Векторы Ь и а должны задаваться как векторы-строки, г и р — как векторы-столбцы. Преобразование строки в столбец и наоборот осуществляется путем постановки символа ' (апостроф) после имени вектора. Например, операция >> с1=с1 приводит к транспонированию вектора с1. Параметр Гз — это частота дискретизации [Гц]. Отобразить диаграмму полюсов и нулей можно командой » лр1апе [я, р) или » гр1апе [Ь, а) В первом случае г и р — вектор-столбцы, во втором случае Ь и а — вектор- строки. Полюсы отображаются крестиками, нули — кружками.
Отображается также окружность единичного радиуса. Указанную команду можно применять как для цифровых, так и для аналоговых фильтров. 5 2 Метр инва иантной им льсной ха акте истики Этот метод предполагает, что импульсная характеристика цифрового фильтра совпадает с точностью до постоянного множителя с импульсной характеристикой аналогового прототипа в точках 1=пТ, где п=0, 1, 2,..., Т=1/Гз — интервал дискретизации. Иначе говоря, яц(п)=иуе(пТ), где и- некоторый коэффициент. Передаточная функция цифрового фильтра записывается в виде: т~ К(~):= а.
~ р„.т 1с= 1 1 — е .к (4) где г1,=Вез К(р) — вычет передаточной функции аналогового прототипа в р=Р полюсе р~. Общее количество полюсов р~ равно М (предполагается, что все полюсы простые). Вычеты г1, и полюсы р1, можно найти, используя следующий оператор Ма11.аЬ: » [г, р, К]= гее1с1ие(Ь, а) Если не ставить в конце строки точку с запятой и нажать клавишу <Еп1ег>, то на экран монитора будут выведены вектор вычетов г, вектор полюсов р и вектор коэффициентов целой части К Полюсы и вычеты могут быть действительными или образовывать комплексно-сопряженные пары. Масштабирующий коэффициент о подбирается таким, чтобы значение уц(0) было порядка единицы. При этом значения величин ап по модулю тоже порядка единицы.
Если далее сумму дробей (4) привести к одной дроби, то можно получить передаточную функцию в стандартном виде (3). Полюсы цифрового фильтра в методе инвариантной импульсной характеристики связаны с полюсами аналогового прототипа стандартным к-преобразованием: ~~=ехр(р~Т). Синтез цифрового фильтра по методу инвариантной импульсной характеристики осуществляется в Май.аЬ путем ввода оператора: » [Ьл, аг]= ~тр~пчаг (Ь, а, Ра); где Ьг, а" — коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции цифрового фильтра (см. (Зф Ь, а — коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции аналогового прототипа (см. (1)); Ра — частота дискретизации (в Гц).
б. Структуры цифровых фильтров и соответствующие им алгоритмы цифровой фильтрации Одной и той же передаточной функции К® цифрового фильтра соответствуют различные формы реализации и разные алгоритмы преобразования отсчетов входного сигнала в отсчеты выходного. Выбор той или иной структуры цифрового фильтра имеет смысл при учете эффектов конечной разрядности представления коэффициентов фильтра и отсчетов сигнала на входе, в промежуточных точках и на выходе. Дело в том, что дисперсия шума квантования на выходе устройства, чувствительность характеристик к точности представления коэффициентов, быстродействие, необходимый объем памяти и другие характеристики качества цифрового фильтра зависят от алгоритма работы и структуры.
Естественно, что предпочтительнее та структура, которая обеспечивает наилучшие характеристики качества при заданных ограничениях. При реализации цифровых фильтров в виде специализированных вычислительных устройств имеет также значение, в какой последовательности выполняются операции, есть ли возможность производить несколько операций параллельно, что позволяет повысить быстродействие; каковы аппаратурные затраты при реализации того или иного алгоритма. -1О- б1 П аяс а е сивно го иль Передаточной функции — 1 — 2 — м Ьр+ЬГх +Ь2к + ....+ЬМх К(х):= — 1 — 2 — М ~0+ ~1.~ + ~2.~ + ....+ ВЬ1.~ соответствует структура вида Алгоритм (разностное уравнение) записывается следующим образом: у[п]= Ьох[п]+Ь1 х[п-Ц+Ь2х[п-2]+...+Ьмх[п-М]- а1 у[п-1]-а2 у[п-2]-...-аыу[п-К] 6 2 Каноническая с а е сивного иль а Каноническая структура получается из прямой путем разделения сумматора на две части (одна для прямых связей, другая — для обратных связей) с последующей перестановкой левой и правой частей схемы и дальнейшим слиянием параллельных цепочек элементов памяти в одну.
— 11- Ьо у[п] ч[п] На данной схеме показано, что М>М, однако это не обязательно; возможны случаи М=И или М<М. Наибольшее из чисел М и К является порядком фильтра. Алгоритм для канонической структуры записывается в виде двух рекуррентных соотношений: ~ [п]= х[п] — а1 ъ [п — 1] — аг т~[п — 2] — ...-аглт[п — М] у[п]= Ьо с [п]+Ь1 т [п - 1]+Ь1 А [п - 2]+...+Ьм «-[и - М] Сначала производится вычисление отсчета сигнала ъ [и] в промежуточной точке (на выходе первого сумматора), а затем уже с его использованием— отсчета выходного сигнала у[п]. Каноническая форма интересна тем, что в ней, в отличие от прямой структуры, представлена одна последовательность элементов памяти, а не две.
Это позволяет экономить память. Однако абсолютные значения отсчетов промежуточного сигнала ~'[п] могут превосходить значения отсчетов входного и выходного сигналов, так что может потребоваться увеличенная разрядность ячеек памяти по сравнению с разрядностью регистров для ввода и вывода отсчетов входного и выходного сигналов соответственно. б 3 Т анспони ованная с а е сивного иль а Преобразование прямой структуры, связанное с изменением порядка операций задержки и суммирования, приводит к транспонированной структуре. х[п] Алгоритм для транспонированной структуры: у[п]= Ьо х[п]+~ ~ [и-1] ъ1[п]= Ь1 х[п] — а1 у[п]+ъ2[п-1] ъг[п]= Ь2 х[п] — аг у[п]+~ з[и-1] ъы[п]= Ьы х[п] — а~ у[п]+т ъ-1[п-1] Ф ~тм1[п]= Ьмч х[п]+~ м[п-1] ъм[п]= Ьмх[п] Разумеется, возможны случаи М=К или М<М.
Тогда алгоритм соответствующим образом изменяется. Транспонированная форма имеет то преимущество, что в ней операции умножения отсчетов входного и выходного сигналов, а также операции суммирования можно производить параллельно; при этом повышается быстродействие алгоритма, хотя увеличиваются аппаратурные затраты (нужно иметь несколько одновременно работающих перемножителей и сумматоров).
б 4 Каска ая после овательная с кт а Передаточную функцию К® можно представить в виде произведения передаточных функций (обычно отдельные функции имеют порядок не выше второго): К® = К1~х) Кг(х) ...Кт.(х). Такое представление передаточной функции соответствует каскадному включению цифровых звеньев первого и второго порядка. Пусть, например, — 1 Ь10+ Ь11.
К~к):= — 1 1+ а1Гх — 1 — 2 Ь2О+ Ь21.л + Ь ггпу — 1 — 2 1 + а 21.Х ~- а гг.х Каскадная структура изображается следующим образом: Алгоритм: ! ~ [п]= Ь1о х[п]+ Ь11 х[п-1] — ап ~ [п-1] У[п]= Ь,о ~ [п]+ Ь21 ~ [п-1]+ Ьгг ~ [п-2] — а21 У[п-1] — агг У[п-2] В данной схеме каскады выполнены в виде прямых структур. Возможно их реализовать и в виде канонических форм: Алгоритм в данном случае содержит три уравнения: ъ[п] = х[п] — ап ъ[п-Ц ч [п] = Ь|р ч[п]+ Ь|р [п-Ц вЂ” апч [п-Ц вЂ” а~~ ж[п-2] у[п] = Ь~о ъч[п]+ Ьл ж[п- Ц+ Ь~~ ж[п-2] Можно реализовать каскады и в виде транспонированных структур: — 15- Теперь алгоритм включает в себя пять уравнений: ч[п]= Ь|о х[п]+~~[п-1] ъ ~[в]= Ьп х[п] — ап ч[и] у[п]= Ьго я [и]+и~ [п-1] и, [п]= Ьг~ ж[п] — а„у[п]+ иг[п-1] пг[п] Ьгг ъу[п] агг у[п] Анализ показывает, что каскадная форма рекурсивного фильтра обладает меньшей чувствительностью частотной характеристики цифрового фильтра к точности представления коэффициентов фильтра, чем прямая, каноническая и транспонированная формы.
Это означает, что при одинаковой разрядности округленных коэффициентов Ь и а частотная характеристика фильтра в каскадной форме будет в меньшей степени отличаться от расчетной, чем характеристики некаскадных форм. Для получения коэффициентов передаточных функций для каскадного представления фильтра можно использовать оператор Ма11.аЬ преобразования фильтра в соединение секций второго порядка (зоз — зесопо1- оЫег зес11опз): » [воз,ц] = 112вов [Ь, а); где Ь,а — векторы-строки коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра, воз — шестистолбцовая матрица, каждая строка которой соответствует одной секции и имеет структуру [Ьо Ь|Ьг1 айаг], что соответствует передаточной функции секции вида — 1 — 2 Ь0+Ь1.л +Ь2к К(л):= — 1 — 2 1+ а1.к + а2.к В частном случае какая-либо из секций может иметь первый порядок; тогда соответствующие элементы строки матрицы вов будут нулевыми: [ Ьо Ь| 0 1 а~ О].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
