Овсянников Б.В., Яловой Н.С., 1992 (Овсянников Б.В., Яловой Н.С., 1992 - Моделирование и оптимизация характеристик высокооборотных насосных агрегатов), страница 14

42) Следовательно. дисперсия случайного процесса с дискретным спектром равна сумме ряда. составленного из всех ординат спектра., Для рассмотрения зависимостей с непрерывным спектром обозначим разность между двумя соседними частотами через Ьсо.: ! /хго. = со. — го. = 2к//Т вЂ” 2х(! — !)/Т = 2к/Т. 1' 1 1-! „вторая представляет собой среднюю плотность дисперсии на интервале (мо..

Тогда выражение (4.41) можно записать в виде 1 К (т) = 2 5 (хо)екр(иох)~ио, Т (4. 43) Х 1 1 1' х = гоЮ = 2л)/У, ) (4.46) где 1 — частота пульсации; индекс "Г обозначает координатное направление (совпадаюцгее с вектором скорости осредненного потока). Для анализа стационарного процесса турбулентных пульсаций скорости вводят понятие корреляционного тснзора поля скоростей Й..(г) = о.(х)о.(х + г), 11 1 (4.47) который в соответствии с теоремой Крамера определяется как Если Т, Ьго. О, то интегральная сумма (4.43) в пределе 1 превратится в интеграл Фурье К (т) ~ Х ( .) р( )~ (4.

44) 00 который в соответствии с теоремой Винера-Хинчина может иметь обратное преобразование 5 (го) = — ~ К (г)екр( — иотйг. ! Х вх Х (4. 45) Функция 5 (со) есть предел средйей плотности дисперсии ХХ(со.) Т Х 1 при Ьсо, т.е. представляет собой плотность дисперсии случайной функции х(1) при данной частоте го. Эта функция физически представляет собой спектральную плотность энергии амплитуд случайной функции х(1). Сравнение распределения спектральных плотностей энергии в потоке с различными средними скоростями У облегчается при замене частоты волновым числом гг..(г) = ~ Ф..(к)ехр(йг х)~!к, 11 ! 1! где г — расстояние между двумя точками пространства; Ф.. 1! спектральный тензор турбулентной энергии; к — волновой вектор; ! — координатные направлеиияс х — радиус-вектор точки пространст- ва; Ик — элемент объема в волновом пространстве.

Если )г') = О, то К.. = и.(х)и.(х) = Г Ф..(к)г(к. (4.48) 1! 1 ! ! 11 00 Полную эиергию турбулентных пульсаций скорости можно вычислить, положив 1 = 1 в,формуле (4.48Е К.. = и.(х)и.(х) = 2 1 Ф..(к)Ик. (4.49) 1! 1 1 ! 1! 00 Введем понятие спектральной плотности энергии Е(к), характери- зующей долю кинетической энергии компонентов движения, имеющих фиксированный модуль )к).Тогда полная кинетическая энергия турбу- лентных пульсаций скорости вдоль координаты х.. на единицу массы 1 (4.51) и.(х)и.(х)/2 = ~ Е(кИк.

(4. 50) 00 Скорость диссипации энергии турбулентности е = — з( Е(к)г(к = 2к з( к Е(к)г(к. Ж ОО 00 Диссипация проявляется в непрерывном убывании полной кинетической энергии турбулентности, если отсутствуег подвод этой энергии извне. Диссипация под воздействием вязкости возрастаег при уменьшении размера вихря вплоть до размера, соответствующего размеру наиболее мелких вихрей. Рнс. 4. 4. Осредненныь по сеченню на раднтсе Г Г/К О, В норын- 0 хс Е ~г~)/<их> м рованныь спектр входного патртбка 10,!3'10 ) 3 енергнн ддя насоса (йе 101 Обычно в экспериментальных неслед(званиях определяют спектры турбулентных пульсаций в трех координатных направлениях, что характеризуется тремя энергетическимии спектрами в координатах гех мг г~г ]Е (к ), к ]; 1Е (к ), к ]; ]Е (к ), к ].

Однако в практической 1 1' 1' 2 2' 2 3 3' 3 инженерной практике в этом нет нужды. По данным исследований Ж. Конт-Бедно, наибольшей информативностью при турбулентном течении в каналах обладает спектр [Е (к ). к ]. Значения энергетичес- 1 1 ' 1 кого спектра в двух других координатных плоскостях можно получить нз соотношений изотропности. Осредненное по сечению нормировашгое 2 значение спектра к Е (к )/ <и > в функции от нормированного значе- 1 ! 1 ния волнового числа Х к для входного патрубка насоса изображено 1 1 на рис.

4.4. Лараметры, описывающие турбулентные изогропные и локальноизотропные пульсации скорости. Маса!тобы макроструктуры турбулентнык течений. Распределение мгновенных значений скоростей в турбулентных потоках для бесконечно малых объемов и промежутков времени определяется уравнениями неразрывности и Навье — Стокса. При переходе к конечным значениям объемов и промежутков времени функциональные завивисимости между мгновенными значениями скоростей исчезают вследствие случайного характера их возни!(новения и разрушения.

а вместо функциональных появляются статистические связи. Мерой статистической связи между пульсацнонными скоростями в одной точке потока в различные отрезки времени служат автоковариация г< (т) = <и'(г)и'(г + т) > (4.52) и илн нормированный коэффициент автокорреляции 1((т) = <и'(Г)и'(( + т)> / <и' >.

(4. 53) К (г) = <и'(г)и'(т + бг)>. Коэффициент пространственной корреляции (4. 55) 1х(г) = <и'(г)и'(г + Ьг)>/<и' > (4.56) Ф в фуноош от Г в какой-то мере характеризует пространственную структуру турбулентных вихрей. По аналогии с выражением (4.54) будем считать, что шпеграл х', = ~ 1г(гйг (4.57) о характеризует среднее расстояние. на котором сохраняется статистическая связь между пульсациями скоростей в разных точках потока, т.е.

среднестатистический размер макромасштабных вихрей. Параметр ь называется интегральным масштабом или макромасштабом турбулентДля расчетного или экспериментального определений масштабов макроструктурных элементов используем тот факт, что временной масштаб турбуленпюсти определяется интегралом Т = ~ Нт)г(т = ~ К (т)г(т/<и' >. и о о 102 В связи с тем что коэффициент к(т) характеризует статистическую связь между пульсациями скорости в одной точке в различные моменты времени, интеграл Т = ~ К(т)г(т, (4.

54) о называемый временным масштабом турбулентности, выражает среднее время существования турбулентного возмушения (среднее время жизни вихря). Для изучения структуры турбулентного потока большое значение имеют двухточечные корреляционные моменты. связывающие между собой пульсации скоростей в двух точках турбулентного по- -Преобразование Фурье, связывающее автокорреляцшо К (т) и спектр Е (к ). дает связь между Т и спектральным уровнем при к О. Для 1 1 1 любого значения к Е (к ) = 2и ~ К (т)соек тбт, (4.58) и 0 следовательно, при к 0' 1 т = (яУ2и '2>)11 Е (О). 1 х о (4.59) а иа (4.60) ат = ах,, можно связать продольные пространственные масштабы с временными масштабами.

Физический смысл гипотезы Тейлора состоит в том, что юменение во времени пульсации скорости в некоторой фиксированной точке идентично изменению пульсаций по оси х, проходящей через зту точку. Средняя скорость потока как бы переносит вихри по оси без искажения с их характерным изменением во времени ("заморожен- ная" турбулентность); образуются корреляционные связи между скоро- стями по оси х, связанные со средней скоростью потока и коэффици- 1' ситами корреляции: )1(г) = 11(-ит), (4.61) Если поток пщродинамически стабилизирован, что возможно при однородном турбулентном течении вдоль оси х со средней скоростью и, то с помощью гипотезы Тейлора где г и т связаны соотношением )г~ = и'1т~). В соответствии с изложенным макромасштаб 1 Н(г)г(г = (2<и' >) я11гп Е (0).

1 3. 1, (4.62) к ~0 Масиггаб турбулентности Тейлора. Из уравнений (4.50) и (4.51) скорость вязкой диссипации Для изотропного турбулентного потока выражение для диссипапии примет вид е = 7,5г< — >. (4.63) Представим для одномерного потока коэффициент корреляции в виде г( (г) = <и'и"> /<и' > = ! — (<и'> — <й'>) /2<и" >. (4.65) !1 1! 1 ! Для малых значений к можно приближеж!о принять (<и'> — <й'>)/х = (ди'/дх); 1 1 1-~1!(") -— а в пределе — строгое равенство ! ди' 12 — = 2<и' >(!п!11 — )г (г)/х 1. дх х 0 !! (4.66) Введенная Тейлором длина Х определяется из равенства (4.66) Х = (!гп(х /! — Й (г)1, 11 х.» О откуда получаем (ди'/дх) = 2<и' >Л .

(4.67) (4.68) Из условий изотропности корреляция между скоростями и'. в точке х' и й' в точке х' = х' + г должна зависе!ь от направлений и'. и й; ! ! относительно вектора г. соединяю!пего две точии, а не от х. Когда вектор г совпадает по направлению с х, то продольная нормированная корреляция Й (г) описывается выражением <и'й'> = <и' >Я (г). 11 1 11 (4.64) Подставляя значение (4.63) в (4.68), получаем е - "15еСи' )/Л г (4.69) Как следует из выражения (4.67), длина Л тем больше, чем больше корреляция между скоростями в двух точках, отстоящих друг от друга ка малом расстоянии х; следовательно, Л должна расти с ростом размеров вихревых, структур в жидкости, и мы вправе условно охарактеризовать размеры вихрей величиной Л.