Овсянников Б.В., Яловой Н.С., 1992 (Овсянников Б.В., Яловой Н.С., 1992 - Моделирование и оптимизация характеристик высокооборотных насосных агрегатов), страница 9

В программе на первом ' этапе промзводнтся ввод исходных дамных, степенн полинома. констант. Далее производятся формнрование расчетных матрнц аналогнчно программе многофакторного статистнческого анализа. На первом этапе счета после формнровання расчетных матрнп пронзводятся формнрованне ортогонельных полнномов для заданной степенн полннома, регресснонный нь днсперснонный анализ по подпрограммам, разработанным в многофакторном ствтнстн. ческом анализе. На втором агапе счета по результатам днсперснонного анализа производится проверка статистической значимости ковффнциента полннома Ь.(0 ( 1 ( Ь). В случае, если козффициенты старших ! степеней иолннома незнвчимы.

последовательно в программе поннхгается размерность полинома до такой степени, чтобы все ковффициеиты Ь. были статистически значимы. На третьем агапе счета производится ) приведенных коэффициентов модели Ь. н прогнозируются /пр расчет изменения отклика в заданном диапазоне изменения независимых переменных.

Укрупненная блок-схема статистического анализе нелинейной функ- цнн с помощью ортогональных полнномов (см. рнс. П .2 ). представлена в приложении 2.5. Методы оптимизации нелняейнык функций в движущемся пространстве параметров Постановка задачи поиска оптимума нелинейной функции в двихсуи(емся пространстве параметров. Математические модели, связывающие гидродинамические критерии с геометрическими и кинематическими параметрами, характеризующими течение в злеменгах насосов, описываются чаще всего нелинейными зависимостями. При этом характер входящих в математическую модель членов неодинаков; существуют основные независимые переменные (так называемые базовые), дискретные значения которых задает исследователь (в процессе решения оптимизационной задачи они вводятся в виде ограничений-равенств); остальные независимые переменные вводятся в программу оптимизации в виде ограничений-неравенств.

Таким способом формируется пространство поиска, вообще говоря, нелинейное как по виду исследуемой математической модели, так и по вводимым ограничениям. Оптимизация линейных зависимостей прн линейных ограничениях является частным случаем нелинейного программирования и не вызывает затруднений. При поиске оптимальных решений существует две проблемы: 1) организация движущегося многомерного нелинейного пространства поиска, ограниченного реальными границами изменения независимых переменных и целевой функции. Это обусловлено чаще всего постановкой задачи оптимизации, когда оптимизируют не отдельную машину, а параметрический ряд машин; рис.

2.4. Схеме изменении нелинейного црострвнствв поиске ири оитнмнзвцнн нелинейной целевой функции 2) поиск в движещемся пространстве йарамегров оптимальных значений критерия. подвергаемого оптимизации, или области су- хе~ н 11' ' п! 12' ' ' л2 (2. 46) х ., х .. ..., х . О1' 1г" "' л1 61 шествования нескольких оптнмальных критериев. Постановка задачи многокритериальной оптимизации хтт предусматривает разработку сох, ответствуххцих процедур оптимизации, вообще говоря, разных для разных оптимизационных задач. Решение задачи нелинейного программирования (однокритериальный -е ° случай) сводится к нахождению оптимального вектора Х = [х, 1' е ° Т х,..., х 1, минимизирующего функцию 1(х) при заданных ограниче- 2' ' й пнях модели.

При этом оптимизируемое пространство независимых переменных движется вдоль координаты х (базовая независимая пере- О мепная), а само нелинейное пространство может изменять свою конфи- гурацию (рис. 2.4). Выбор кон4игурации нелинейного пространства лоиска. Получа- емые в процессе оптимизационного поиска оптимальные параметры (на- пример, геометрические соотношения элементов насосов) образуют матрицу На каждом 1-м шаге поиска в общем случае область поиска и ограничена лг ограничениями-равенствами (1 = 1,1): л.(1(Х(1) = О, / = 1, ..., пь (2.46) и (р — гл) ограничениями-неравенствами д.(Я а О, 1 = гл ~ 1, ..., р, где р — общее число ограничений модели.

(2.49) Результатом решения задачи при такой процедуре поиска оптимальных решений являются матрица оптимизированнных независимых переменных (2.46) и вектор 1 оптимизированных значений 1. целевой функции 1.: р 62 в которой значения х ... к базовой переменной Х записаны в первом столбце, а значения оптимизируемых независимых переменньп, соотвегствуюших значению к . базовой переменной Х , стоят в строке матрицы (2.46).

Если базовых переменных больше одной, они занимают второй (а иногда и последуюшие) столбец матрицы 1(Х(( . В матрице (2.46) первый индекс для х обозначает номер переменной (базовая — с нулевым номером), а второй — номер шага изменения базовой переменной (1 — количество шагов при оптимизационном поиске; л— количество оптимизируемых независимых переменных). На каждом 1-м шаге (т.е. при фиксированных значениях базовой независимой переменной) поиск оптимального значения гидродипамического критерия представляет собой решение задачи нелинейного программирования: минимизировать нелинейную целевую функцию 1,(1(Х(1) .» гп(п, ~~~Х~~ е )7 с сл, (2.47) где 11 — область поиска в и-мерном евклидовом пространстве Е , формируемая ограничениями-равенствами и -неравенствами, изменяемыми в общем случае на каждом 1-м шаге поиска.

Это приводит к последовательному изменению пространства поиска 1(. ) = г(1)Х)1), г' = 1, ..., 1. (2.50) где ц — число независимых переменных к; х — число квадратичных 11 членов. ! Поиск оптимизированного значении функции подразумевает нахождение минимума функции. Однако зто не принципиально. При оптимизации любмм из методов можно находить и максимум функции, соответствуюжнм образом изменив исходные данные. 63 Процедура многопараметрической оптимизации . Рассмотрим один из 1 наиболее эффективных методов прямого поиска (метод поиска по деформируемому многограннику) для функции л переменных.

В методе используется следующая процедура прямого поиска: минимнзируется функция и независимых переменных с использованием (и + 1)-й вершиной деформируемого многогранника в Ел. Каждая вершина может быть идентифицирована вектором Х. Вершина (точка) в Ел, в которой значение 1(д ) максимально, проектируется через центр тямгести оставшихся вершин. Улучшенные (более низкие) значения целевой функции нахсдятся последовательной заменой точки с максимальным значением г(Х) на более "хорошие" точки, пока не будет найден минимум ~(Х) .

Рассматриваелзый метод нелинейного программирования основан на одной из модификаций прямого поиска направлений минимиза- .Л ции, при котором в каждой точке пространства поиска с находится на основании последовательных вычислений целевая функция 1(Х), Этот метод хорошо приспособлен для реализации па ЭВМ и обеспечивает достаточно быструю сходимость. Суть метода состоит в следующем. В л-мерном пространстве поиска, ограниченном ограничениями-равенствами (2.43) и ограннчениями-неравенствами (2.49), находится последовательно значение целевой функции, заданной в виде ПХ)=Ь +ХЬ +Хб .,)м', о (2.51) и В общем случае ограничения также могут быть описаны нелинейной формулой (2.5!).

хотя могут иметь линейный характер или быть постоянными числами. Отметим, что ограничения обязательно должны иметь в своей основе физическое обоснование их выбора. Поиск значений г(л), следовательно, производится не во всем пространстве Ел, а в области )((~' И (.Р) О й.(В В О для всех )~). (2. 52) 1 1 Беленая функция г(Х) области Й непрерывна, следовательно. в каждой точке области можно построить регулярный (г + !)-мерный симплекс (где г = и — а — число степеней свободы), в вершинах которого можно найти пробные векторы Х и значения целевой функции г(л).

Координаты вершин начального регулярного симплекса определяются матрицей ((()((, в которой столбцы представляют собой вершины, пронумерованные от 1 до г + (, а строчки — координаты, пронумерованные от ! до л: О о И О и И . И Я= Ы Ф . Н (2.53) О И г( где И = — (4л + ! + и — !); И (Й+ ! — !)— лвГ2 2 координаты вершин; ! — расстояние между двумя вершинами. Суть алгоритма состоит в том, что из значений г(Х), определенных в вершинах симплекса, на л-м агапе поиска находятся ъ(й) м(й) минимальное ~(лм ) и максимальное г(лм ) значения, а затем точка, в которой г(Х) максимальна, исключается.

и стройтся новый симплекс, называемый отраженным, из оставшихся прежних точек и одной новой, полученной проектированием точки, где ~(г) максимальна. Скорость движения через центр тяжести симплексов в направлении (юследовательного уменьшения г(Х) зависит от расстояния г и при дсстатовю малом его значении на первых этапах поиска в целом совпадает с направлением наискорейшего спуска, определяемого градиентным методом поиска. Вершины исходного многогранника в Е находятся из соотноше(ви Х"' = Х"' + Ь., ( = (, ..., г ° (, (2.54) в(0) где л' — начальный вектор поиска; Ь. — (-й столбец матрины (2.53).