Овсянников Б.В., Яловой Н.С., 1992 (Овсянников Б.В., Яловой Н.С., 1992 - Моделирование и оптимизация характеристик высокооборотных насосных агрегатов), страница 8

.., Х ....., Х коэффициентов Ь; множественный р и частные р( кои' эффициенты корреляции, оценивающие адекватность как всей модели, так и ее отдельных членов имеющемуся набору экспериментальных дан. ных. Производится статистический анализ гипотез значимости коэффи циентов Ь(. ковврнации (2.22) 1,(х — х ) 11 1 1,(х — х ) (х — х ) (х -х) (х — х ) (х -х) где (1'Х(( 1.(х — х ) (х — х ) ... (х — х ) П! 1 л2 независимых переменных размером ! (Ь Т О 1 — вектор отклика размером ( )кд ); л преобразованная матрипа — !)л1: У = (г , У 1' 2 оэ 0 0 сд — квадратичная матрица весов размером чдкп): Т Е = !Г..... И ! — вектор ошибок 1 и (1кл) . О 0 Представим оцениу линейной многофакторной модели в матричном виде Для получения оценок )) Ь , () Ь ; ...: )3 = Ь линейной о" о' здели с учетом весе измерений оз.

необходимо минимизировать сумму „еадратов взвешенных отклонений по методу Гаусса 2 2 Е од(((. — г).) = Х огд. (2.23) ! ! 1 . ! Е (=! 1 —. ! ао коэффициентам !), )3, ..., )3, е' у) выра:кении (2 . 23 ) веса со. берутся обратно пропорционально дисперсиям отклика О., а зто при определении линни наилучшей точки с подгонки к экспериментальным паиным гарантирует, что нанлольшимн дисперсиями будут оказыьать ненменынее влияние. Представляя выражение (2.23) в матричном виде Ф - (у — 11Х11)3)~ртам — 11Х1~б). т где (! — 1)Х11()) — матрица, полученная 11Х11)3, можно минимизировать Ф по всем г (2.2ч) траиспонированием нз (У вычисляя н приравнивая к нулю производную от Ф: — - — 211х~~) 11(ь!1()' — 11х11(),) .

о. Подставлчя в уравнение (2 25 ) вместо () оценки В 1Ь . Ь Т о' !' Ь(..., Ь. 1, получаем 11Х11~11)Ь(111Х11В - 11Х~~'11)Ь11) . (2.23) (2 26) Решение матричного уравнения (2.27) имеет вид )' - т ". ~~С~~ — (11Х11) 11 1111Х11); а = 11Х11211Ж111. (2.27) квадратов остатков, деленной на число степеней свободы: 53 Для выявления меры разброса экспериментальных денных относительно модели вычисляют оценку дисперсии 5 , равную сумме Г 5 - е, ЦЙЩе/и, (2.29) где число степеней свободы Р Ф вЂ” Й вЂ” 1 лля многофакторэе( немеренными р н расчетнымн значе.

нкими р., предсказанными по уравнению регрессии, определяют помощью множественного коэффициента корреляции (2.29) где р = Ь вЂ” среднее значение отклика в эксперименте. 0 Мера значимости каждой составляющей в модели определяется честным коэффициентом корреляции (2.30) Т в котором 0 — 1-й диагональный элемент матрнпы 1(Л)1' 11((г(11(Х(1: с П П (-й диагональный э,яемент иатрнцы ~~С~~~. Таким образом. сравнение значений моделей, описывающих результаты эксперимента. позволяет определить "? меру подгонки эмпирической модели э целом . а сравнение значений р для различных членов модели дает возможность предварительно, до дисперсного анализа, оценить значимость вклада этих членов в мо- дель.

Оценка дисаерсин вектора )' для модели определяется в виде 5 - 5 (х.~Дх.). (2.31) 100(1 — ц) уэ-й доверительный интервал для математического ожидания величины (Г'. прн заданном значении величин Х, определяется из неравенства модели. Мера линейной связи между .2 ц -л/)(япх -ль -т (У вЂ” У) (Я(у — д) О бр ч1, "2 тг р =. 1 —, бъ)з 2 ! 2 (( 11 2 2 н Д Лля различных я у — 1(а, п)5у. ч т) ч у 1(а, п)5у., 1 1' где. 1(ст.

Ф) — крнтернй Стьюдента. (2.32) Прн днсперснонном внаянзе многофакторной ствтнстнческод модели „есбходнмо оценить значнмость незввнснмых переменных Х . исключая зэсдедовательно одну нлн несколько переменных нз маделн, первона,мдьно содержащей все переменные.

Прн этом важен порядок нсключезвя переменных нз модели. если незавнснмые переменные неортогонаюяы, В этом случае последовательное нгключенне переменных нз ноделей (шаговый днсперснонныд анализ) начннают с нсключення нз подели нанменее значимых членов. Для этого намн нспользуется ран- "2 жкрованне членов в моделн по коэффнцненту корреляцнн Р1.

Днсперснонный аналнз многофакторной статнстнческой л — 2 водятся с помощью разложения суммы Е (у. — у) 1=1 модели про- на компоненты, Сумма квадратов, соответствующая переменных, вычнсдяется по формуле нсключенню нз группы Р (2.3ч) ( Х )т' Х) — матрица ошнбок, составленная нз Р где  — вектор, составленный нз Р Р элементов С : Р соответствующих парачетров Ь . Для проверив значнмостн однод нлн группы переменных в полнод я днсперснд 52/5 ', Г ( н исключается моделя прнменяют критерий фншера для отношенн гхе нсключается одна переменная прн 5 = (з5 /и 2 Р переменных прн 5 ()5 /и Р. 2 саответствующне нсключенню одной нлн нескольких незавнснмых перенекных кз моделн. Сумма квадратов хз5 , соответствующая нсключенню нз модели одной Ч Я-й переменной (прн заданных другнх переменных), определяется как (з5 - Ь/С (2.33) з) уут Если отношение дисперсий превышает значение г' из рас (1-а) пределення Фишера при заданных и /и н выбранного уровня зна нь 1 2 переменная Шаговый "2 па р проводится, исключая последа.

мости а, то соответствующая дает значащий вклад в модель (илн группа переменных) днспгрсианный анализ мрз ранжировании членов модели ввтельно одну нли группу переменных, начиная с наименее значащего члена. полученной в Нелиме()маге модели, нелинейными могут быть модели, у которых нелинейны нлн независимые пе(мменные, нли ее параметры (коэффициенты). Многофакторная модель, у которой независимые переменные иелннейны, имеет вид (2.38) 11 22 т)=е -е" (2.36) Классификация мелинейных моделей представлена на рис.

2.3. В целях обработки экспериментальных данных, описываемых однофактарнымн нелинейнымн моделями. нх преобразовывают к линейной форме так, чтобы получить в преобразованных координатах линейную мо- дель типа у' - а' ° Ь'х'. Например,' если экспериментальные данные описываются уравнением у ох+и, (2.37) (2.38) Итерационный процесс выбора матеиатической модели, многафактормом эксперименте прн исследоватеЛьских насосов, прелставлен на блок-схеме (приложемне см.

Подробный алгоритм многофакторного статистического пример расчета приведен в кинге Н . С . Ялового ( 12]. 2.4. Расчет и прогнозирование параметров однофакторных нелинейных статистических моделей т)-)) -()х ))х ()хх ° ()(пх. 0 11 22 312 4 1 Нелинейной двухфантормой моделью по х н р будет модель испытаният рнс. П. 1) . анализа х рис. 2.3. Виды нелинейных моделей где е — ошибка (разброс) эксперимента, то преобразованная линейная форма будет иметь вид !еу - !да ° Р)ех е'. (2.39) однофакторные нелинейные моанализу по преобразованным независимым церемеиным н отклику по методу, равд 2 2.

Оценка параметров однофакторно!к нелинейнык моделей, описываеемых полиномами. При исследовании динамических процессов в насосах часто отклик меняется с некоторой периодичностью в зависимости от координаты или времени. В этом случае экспериментальную зависимость удобно описать полииомнальной моделью.

Наиболее предпочтительно описание функции с помощью ортогональных полиномов, оценки приведенному в Таблица 2./ Исходное уравнение Координаты прямой по осям Уравнение прямой Преобразованные уравнения Х у 1/у = а - Рх У-а-Р/х у' - 1/у '1/у - а - Рх 1/х у у = а - Р!/х у' =а-Рх у = а ° Рх' у' - Р ° ах' х/у=а+ Рх х' = 1/х у' = 1/у 1/у= Р ак (уу (пу = 1да Р)их !2у !еу = !еа - х)еР )ех 57 Преобразование к линейному виду функций одной переменной приведено в таблице 2. 1, Преобразованные к линейному виду дели подвергаются статистическому Прн введеннн ортогональных полпномов, еслн найдем полипом сгепенн т, полипом степени т ! получается определемнем только одного нового коэффициента Ь ; все другие коэффициенты остаются т-(' прежннмн.

Еслн экспериментальные данные не распределены равномерно по интервалу изменення переменмой Х, то в этом случае ортогональные полнномы также могут быть получены, но омн уже зависят не только от значеннй Й н Л, но н от расположення переменных точек. Зтн полнномы получаются с помощью взвешенного метода нанменьшпх квадратов рекуррентным способом: Р.

(х) - (х — а. )Рлх! — РР. (х). 1 ! 1-! ! ! 1-! (2.44) Здесь постоянные а. н (). определяются так, чтобы удовлетворнлнсь !.! 1 условня ортогональностн; Л з (* )г'.о > ! Л Х оз(х )х Р.(х ) '1-! Л 1 Х ьт(х )Р.(х ) ! ч где Ых ) — вес отдельного нзмерення. Получаемые в результате расчета оценки козффнцнентов Л Х оз(х )Р. (х ) () 1! ч ().

- Ь. ! ! неудобны для прогнознровання отклрка в пронзвольных точках. Поэтому в процессе расчета на ЭВМ параметров ортогональных полиномов находятся прнведенные коэффнцненты Ь. , которые позволяют полипом 1пр Ф-А степени представить в виде у=Ь -Ь х- ...-Ь. х1- Опр ! пр !пр Ь - Ь х, Р (2.45) улобном для прогнознровання отклика у. разработанная программа оценки ноэффпцнемтов однофакторных нелннейных моделей использует подпрограммы многофакторного статнстнческого анализа.