Овсянников Б.В., Чебаевский В.Ф., 1975 - Высокооборотные лопаточные насосы, страница 14

Из последнего следует, что на наружном радиусе сборника скорость потока равна сис. сю Рис. !.31. Схема течения н распределения скоростей по сечению сборника Выражение для изменения скорости по толщине пограничного слоя в наших обозначениях имеет вид — = 1 — (1 — — "' ) ~! — ( — — т ) *(! — — ) *~ . (1.126) о дхг да ~л г — гя 7(п-гт) Рис. 1.32, Расчетные графики изменения скорости по сечению сборнике при разаичсяя ных значениях отношения се Входящее в формулу (1.126) отношение Уз/В характеризует угол утолщения пограничного слоя.

В работе [1) показано,что при отсутствии предварительной турбулизации невозмушенных потоков угол утолщения не зависит от отношения скоростей в области 0,4< <сис(сея<2,5. При зтих значениях отношения скоростей для пограничного слоя, образованного смешением струи конечной толщины с безграничным потоком, отношение Уз/В = — 0,53. Используя это значение Уз/В в формуле (1.!24), получим Преобразуем формулу (1.127) с помощью соотношений У= — (г — г»), У»= — 2(Р— гз) и связи скоростей си, и си„, получаемой из формулы (!.127) при У=0,5 Уь После преобразований получим зависимость окружной скорости потока в поперечном сечении сборника от радиуса: — = 1 1,33(1 — ") )1 0,385~! з, ' 1 . (1,128) В графическом виде зависимость (!.128) представлена на рис.

1.32. При построении графиков формула (1.128) использовалась и при значениях си,/с» (0,4 вплоть до с„,=0. Нулевое значение скорости си, соответствует отношению си„/с»«=0,25 (см. рис. 1.32). Из формулы (1.128), положив г=г„можно получить выражение для скорости с,и на начальной окружности сборника: — = 1 — 0,505(1 — — ил ). 1!.1' 9) 8! Соотношение (!.!29) и рис. 1.32 показывают, что скорость сз отличается от скорости на выходе колеса с«„(с„ачьс»и), что отражает экспериментальный факт скачкообразного изменения закрутки потока при переходе из колеса в сборники„ объясняемый влиянием течения в сборнике (20].

При скорости сия меньшей с~ скорость с»и оказывается меньше скорости с»и из-за «тормозящего» действия потока в сборнике. Когда скорость с ч больше с«и, скорость с«и превышает с«из-за «ускоряющего» действия потока в сборнике. При с„а=с», как и следовало ожидать, в сечении сборника устанавливается постоянная скорость Си — с»и. Из формулы (1.128) видно, что интенсивность изменения « скорости си по относительному радиусу гии —, помимо отно«« щения си„/с»и, зависит также от относительной высоты сече- 2 <к — «,) ния ' ° Чем меньше высота, тем больше изменение си (Г« по радиусу г.

Эти закономерности объясняют выявленные опытным путем различные зависимости си от радиуса. Действительно, при скорости сиа, близкой к с»и, можно ожидать малое изменение скорости по радиусу ]45]. При малой скорости сиа или малой относительной высоте сечения характер изменения с„ может оказаться близким к закону сиг"=сонэ! [20].

Определенное сочетание значений сиа и относительной высоты сечения может дать зависимость для си, близкую к выражению. сиг=йс«ига (1<1) (48]. Изложенное подтверждается сравнением опытных данных с рассчитанными по формуле (1.128), представСаи — Сии ленным на рис. !.33. Использование координат; Х = Сеи — Си г — гз (рис.

1.34) дает наглядное сравнение опытных данных (!8, 20, 29, 45) с расчетными, в которых выражение (1.128) представляется в виде одной кривой — универсальный 30 уо и 45 (д 12 20 18 /ю Р Л ну га 44 си го д ру !2 10 18 (д л б> 48 (а (г т,е (б г б) безразмерный профиль скоростей в сечении спирального сборника. Совмещение опытных данных проводилось по координате 2=0,5 (середина сечения). в которой окружная скорость равна с„„. Опытное значение скорости с представляет собой усредненное по ширине сечения сборника значение окружной скорости потока. Скорость са для колес с раа(90' оценивалась с использованием данных работы !64], а для колес ра.

)90' — по потребляемой мощности. Полученная зависимость позволяет определить изменение давления в сечении сборника. Пренебрегая радиальными состав- 82 Рис. 1.33. График изменении скорости по сечению сборника (по рааиусу): — — Расчет по фоРнУае (!.(28(; — — — — — — по законУ с г=с и ги и =те па законУ е, г = с иг — опытные данные; а — опытные данные (451 (ецагсац 0,5 0.5 =0,75, Р 90Х 0,-300'(; б — опытные ааниые 1201 (сия/сец-0.8!.

Р -90, <Р-305'1: Š— ОПЫтпЫЕ аапНЫЕ ((81 (Сил(Суп 034 ааи 32', ф 3!О'! рис. 1.34. График для сравнения расчетных и опытных данных по распре- делению скоростей по сечению сборника: о 6 ел Опытные точки еця/счп Источник [20! !18! 300 0,75 !45) 240 0,36 167 0,56 305 215 0,60 35 0,65 125 129! 0,72 !50 305 0,76 2!5 150 125 150 0,77 83 0,74 0,81 0,34 0,44 0,63 310 310 310 <90 >90 32 32 32 ляющнмн скорости в сборнике, в соответствии с уравнением (1.6) можно записать Г с» Р Ря= г)Р с/г. г (1.130) Если подставить в формул у (1.130) выражение (1.128), то после интегрирования полччим весьма громоздкое выражение длЯ Разности Р— Рн.

ДлЯ получения простой зависимости (без существенного снижения точности) введем . некоторые упрощения. Зависимость для ' разности Р— Р„разделим на два участка: первый — от радиуса га до радиуса В, второй от /7 до И,. После этого скорость с заменим на первом участке значением на радиусе среднем между гз и /7, а на втором участке— значением на радиусе среднем между /7 и Ис.

Тогда после интегрирования окончательно получим — а+Х вЂ” = В!п р ',„+о,а = В 1п —, (1.131) ' Р» гт -Щ о 1)з ре г)к у х Рис. 1.35. Расчетные зависимости длн изменении давлении по сечению спирального соорннна: сия — 0,7 — — — — — ьт зг ч де для г < /с (Х < 0,5) В = (0,25 + 0,75син/са„)з; для г рь й (Х ) 0,5) В =- (1,2с„н/с~ — 0,2)', :1 а= Х= а (/1 — 1) 2 ф — 1) Й = й/га; г = г/г,.

Рассчитанные по формуле (1.131) зависимости приведены на рис. 1.35, Видно, что на изменение давления по радиусу влияет отношение скоростей с,и/са„н относительная высота сечения (1/а). С увеличением а и уменьшением с„н/'сг«интенсивность изменения давления по радиусу уменьшается. 1 5.4.

Изменение скорости н давления по средней линии сборника Зависимости (1.!28) и (1.131) можно использовать для определения параметров потока в спиральном сборнике, если известны значения с„н и рн, соответствующие средней линии сборника. Опоелелим эть параметры, применив для 1 брас потока в сборнике урав- ря« »г «с 'с нения энергии и момента количества движения. а Выделим в сборнике я ед р «тгр, с«а си» (Гси» сечениями а — Ь и д — Я (рис. 1.36) элементарный объем угловой протяженностью дф.

Расход жидкости в сечениях а — 5 и о а — Ь отличается на величину расхода, поступаю- ШЕГО ИЗ КОЛееа В ВЫДО Рис. ! Зб. Схемы распределеленный объем через сече- ния скоростей и давлений по ние Ь вЂ” 5 (утечками пре- сечениям сборника иебрегаем). Тогда для выделенного элемента уравнение энергии запишется: (Е = (р,„+ рН„') 83 — рЕ,Ц, (1.132) где Е и Я вЂ” соответственно энергия и расход жидкости в сече- нии сборника. Принимая Н„ 'и Ес постоянными, после интегрирования уравнения (1.132) получим Е = [р„т р(Н, — ь',)1 1;! — ' К.

,1,!33) Для определения константы интегрирования запишем выражение (1.133) для сечения перед входом в конический диффузор (ф=2п) Ети = [р., + р(Н« — Е,И Ятп — , 'К, (1 134' где Еа„= Е„+ Е;, 11»п = Я»+Я~ (иидексом «О» здесь и далее обозначаются параметры при ф = О). Пренебрегая Е, и Яа ввиду их малости, перепишем уравнение (1.134) следующим образом: Е, = [р„+ р(Н« — Е)19с+ К.

(!.135) В связи с тем, что энергия жидкости в горле диффузора равна энергии на выходе из колеса за вычетом потерь в сборнике, константа К в выражении (1.135) должна быть равна нулю. Тогда уравнение (1.133) примет вид Е = [р„+ р(Н„'— Е,)[а. (1.!35) 88 Расход Я, входящий в соотношение (1.136), определяется выражением: Я=Ь 1" с„й'. 1ь Для удобства интегрирования уравнения (1.137) представим зависимость (!.!28) в виде квадратного полинома: — = 1 — (0,505 + 1,167 — 0,34д') (! — — "~ ) .

(1.! 38) свц сии Тогда, после замены переменной г на т, решение уравнения (1.137) получим в виде Я = 2Ьэг с' „()с — 1) (0,97 — "~ -1- 0,031! . ° (! .! 39) Выражение для энергии жидкости в сечении сборника представим в виде (1.1 о 7) ас э с„! Е-Ь,) (р-~р — ) 2 / (! .140) Подставляя в соотношение (1.140) зависимости (1.138) и (!.!31) после интегрирования получим сложное выражение для Е. Численный анализ составляющих этого выражения в диапазоне возможных значений Я(1,4; 0,25(с„в/сэ„<1,5 позволяет упростить выражение для энергии, которое совместно с соотношениями (1.136) и (1.!39) дает возможность получить первое (из двух необходимых) уравнение связи между давлением и скоростью на средней линии сборника: р, = р,„+р(н„'Е,) — р— — р"2, Я вЂ” 1) ~0,25 —" ( —" — 1) — 0,031. (1.141) Вторую связь между давлением и скоростью найдем из уравнения момента количества движения.

Для выделенного элементарного объема (см, рис. !.36) запишем, что с()31 -: с~.0!ь — э — с(М . ЙМа х — йМ„р, !1.142) где И и М вЂ” соответственно, момент количества движения и момент сил в сечении сборника; НД)з э — элементарный момент количества движения, вносимый жидкостью из колеса через сечение Ь вЂ” 5; пМ, х — элементарный момент сил давления, действующего на поверхность а — д; ЫМ,р — элементарный момент сил трения на поверхности выделенного элемента.

Можно записать, что дЖ = рЬм( [' с'юг; о лс с(4[ = Ь д [' рог; о п[[[[ь-з = рс,„ги(Я; <й)(а — а = Рл Й(Р74), Р = 2Ьагз()7' 1)' с ЛМ,р —— гфА, . (1.14 1) Принимая, что все потери на трение сосредоточены в сечении Ь вЂ” 5, получим НА,р — р — ' 7.(а0 Сии Введя переменную т вместо г и используя выражения (!.131), (!.!38), (1Л39), проведем интегрирование и дифференцирование в выражениях (!.143) и (!.144). После упрощений, аналогичных выводу формулы (1.141), получим соотношения для составляющих уравнения (!.142). В частности, для момента количества движения получим выражение йй = рог,с„'л (1, ٠— 0,1).

(1.145) (!.144) 37 После преобразований уравнения (1.!42) с помощью зависимостей для составляющих получим второе уравнение, связывающее давление и скорость: (Ф вЂ” 1) ~ — "~ [2+ 4,88(й — 1)[ — 0,58()7 — 1) — 0,97(! — 0,55,)) ~ саул Х "" + — [()х — 1)'+ ()х — 1)[ Ы(я — !) г И(Й !) + ( — ") [1+ 3,8()с — 1) — 2,16()7 — 1)'[— — — [0,97 (1 — 0,5$,) + 0,7 (Т~ — 1) — 0,72 ( Я вЂ” 1)з[— — 0,03(! — 0,5$,~+ 0,03()х — 1) — 0,06 Я вЂ” !)' =- О.

(1.!46) С помощью уравнений (!.!41) и (!.146) можно получить дифференциальное выражение для скорости с„а. Определение с„н является краевой задачей.действительно, при ~р=2л(Р=Яз,„) скорость с„а должна быть равна скорости с„а.,„, определяемой расходом через насос. При ~р=0 (Р=Рю) скорость с„„=с„а,. Если бы !с~ было равно гь то скорость с а, была бы равна скорости на окружности колеса сз„. Имея в виду, что значения Ро мало отличаются от ге (Л«=1,0! —:1,03), примем, что при этих значениях )7« скорость с„я. также равна се„. Решая совместно уравнения (1.!4!) и (!.146) и вводя необходимую при решении краевой задачи постоянную Х, получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение для скорости: сия с!— ()с — 1) а,— "' — а. "' =) 7,+7 — "' — 1* ' — "" (1.147~ где й, = 1 + 3,38 ()с — 1) — 0,5 ()х — 1)', йео =- 0 97 (! — 0,58 ) +. 0 33 ф — ! ) — 0 25 (77 — ! )е.